2019-2020学年甘肃省天水市甘谷第一中学高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年甘肃省天水市甘谷第一中学高二下学期开学
考试数学（理）试题
一、单选题
1．若集合{}
{
}
2
01,20A x x B x x x =<<=-<， 则下列结论中正确的是（ ） A ．A B ⋂=∅ B ．A B R ⋃=
C ．A B ⊆
D ．B A ⊆
【答案】C
【解析】由题意首先求得集合B ，然后逐一考查所给选项是否正确即可． 【详解】
求解二次不等式220x x -<可得：02x <<，则{}|02B x x =<<． 据此可知：{}|01A B x x ⋂=<<≠∅，选项A 错误；
{}|02A B x x ⋃=<<，选项B 错误；
且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误． 本题选择C 选项，故选C ． 【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 2．若a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b < B ．()ln 0a b ->
C ．11
33a b >
D ．a b >
【答案】C
【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】
对于A 选项，由于指数函数2x
y =为增函数，且a b >，22a b ∴>，A 选项中的不等式不成立；
对于B 选项，由于对数函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，a b >Q ，当01a b <-<时，()ln ln10a b -<=，B 选项中的不等式不恒成立；
对于C 选项，由于幂函数1
3
y x =在(),-∞+∞上单调递增，且a b >，1
1
33a b ∴>，C 选项
中的不等式恒成立；
对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但a b <，D 选项中的不等式不恒成立. 故选C. 【点睛】
本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.
3．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+ D ．(1)||y x x =-
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案． 【详解】
（A ）2
2y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除； （B ）1
2
x y +=的值域是（0，＋∞），排除；
（D ）()1y x x =-＝22,0,0
x x x x x x ⎧-≥⎨-+<⎩，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，
不符；
只有（C ）符合题意.故选C. 【点睛】
本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题． 4．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( ) A ．18 B ．72
C ．36
D ．144
【答案】D
【解析】甲、乙、丙三人相邻，用捆绑法分析，把三个元素看做一个元素同其他两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①、甲、乙、丙三人必须站在一起，将三人看做一个元素，考虑其顺序有A 33＝6种情况，
②、将这个元素与剩余的三个人进行全排列，有A 44＝24种情况，
则不同的排列种数为6×24＝144种； 故选D ． 【点睛】
本题考查排列组合及简单的计数问题，考查相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素.
5．=1,=2a b r r ，且a r 与b r
的夹角为120º，则()()
+22+a b a b ⋅r r r r 的值为( )
A ．-5
B ．5
C ．5-
D ．5
【答案】B
【解析】由平面向量数量积的定义可得1a b ⋅=-r r
，转化条件得
(
)()
22
+22+252a b a b a a b b ⋅=+⋅+r r r r r r r r ，即可得解.
【详解】
Q =1a r ，=2b r ，a r 与b r
的夹角为120º，
∴1cos1201212a b a b ⎛⎫
⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
o r r r r ，
∴()()
()22
2+22+252251225a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⨯-+⨯=r r r r r r r r .
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题.
6．已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】依题意，由于,a b 为正数，且1ab =，故()()1,log b
f x
g x x =单调性相同，
所以选B .
7．不论m 为何实数，直线()():1230l m x m y m -+-+=恒过定点（ ） A ．()3,1--
B ．()2,1--
C ．()–31，
D ．()–21，
【答案】C
【解析】将直线方程变形为()2130x y m x y ++--=,即可求得过定点坐标. 【详解】
根据题意,将直线方程变形为()2130x y m x y ++--= 因为m 位任意实数,则21030x y x y ++=⎧⎨
--=⎩,解得3
1x y =-⎧⎨=⎩
所以直线过的定点坐标为()3,1- 故选:C 【点睛】
本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.
8．方程31log 03x
x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
的解的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】判断函数13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与函数3log y x =的图象交点个数即可得解. 【详解】
在同一坐标系中作出函数13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与函数3log y x =的图象，如图所示：
易判断其交点个数为2个，则方程31log 03x
x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
的解的个数也为2个. 故选：C 【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的图像和性质，方程的根的个数转化为求函数图像的交点个数是解题的关键，属于基础题.
9．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64
【答案】B
【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】
当按照3:1:1进行分配时，则有13
3318C A =种不同的方案；
当按照2:2:1进行分配，则有23
3318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】
本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 10．已知0,0a b >>,直线1ax by +=被圆22(1)(3)9x y -+-=所截得弦长为6,则
11
3a b
+的最小值为( ) A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】根据圆的方程及半径，结合所截弦长为直径可知直线经过圆心，即可得
31a b +=.再根据基本不等式中“1”的代换即可求得11
3a b
+
的最小值.
【详解】
圆22(1)(3)9x y -+-=，所以圆心坐标为()1,3，半径为3r = 直线1ax by +=被圆截得弦长为6，
则直线经过圆的圆心，所以31a b +=，0,0a b >> 所以由基本不等式可得
113a b
+ ()1133a b a b ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
323b a a b
=+
+
24≥+= 当且仅当
33b a a b
=，即11
,26a b ==时取等号，
所以
11
3a b
+的最小值为4， 故选：A. 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，由基本不等式求最值，属于基础题.
