离散数学(chapter10一些特殊的图)精品PPT课件
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因为每个值班人员的值班天数都不多于四天，故每 个结点的度数至少是３，任两个结点度数的和至少是 ６，根据判断定理（1）， G包含一条哈密尔顿通路， 它对应着一个可行的值班安排方案。
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离散数学
31
§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图：图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式 画在平面上，则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手，结 果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释，他的命运？
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离散数学
3
用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系： 卫士
宫女
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离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一 批.
K5
K3,3
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离散数学
32
面：设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入)， G的边将G所在的平面划分成若干个区域， 每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0， 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
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33
包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。 边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。
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离散数学
10
若|V1| = n，|V2| = m，则记完全二部图G为Kn, m
K2, 3
K3, 3
二部图 一个无向图G = <V, E>是二部图当且仅 判定定理 当G中无奇数长度的回路。
圈的长度都是偶数
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离散数学
11
例1：判断下列图是否为二部图。
v8 v2
v7
设G是任意的连通分支为k(k 2)的平面图， 推广 则有V– E + F = k + 1成立。
其中：V为顶点数，E为边数，F为面数。
例.已知一个连通的平面图有10个点，12个面，问该 平面图有多少条边？
E=V+F-2=10+12-2=20
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离散数学
40
例： 设非连通平面图G有9个结点，2个连通 分支，且所有的有限面的次数均为3条边， 而无限面的次数为7，问G有多少边和面？
离散数学
30
例（时间分配问题）考虑在一周内每天安排人员值班， 要求同一个值班人员不安排在接连的两天值班，请应 用有关图论性质证明：如果值班人员的值班天数都不 多于四天，则存在满足上述要求的值班安排方案。
解 设每一个结点对应一个值班日，如果两个结点对 应的值班人员不同，那么这两个结点之间连接一条边， 于是得到一个包含７个结点的图G 。
对于含k(k 2)个连通分支的非连通的平面图， 其无限面R0的边界则由k个回路围成。
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离散数学
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v1
v4 v6
R1 R2
v2
v3
v5 R0
v1
v4
v5 R1 R2 R3
v2
v3 R0
v1 v4 v5
R1
R0 R2
v2 v3 v6 v7
deg(R1) = 3 deg(R2) = 3 deg(R0) = 8
两个极小非平面图
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离散数学
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极大平面图的性质：(1) 极大平面图是连通的； (2) 任何n(n 3)阶极大平面图每个面的次数均为3；
(3) 任何n(n 4)阶极大平面图G均有 (G) 3。
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离散数学
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设G是任意的连通的平面图，
欧拉
公式 则有V – E + F = 2成立。 其中：V为顶点数，E为边数，F为面数。
都大于等于n -1，则G中存在哈密尔顿通路。 (2)若G中任何一对不相邻的顶点的度数之和
都大于等于n，则G是哈密尔顿图。
(1)若对uvE(G)，d(u)+d(v)n-1，则G中存在哈 密尔顿通路。
(2)若对uv E(G)，d(u)+d(v)n，则G是哈密尔顿 图。
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离散数学
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离散数学
28
该条件不是必要条件，如下图：
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离散数学
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哈密尔顿图（续）
在n(n 2)阶有向图D = <V, E>中，如果所有
充分 条件
有向边均用无向边代替，所得无向图中含生
成子图Kn，则有向图D中存在哈密尔顿通路。
推论 n(n 3)阶有向完全图是哈密尔顿图。
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离散数学
22
哈密顿环游世界游戏
哈密顿是18世纪英国的一位爵士,他发明了一个环 游世界的游戏,该游戏以5英镑卖给了一个经销商.
是否存在 从一城市 出发经过 每个城市 恰好一次 有回到出 发城市的 旅游路线?
正十二面体
点表示世界 的20个城市
边表示路线
一个图如果存在这样的路线,称为哈密顿图.
