工程力学(天津大学)第14章答案

第十四章 组合变形
习 题
14−1 截面为20a 工字钢的简支梁，受力如图所示，外力F 通过截面的形心，且与y 轴成φ角。

已知：F =10kN ，l =4m ，φ=15°，[σ]=160MPa ，试校核该梁的强度。

解：kN.m 104104
1
41=⨯⨯==
Fl M kN.m;58821510kN.m;65991510.sin φsin M M .cos φcos M M y z =⨯===⨯==
查附表得：3
3
cm 531cm 237.W ;W y z ==
122.9MPa Pa 10912210
5311058821023710569966
3
63=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=--....W M W M σy y z z max
[]σσmax <，强度满足要求。

14−2 矩形截面木檩条，受力如图所示。

已知：l =4m ，q =2kN/m ，E =9GPa ，[σ]=12MPa ，4326'= α，b =110mm ，h =200mm ，200
1][=l
f。

试验算檩条的强度和刚度。

z
解：kN.m 4428
1
8122=⨯⨯==
ql M kN.m;789143264kN.m;578343264.sin φsin M M .cos φcos M M y z ='⨯==='⨯== m ...W ;m ...W y z 424210033411022061
10333722011061--⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯=
MPa 329Pa 1032910
033410789110333710578364
343......W M W M σy y z z max
=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=-- []σσmax <，强度满足要求。

m
...sin EI φsin ql f m
...cos EI φcos ql f y y z
z 33
943433
9434109314110220121
109384432641025384510034922011012
1
1093844326410253845--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯'⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯'
⨯⨯⨯⨯=
=
mm ..f f f y z 4517104517322=⨯=+=
-
200
1
2291<
=l f ，所以挠度满足要求。

14−3 一矩形截面悬臂梁，如图所示，在自由端有一集中力F 作用，作用点通过截面的形心，与y 轴成φ角。

已知：F =2kN ，l =2m ，φ=15°，[σ]=10MPa ，E =9GPa ，h/b =1.5，容许挠度为l /125，试选择梁的截面尺寸，并作刚度校核。

解：
=Fl M kN.m;0351154kN.m;8643154.sin φsin M M .cos φcos M M y z =⨯===⨯== []62
3
2310106
110035*********⨯=≤⨯+⨯=+=σhb .bh .W M W M σy y z z max
将h/b=1.5代入上式得：mm b 113≥;则mm h 170≥。

取b=110mm;h=170mm
z
m
...sin EI φsin Fl f m
...cos EI φcos Fl f y y z
z 33
933333
933310138110170121
1093152102310711217011012
1
10931521023--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=
mm ..f f f y z 0815100815322=⨯=+=
-
200
1
2651<
=l f ，所以挠度满足要求。

14−4 一矩形截面悬臂梁，如图所示，在梁的水平对称平面内受到集中力F 1=2kN 作用，在铅直对称平面内受到F 2=1kN 的作用，梁的截面尺寸b =100mm ，h =200mm ，
E =10GPa 。

试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置，并求梁的最大挠度。

解：
kN.m;422kN.m;22112=⨯===⨯==l F M l F M y z m ...W ;m ...W y z 424210333102061
10676201061--⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯=
MPa 15Pa 1015103331041067610264
343=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=--..W M W M σy y z z max
（A 点） m
..EI l F f m
..EI l F f y y z
33
93
33233
93
33
111032102012
1
1010321023104201012
1
1010321013--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=
z
mm ..f f f y z 2532102532322=⨯=+=
-
14−5 一矩形截面斜梁，受铅直荷载作用，如图所示。

已知：l =4m ，q =4kN/m ，
b =110mm ，h =200mm ，试：
（1） 作轴力图和弯矩图；
（2） 求危险截面（跨中截面）上的最大拉应力和最大压应力值。

解：(1) 弯矩图和轴力图如图所示
（2）m .kN .cos cos ql M max 93630448
1
308122=⨯⨯⨯==
kN sin sin ql N m ax 8304430=⨯⨯==
MPa 279Pa 102792
011010420110611093663
23max .......A N W M σ=⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=-=拉
MPa 639Pa 106392
0110108201106
11093663
23max .......A N W M σ=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==＋＋压
14−6 图示一三角形支架，横梁AB 用20a 工字钢制成，梁中间有一集中力F 作用。

已知：l =3m ，F =30kN ，α=30°，求AB 梁内的最大正应力。

设工字钢自重不计。

解：AB 梁内的最大正应力发生在梁跨中截面：
kN.m 5223304
1
41.Fl M =⨯⨯==
kN 3152
3
30kN;30=⨯
===NAB NBC F F F 查附表得：23cm 57835cm 237.A ;W ==
102.24MPa Pa 102410210578351031510237105226
4
363=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=--...A N W M σmax
14−7 一矩形截面杆件，受力如图所示。

F 1作用在杆件的对称平面内，F 2、F 3的作用线与杆件的轴线重合。

已知：F 1=15kN ，F 2=15kN ，F 3=30kN ，l =2m ，杆件的截面尺寸：
b =150mm ，h =200mm ，试求杆横截面上的最大压应力和最大拉应力。

