走向高考高三数学一轮北师大课件：第章 选修4 第节 不等式的证明

它们的几何意义，并会证明．
值不等式的解
①|α|·|β|≥|α·β|；
法和不等式的
②(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；
证明仍然是高
③ x1－x22＋y1－y22＋ x2－x32＋y2－y32 考考查的重点，
≥ x1－x32＋y1－y32.
绝对值不等式
2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合 与函数问题的
第十三章 系列4选讲
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2．三个正数的算术—几何平均不等式
(1) 定 理
如果
a，b，c
均
为
正
数
，
那
么
a＋b＋c 3
__≥______s abc，当且仅当_a_＝__b_＝__c_时，等号成立． 即三个正数的算术平均_不__小__于___它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均__不__小__于__
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第十三章 系列4选讲
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第十三章 选修4－5 不等式选讲
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第十三章 第二节 不等式的证明
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1 高考目标导航
3 课堂典例讲练
2 课前自主导学
4 课时作业
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高考目标导航
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考纲要求
命题分析
1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解 本节内容绝对
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[方法总结] 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析 法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证 明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清 楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步 骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前 提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
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若 3x＋4y＝2，则 x2＋y2 的最小值为________．
[答案]
4 25
[解析] 由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①
得 25(x2＋y2)≥4，
所以 x2＋y2≥245.
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求证：(1)(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8；
(2) a＋ b＋ c≤3. [规范解答] (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ca，
(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)＝b＋caa＋bcca＋b
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8.
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∴|2x＋y|≤ 11，
∴2x＋y≤ 11.
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[方法总结] 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过 配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不 等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
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(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ca， 2(a＋b＋c)≥2 ab＋2 bc＋2 ca， 两边同加 a＋b＋c 得 3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2 ab＋2 bc ＋2 ca＝( a＋ b＋ c)2. 又 a＋b＋c＝1， ∴( a＋ b＋ c)2≤3， ∴ a＋ b＋ c≤ 3.
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设 a，b，c>0，且 ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥ 3. (2) bac＋ abc＋ acb≥ 3( a＋ b＋ c)．
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[解析] (1)要证 a＋b＋c≥ 3， 由于 a，b，c>0， 因此只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而 ab＋bc＋ca＝1， 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
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3．设 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，c 的大小关系为________．
[答案] a>b>c
[解析]
分子有理化得 a＝
1 3＋
2，b＝
1 6＋
， 5
c＝
1 7＋
， 6
∴a>b>C．
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4．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道 a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明 a>b，只要 证明__a_－__b_>_0_即可，这种方法秒为求差比较法． ②求商比较法 由 a>b>0⇔ab>a1 且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时要证明 a>b，只要证明___b_>_1___即可，这种方法称为求商比较法．
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(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当___x_＝__y__时，它们 的积P取得最___大_____值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当___x_＝__y__时，它们 的和S取得最____小____·[( 2a)2＋( 2b)2＋( 2c2]
≥( a· 2a＋ b· 2b＋ c· 2c)2 ＝18.
∴2a＋2b＋2c≥2.
∴2a＋2b＋2c的最小值为 2.
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课堂典例讲练
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柯西不等式的应用
已知 3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤ 11.
[规范解答]
由于
2x＋y＝
2 3(
3x)＋12(
2y)，
由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a21＋a22)(b21＋b22)得
(2x＋y)2≤[(
23)2＋(
1 2
)2](3x2
＋2y2)≤(43＋
1 2
)×6＝
161×6＝
11，
它们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an____≥____n a1a2…an，当且 仅当_a_1_＝__a_2＝__…__＝__a_n_时，等号成立．
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3．柯西不等式 (1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2， 当且仅当 ad＝bc 时等号成立． (2)设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当 且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝ 1,2，…，n)时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则 |α·β|≤|α||β|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时， 等号成立．
即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋cA．
而这可以由 ab＋bc＋ca≤a2＋2 b2＋b2＋2 c2＋c2＋2 a2＝a2＋b2 ＋c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)证得．
所以原不等式成立．
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(2) bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c.
1.已知 a<0，b<0，且a12>b12，则 a，b 的大小关系为________． [答案] a>b 2．已知 a，b，m 均为正数，且 a<b，M＝ab，N＝ba＋＋mm， 则 M、N 的大小关系是________． [答案] M<N [解析] M－N＝ab－ba＋＋mm＝mbba＋－mb<0，即 M<N.
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(6)数学归纳法 设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起 始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也 成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．
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法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．能 综合是高考的
够利用基本不等式、柯西不等式证明一些简单 趋势，值得关
问题以及求一些特定函数的极值.
注.
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课前自主导学
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1．基本不等式 (1)定理：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝ b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果 a，b>0，那么a＋2 b____≥____ ab， 当且仅当___a_＝__b__时，等号成立．也可以表述为：两个_正__数_____ 的算术平均_不__小__于__(_即__大__于__或__等__于__)___它们的几何平均．
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(2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_充__分__条__件_，直到 将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理 等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推 理论证，推导出所要证明不等式成立，即“由因寻果”的方 法，这种证明不等式的方法称为综合法．
不等式①中当且仅当3x＝4y时等号成立，x2＋y2 取得最小值，
3x＋4y＝2， 由方程组3x＝4y.
解得yx＝＝226855， .
因此当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
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用综合法或分析法证明不等式
已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，
在(1)中已证 a＋b＋c≥ 3.
因此要证原不等式成立，
只需证明
1≥ abc
a＋
b＋
c，
即证 a bc＋b ac＋c ab≤1，
即证 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋cA．
4．已知 a>0，b>0，则 P＝lg(1＋ ab)，Q＝12[lg(1＋a)＋lg(1 ＋b)]的大小关系为________．
[答案] P≤Q
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[解析] 12[lg(1＋a)＋(1＋b)]＝lg 1＋a1＋b. ∵ (1 ＋a)(1＋ b) ＝ 1＋(a ＋ b) ＋ ab≥1 ＋ 2 ab ＋ ab ＝ (1 ＋ ab)2， ∴ 1＋a1＋b≥1＋ ab， ∴ 1＋a1＋b≥1＋ ab， ∴lg(1＋ ab)≤lg 1＋a1＋b ＝12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]， 即 lg(1＋ ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． ∴P≤Q.
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(4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式___相__反___的假设； 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出 矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地 _放__大__或__缩__小___，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等 式关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．
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5．设 a，b，c 是正实数，且 a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最 小值为________．
[答案] 2
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[解析]
∵
(a
＋
b
＋
c)(
2 a
＋
2 b
＋
2 c
)
＝
[(
a )2 ＋ (