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离散数学
13
设M是G的一个匹配，v是G的一个点，如果v是M 中某边的端点，则称v为M饱和的。
如果G中所有点都是M饱和的，则称M为完美匹配。
v1 v3 v5
v2 v4 v6
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离散数学
14
亚瑟王的配婚问题，就是寻找完美匹配。
最大匹配：边数最多的匹配。 匹配数：最大匹配中元素的个数。 锁具装箱问题要求匹配数。
连通图且所有顶点的度数全为偶数。
？
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离散数学
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欧拉图（续）
欧拉图的判定定理：
(3) 有向图D具有欧拉通路当且仅当D是连通图，且 除了两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。 这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度 大1，另一个顶点的出度比入度大1。
(4) 有向图D是欧拉图(具有欧拉回路)当且仅当D是 连通图，且所有顶点的入度等于出度。
现聘聘请你为顾问, 回答并解 决以下问题:
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离散数学
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1) 每一批锁具有多少个, 装多少箱.
2) 为销售部门提供一种方案, 包括如何装 箱(仍是60个锁具一箱),如何给箱子以标志, 出 售时如何利用这些标志, 使团体顾客不再或减少 抱怨.
3) 采取你提出的方案, 团体顾客的购买量 不超过多少箱, 就可以保证一定不会出现互
解 用结点表示教师和课程，教师能教课程用边连接相关的 结点，得如图所示的二部图。
赵
钱
孙
李
DM
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OS
C
图10-9 课程安排图
离散数学
DB
16
图论中的第一个问题：哥尼斯堡七桥问题
B
A C
D
B°
欧拉于1736年解决了此
问题，从而使他成了图论
C°
°A
和拓扑学的创始人。 D°
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解：设有m条边，f 个面，则 9mf 3
73(f1)2m
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设G是连通的平面图，且每个面的次数 定理 至少为l (l 3)，则 mll 2(。n2)
设G是连通分支为p(p 2)的平面图，每个面
推广 的次数至少为l (l 3)，则 mll2(n。p1)
定理 设G是简单平面图，则m 3n – 6。
有关图的完美匹配的存在性的判断：
(1)Hall定理（二部图）；
(2)Tutte定理（一般情况）。
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离散数学
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例 要给四位教师（赵、钱、孙、李）从离散数学（DM）、 操作系统（OS）、C++（C）、数据库（DB）中各安排 一门课程。现知道赵老师能教离散数学，钱老师能教操作 系统和数据库，孙老师能教离散数学、C++和数据库，李 老师能教操作系统和C++。问如何安排才能使每个教师不 教自己不熟悉的课程？
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deg(R1) = 4 deg(R2) = 3 deg(R3) = 1 deg(R0) = 6
离散数学
deg(R1) = 4 deg(R2) = 3 deg(R0) = 7
35
在一个平面图G中，所有面的次数之和
定理 等于边数m的2倍。
r
即 degR( i，) 其2中mr为面数。 i0
离散数学
主讲教师
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1
第10章 一些特殊的图
§10.1 二部图 §10.2 欧拉图 §10.3 哈密尔顿图 §10.4 平面图
§10.5 树
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离散数学
2
亚瑟国王的配婚问题：150个卫士和150个宫女来 自不同的家族，有的家族之间有历史恩怨，彼此不愿 意成婚。
亚瑟国王要求其一大臣将他们配对成婚，否则将把 该大臣投入监狱。
系： 奇
偶
以上两个问题对应图有什么特点？
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§10.1 二部图
二部图(偶图)：若无向图G = <V, E>的顶点集V能 划分成两个子集V1和V2，使得G中任何一条边的 两个端点一个属于V1，另一个属于V2，则称G为 二部图(偶图)。V1,V2称为互补顶点子集。
完全二部图(完全偶图)：若V1中任一顶点与V2中 每个顶点均有且仅有一条边相关联，则称G为完 全二部图(完
20
例2：判断下列图是否为欧拉图。
a cb ji
d
e
g f
h
是欧拉图
a
b
e
c
d
不是欧拉图， 但有欧拉通路
a
b
e
c
d
是欧拉图
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离散数学
21
一笔画问题的条件：一个图可一笔画当且仅当 图中
(1) 所有点都是偶点； 或 (2)恰好有两个奇点。
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离散数学
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极大平面图：设G是一个简单平面图，如果在G中 任意不相邻的两个顶点之间再加一条边， 所得图为非平面图，则称G为极大平面图。
一个极
非极大
大平面
平面图
图
结论：若G是一个(p,q)极大平面图，则每个有限面是 一个三角形，且q=3p-6。
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极小非平面图：若在非平面图G中任意删除一条边， 所得图为平面图，则称G为极小非平面图。
v3 v1 同构于
v6
v4
v5
v1 v3 v5 v7 v2 v4 v6 v8
v1 v6
v5
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v2
同构于
v3 v4