解：杆的最大压应力和最大拉应力发生在杆的底截面。

此处弯矩值为
kN.m
302151=⨯==l F M MPa 513Pa 105312
015010301520150611030632332c ....)(..A F F W M σmax
-=⨯-=⨯⨯+-⨯⨯⨯-=++= MPa 528Pa 105282
0150103015201506
110306323
32t ....)(..A F F W M σmax
=⨯=⨯⨯+-⨯⨯⨯=+-=
14−8 一正方形截面杆件，边长为a ，承受轴向拉力如图所示。

现在杆件中间某处挖一个槽，槽深
4
a
，试求：
习题14−6图 习题14−7图
（1）开槽前槽口处截面m m -上的最大拉应力；
（2）开槽后槽口处截面m m -上的最大拉应力和最大压应力以及所在点的位置。

解：（1）开槽前2
max a F
σ＝ （2）开槽后：
4
3969436182
32
a A ,a a a W ,a F M =
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅= 096
9843389698433
2232===+=+a a
F
a F W M A F σ;a F a a F
a F W M A F σ－－＝＝压拉 14−9 一矩形截面柱，受力如图所示，F 1的作用线与柱轴线重合，F 2的作用线与轴线有一偏心距y F =150mm ，已知：
b =120mm ，h =200mm ，F 1=80kN ，F 2=50kN ，试求柱横截面上的最大拉应力和最大压应力。

欲使柱横截面内不出现拉应力，问偏心距y F 应等于多少？此时的最大压应力为多少？
解：柱底截面的弯矩值为：
kN.m
57150502..y F M F =⨯==MPa 7914Pa 1079142
0120105080201206110576323
21c ....)(...A F F W M σmax
-=⨯-=⨯⨯+-⨯⨯⨯-=++=MPa 963Pa 109632
0120105080201206
1105763
23
21t ....)(...A F F W M σmax
=⨯=⨯⨯+-⨯⨯⨯=+-= 由：020120105080201206
1105032
32
1t =⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯=+-=..)(..y A F F W M σF
得：mm m .y F 870870==
此时
习题14−8图 m
习题14−9图
MPa 8510Pa 1085102
012
0105080201206
11008705063
2321c ....)(...A F F W M σmax
-=⨯-=⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯-=++=
14−10 一砖砌的烟囱高h =50m ，自重G 1=2800kN ，烟囱底截面（1−1）外径d 1=3.5m ，内径d 2=2.5m ，受风荷载
q =1.2kN/m 的作用，基础埋深h 1=5m ，基础及回填土重量
G 2=1200kN ，地基的容许压应力为
[σ]=0.3MPa ，试求：
（1）烟囱底截面（1−1）上的最大压应力； （2）求圆形基础的直径。

解：（1）1−1截面的弯矩值为：kN.m 150050212
1
2122=⨯⨯==
.qH M MPa 1551Pa 1015514
524531028005253321015006
2
233
33c ..)..(π)..(πA G W M σmax
-=⨯-=-⨯--⨯⨯-=--=(2) 基础底截面弯矩值为：
kN.m 18005502150212
1
2122=⨯⨯+⨯⨯=+=
..qHd qH M 由[]σσmax c ≤得：[]σD π)(D
πA G W M σmax
≤⨯+-⨯-=--=4
10
12002800321018002
3
33c 解上式得：m 355.D ≥
14−11 有一矩形素混凝土水坝，如图所示，试求当水位达到坝顶时，水坝底面处的最大拉应力和最大压应力。

设混凝土容重为24kN/m 3。

如果要求坝底不出现拉应力，则最大容许水深为多少？
1−1
解：坝底截面的弯矩值为：kN.m 822422121896
1
6122....H q M max =⨯⨯⨯==
MPa
21701021701
30102130241306
1108224263
23c .pa ......A G W M σmax
-=⨯-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=--=MPa 159********
30102130241306
110822426323t .pa ......A G W M σmax
=⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-= 若要求坝底不出现拉应力，则由
01
30102130241306
1108961
323
3t =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=....h .A G W M σmax
解上式得：m .h 6420=
14−12 一圆形截面的曲拐，受力如图所示，已知：F =1kN ， E =200GPa ，G =0.4E ，
圆截面直径d =120mm ，试求自由端C 的挠度。

解：自由端C 的挠度由BC 杆的弯曲变形和AB 杆的扭转变形、弯曲变形共同引起。

AB 杆的扭矩为：kN.m 51511..Fl T =⨯==
扭转角为：34
9310843112032
10200402
1051-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=..π
..GI Tl
θP
扭转变形引起的C 点的挠度为：mm 792m 10792511084313
3
1....l θf C =⨯=⨯⨯==--
BC 杆的弯曲变形引起的C 点的挠度为：
mm 55290m 10529512064
10200351101344
93
332
...π
.EI
Fl f C ＝-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==
BC 杆的弯曲变形引起的C 点的挠度为：
习题14−12图
工程力学(天津大学)第14章答案
mm 311m 1031112064
1020032101334
93
333
...π
EI
Fl f C ＝-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==
所以：C 点的挠度为：
mm 65431155290792321....f f f f C C C C =++=++=
14−13 确定图示截面的截面核心。

解：截面面积为：222)t a (a A --=
截面惯性矩为：44212
1
12)t a (a I I z y --==
[]
22
22212
1)t a (a A I i i z y -+==
= 当∞==
1
12y z α,a
α，代入上式得： )a
t t a (αi z z y F 3232312121
+--=-=
因为a t <<，所以a z F 3
1
1-≈，01=F y
同理可定出其它的压力作用点。

截面核心如上右图所示。

y
习题14−13图
y。