v1 v3 v5 v2 v4 v6
离散数学
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匹配：设E’是图G=(V,E)的边集的子集，如果 E’中的边是相互不相邻的，则称E’ 是G的一个匹配。
v1 v3 v5
v2 v4 v6
离散数学
23
§10.3 哈密尔顿图
哈密尔顿通路(哈密尔顿回路)：经过图中每个顶点 一次且仅一次的通路(回路)， 称为哈密尔顿通路(哈密尔顿回路)。
哈密尔顿图：存在哈密尔顿回路的图。
d
c b
d
d
ec
e a c ef a
a
b
b
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哈密尔顿图（续）
必要 条件
设无向图G = <V, E>是哈密尔顿图，V1是V的 任意非空子集，则p(G –V1) |V1|。
其中，p(G –V1)为从G中删除V1 (删除V1中各
顶点及其关联的边)后所得子图的连通分支数。
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哈密尔顿图（续）
例3：判断下列图是否为哈密尔顿图。
都不是哈密尔顿图
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充分 设G是n(n 3)阶无向简单图， 条件 (1)若G中任何一对不相邻的顶点的度数之和
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§10.2 欧拉图 （一笔画问题）
欧拉通路(欧拉回路)：经过图中每条边一次且仅一 次并且行遍每个顶点的通路(回路)， 称为欧拉通路(欧拉回路)。
欧拉图：存在欧拉回路的图。
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欧拉图的判定定理： (1) 无向图G具有欧拉通路当且仅当G是连通图且有
零个或两个奇数度顶点。 (2) 无向图G是欧拉图(具有欧拉回路)当且仅当G是
从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中" 一把钥匙开一把锁".
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但是在当前工 艺条件下, 对于同一批中两个 锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对 应的 5个 槽的高度中有 4个相同, 另一个的高度 差为 1, 则可能互开; 在其它情形下, 不可能互 开.
原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60 个装一箱出售. 团体顾客往往购买 几箱到几十箱, 他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形.
4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量 团体顾客抱怨互开的程度 (试对购买一、二 箱 者给出具体结果).
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可以证明： (1)槽高的和为奇数(或偶数)的锁之间不能互开； (2)一批锁具中，槽高的和为奇数与偶数的各占
一半。
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此问题涉及到“互开”关系，用图表示这种互开关
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§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图：图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式 画在平面上，则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手，结 果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释，他的命运？
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用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系： 卫士
宫女
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1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一 批.
K5
K3,3
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面：设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入)， G的边将G所在的平面划分成若干个区域， 每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0， 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
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包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。 边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。
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若|V1| = n，|V2| = m，则记完全二部图G为Kn, m
K2, 3
K3, 3
二部图 一个无向图G = <V, E>是二部图当且仅 判定定理 当G中无奇数长度的回路。
圈的长度都是偶数
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例1：判断下列图是否为二部图。
v8 v2
v7
设G是任意的连通分支为k(k 2)的平面图， 推广 则有V– E + F = k + 1成立。
其中：V为顶点数，E为边数，F为面数。
例.已知一个连通的平面图有10个点，12个面，问该 平面图有多少条边？
E=V+F-2=10+12-2=20
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例： 设非连通平面图G有9个结点，2个连通 分支，且所有的有限面的次数均为3条边， 而无限面的次数为7，问G有多少边和面？
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例（时间分配问题）考虑在一周内每天安排人员值班， 要求同一个值班人员不安排在接连的两天值班，请应 用有关图论性质证明：如果值班人员的值班天数都不 多于四天，则存在满足上述要求的值班安排方案。
解 设每一个结点对应一个值班日，如果两个结点对 应的值班人员不同，那么这两个结点之间连接一条边， 于是得到一个包含７个结点的图G 。
对于含k(k 2)个连通分支的非连通的平面图， 其无限面R0的边界则由k个回路围成。
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v1
v4 v6
R1 R2
v2
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v5 R0
v1
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v5 R1 R2 R3
v2
v3 R0
v1 v4 v5
R1
R0 R2
v2 v3 v6 v7
deg(R1) = 3 deg(R2) = 3 deg(R0) = 8
两个极小非平面图
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极大平面图的性质：(1) 极大平面图是连通的； (2) 任何n(n 3)阶极大平面图每个面的次数均为3；
(3) 任何n(n 4)阶极大平面图G均有 (G) 3。
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设G是任意的连通的平面图，
欧拉
公式 则有V – E + F = 2成立。 其中：V为顶点数，E为边数，F为面数。
都大于等于n -1，则G中存在哈密尔顿通路。 (2)若G中任何一对不相邻的顶点的度数之和
都大于等于n，则G是哈密尔顿图。
(1)若对uvE(G)，d(u)+d(v)n-1，则G中存在哈 密尔顿通路。
(2)若对uv E(G)，d(u)+d(v)n，则G是哈密尔顿 图。
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该条件不是必要条件，如下图：
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哈密尔顿图（续）
在n(n 2)阶有向图D = <V, E>中，如果所有
充分 条件
有向边均用无向边代替，所得无向图中含生
成子图Kn，则有向图D中存在哈密尔顿通路。
推论 n(n 3)阶有向完全图是哈密尔顿图。
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哈密顿环游世界游戏
哈密顿是18世纪英国的一位爵士,他发明了一个环 游世界的游戏,该游戏以5英镑卖给了一个经销商.
是否存在 从一城市 出发经过 每个城市 恰好一次 有回到出 发城市的 旅游路线?
正十二面体
点表示世界 的20个城市
边表示路线
一个图如果存在这样的路线,称为哈密顿图.
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设M是G的一个匹配，v是G的一个点，如果v是M 中某边的端点，则称v为M饱和的。
如果G中所有点都是M饱和的，则称M为完美匹配。
v1 v3 v5
v2 v4 v6
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亚瑟王的配婚问题，就是寻找完美匹配。
最大匹配：边数最多的匹配。 匹配数：最大匹配中元素的个数。 锁具装箱问题要求匹配数。
连通图且所有顶点的度数全为偶数。
？
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欧拉图（续）
欧拉图的判定定理：
(3) 有向图D具有欧拉通路当且仅当D是连通图，且 除了两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。 这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度 大1，另一个顶点的出度比入度大1。
(4) 有向图D是欧拉图(具有欧拉回路)当且仅当D是 连通图，且所有顶点的入度等于出度。
现聘聘请你为顾问, 回答并解 决以下问题:
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1) 每一批锁具有多少个, 装多少箱.
2) 为销售部门提供一种方案, 包括如何装 箱(仍是60个锁具一箱),如何给箱子以标志, 出 售时如何利用这些标志, 使团体顾客不再或减少 抱怨.
3) 采取你提出的方案, 团体顾客的购买量 不超过多少箱, 就可以保证一定不会出现互
解 用结点表示教师和课程，教师能教课程用边连接相关的 结点，得如图所示的二部图。
赵
钱
孙
李
DM
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C
图10-9 课程安排图
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图论中的第一个问题：哥尼斯堡七桥问题
B
A C
D
B°
欧拉于1736年解决了此
问题，从而使他成了图论
C°
°A
和拓扑学的创始人。 D°
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解：设有m条边，f 个面，则 9mf 3
73(f1)2m
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设G是连通的平面图，且每个面的次数 定理 至少为l (l 3)，则 mll 2(。n2)
设G是连通分支为p(p 2)的平面图，每个面
推广 的次数至少为l (l 3)，则 mll2(n。p1)
定理 设G是简单平面图，则m 3n – 6。
有关图的完美匹配的存在性的判断：
(1)Hall定理（二部图）；
(2)Tutte定理（一般情况）。
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例 要给四位教师（赵、钱、孙、李）从离散数学（DM）、 操作系统（OS）、C++（C）、数据库（DB）中各安排 一门课程。现知道赵老师能教离散数学，钱老师能教操作 系统和数据库，孙老师能教离散数学、C++和数据库，李 老师能教操作系统和C++。问如何安排才能使每个教师不 教自己不熟悉的课程？
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deg(R1) = 4 deg(R2) = 3 deg(R3) = 1 deg(R0) = 6
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deg(R1) = 4 deg(R2) = 3 deg(R0) = 7
35
在一个平面图G中，所有面的次数之和
定理 等于边数m的2倍。
r
即 degR( i，) 其2中mr为面数。 i0
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主讲教师
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1
第10章 一些特殊的图
§10.1 二部图 §10.2 欧拉图 §10.3 哈密尔顿图 §10.4 平面图
§10.5 树
29.11.2020
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2
亚瑟国王的配婚问题：150个卫士和150个宫女来 自不同的家族，有的家族之间有历史恩怨，彼此不愿 意成婚。
亚瑟国王要求其一大臣将他们配对成婚，否则将把 该大臣投入监狱。
系： 奇
偶
以上两个问题对应图有什么特点？
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§10.1 二部图
二部图(偶图)：若无向图G = <V, E>的顶点集V能 划分成两个子集V1和V2，使得G中任何一条边的 两个端点一个属于V1，另一个属于V2，则称G为 二部图(偶图)。V1,V2称为互补顶点子集。
完全二部图(完全偶图)：若V1中任一顶点与V2中 每个顶点均有且仅有一条边相关联，则称G为完 全二部图(完
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例2：判断下列图是否为欧拉图。
a cb ji
d
e
g f
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是欧拉图
a
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不是欧拉图， 但有欧拉通路
a
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e
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是欧拉图
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一笔画问题的条件：一个图可一笔画当且仅当 图中
(1) 所有点都是偶点； 或 (2)恰好有两个奇点。
29.11.2020
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极大平面图：设G是一个简单平面图，如果在G中 任意不相邻的两个顶点之间再加一条边， 所得图为非平面图，则称G为极大平面图。
一个极
非极大
大平面
平面图
图
结论：若G是一个(p,q)极大平面图，则每个有限面是 一个三角形，且q=3p-6。
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极小非平面图：若在非平面图G中任意删除一条边， 所得图为平面图，则称G为极小非平面图。
v3 v1 同构于
v6
v4
v5
v1 v3 v5 v7 v2 v4 v6 v8
v1 v6
v5
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v2
同构于
v3 v4
v1 v3 v5 v2 v4 v6
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匹配：设E’是图G=(V,E)的边集的子集，如果 E’中的边是相互不相邻的，则称E’ 是G的一个匹配。
v1 v3 v5
v2 v4 v6
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§10.3 哈密尔顿图
哈密尔顿通路(哈密尔顿回路)：经过图中每个顶点 一次且仅一次的通路(回路)， 称为哈密尔顿通路(哈密尔顿回路)。
哈密尔顿图：存在哈密尔顿回路的图。
d
c b
d
d
ec
e a c ef a
a
b
b
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哈密尔顿图（续）
必要 条件
设无向图G = <V, E>是哈密尔顿图，V1是V的 任意非空子集，则p(G –V1) |V1|。
其中，p(G –V1)为从G中删除V1 (删除V1中各
顶点及其关联的边)后所得子图的连通分支数。
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哈密尔顿图（续）
例3：判断下列图是否为哈密尔顿图。
都不是哈密尔顿图
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充分 设G是n(n 3)阶无向简单图， 条件 (1)若G中任何一对不相邻的顶点的度数之和
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§10.2 欧拉图 （一笔画问题）
欧拉通路(欧拉回路)：经过图中每条边一次且仅一 次并且行遍每个顶点的通路(回路)， 称为欧拉通路(欧拉回路)。
欧拉图：存在欧拉回路的图。
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欧拉图的判定定理： (1) 无向图G具有欧拉通路当且仅当G是连通图且有
零个或两个奇数度顶点。 (2) 无向图G是欧拉图(具有欧拉回路)当且仅当G是
从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中" 一把钥匙开一把锁".
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但是在当前工 艺条件下, 对于同一批中两个 锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对 应的 5个 槽的高度中有 4个相同, 另一个的高度 差为 1, 则可能互开; 在其它情形下, 不可能互 开.
原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60 个装一箱出售. 团体顾客往往购买 几箱到几十箱, 他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形.
4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量 团体顾客抱怨互开的程度 (试对购买一、二 箱 者给出具体结果).
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可以证明： (1)槽高的和为奇数(或偶数)的锁之间不能互开； (2)一批锁具中，槽高的和为奇数与偶数的各占
一半。
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此问题涉及到“互开”关系，用图表示这种互开关