11．将函数()2cos2f x x x =+的图象向右平移
6
π
，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 1+
B ．函数()g x 的最小正周期为π
C ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D ．函数()g x 的图像关于直线3x π=对称 【答案】C
【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解
()g x ，再根据正弦函数的性质进行判断即可．
【详解】
化简得()cos22sin 26f x x x x π⎛
⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
，向右平移
6
π
后可得
2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标长度不变）得到函数()g x ， 所以()2sin 6g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
， 由三角函数性质知：()g x 的最大值为2，故A 错； 最小正周期为2π，故B 错；
对称轴为2623x k x k π
π
πππ-
=
+∴=
+，，k Z ∈，给k 赋值，x 取不到3
π
，故D 错；
又-2π262k x πππ+≤-≤2k π+，则-3
π
223k x ππ+≤≤2k π+，k Z ∈，
∴单调增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈，
当k=0时，单调增区间为222,,,336333ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，，故C 正确， 故选C. 【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于基础题．
12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n a a +<的正整数n 的值为（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【解析】利用675S S S >>得670,0a a ><，可得结论． 【详解】
∵675S S S >>，∴6650a S S =->，7760a S S =-<，67750a a S S +=->， 数列{}n a 是等差数列，∴6n ≤时，0n a >，7n ≥时，0n a <， ∴满足10n n a a +<的n 为6. 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和与项的关系，考查等差数列和性质．非常数的等差数列要
么递增，要么递减．
二、填空题
13．若34
6n n A C =，则n 的值为 ．
【答案】7
【解析】试题分析：由34
6n n A C =可得
4
4
{{
7(1)(2)(3)34(1)(2)64321
n n n n n n n n n n n ≥≥⇒⇒=----=--=⨯
⨯⨯⨯. 【考点】排列数及组合数的计算.
14．一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2
只球，则2只球都是白球的概率为____． 【答案】
【解析】计算出“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“2只球都是白球”有种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解。

【详解】
由题可得：“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果， “摸出的2只球都是白球”有种不同的结果.
所以“从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球”的概率为
【点睛】
本题主要考查了组合知识，还考查了古典概型概率计算公式，属于基础题。

15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足条件①BM DM ⊥，②DM PC ⊥，③BM PC ⊥中的______时，平面MBD ⊥平面PCD （只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.
【答案】②（或③）
【解析】推出BD PC ⊥,则要得到平面MBD ⊥平面PCD ,即要得到PC ⊥平面MBD ,
故只需PC 垂直平面MBD 内的一条与BD 相交的直线即可. 【详解】
PA ⊥Q 底面ABCD ,PA BD ∴⊥,
Q 底面各边都相等,AC BD ∴⊥,
PA AC A =Q I ,BD ∴⊥平面PAC ,
BD PC ∴⊥,
∴当DM PC ⊥(或)BM PC ⊥时,即有PC ⊥平面MBD ,
而PC ⊂平面PCD ,∴平面MBD ⊥平面PCD . 故答案为:②(或③). 【点睛】
本题考查线面､面面垂直的判定与性质应用,需要学生具备一定的空间想象能力与逻辑思维能力.
16．已知点()1,3A ，()4,2B ,若直线20ax y a --=与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(][),31,-∞-+∞U
【解析】根据直线方程可确定直线过定点()2,0M ；求出有公共点的临界状态时的斜率，即MA k 和MB k ；根据位置关系可确定a 的范围. 【详解】
直线20ax y a --=可整理为：()2y x a =-
∴直线20ax y a --=经过定点()2,0M
30312
MA k -∴=
=--，20
142MB k -=
=- 又直线20ax y a --=的斜率为a
2(3)15m -+=的取值范围为：(][),31,-∞-+∞U
本题正确结果：(][),31,-∞-+∞U 【点睛】
本题考查根据直线与线段的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确直线经过的定点，从而确定临界状态时的斜率.
三、解答题
17．在()22n
n N x *⎫∈⎪⎭的展开式中，第三项的二项式系数与第二项的二项式系数之比是9:2． （1）求n 的值；
（2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）10n =（2）180
【解析】（1）根据二项式系数公式，结合已知直接求解即可；
（2）写出二项式的展开式的通项公式并化简，令x 的指数为零求解即可. 【详解】
（1）21
:9:210n n C C n =⇒=，
（2）105211010222r r
r
r
r r
r T C C x x --+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
， 当
10502
r -=，即2r =时，常数项为2
210
2180C ⋅=． 【点睛】
本题考查了二项式系数，考查了二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力. 18．（用数字作答）从5本不同的故事书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问：
（1）如果故事书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？ （2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？ 【答案】（1）1440；（2）504.
【解析】（1）由分步乘法计数原理可得共有224
544C C A 种送法，计算即可得解； （2）由分步乘法的计数原理可得共有24
74504C A =种送法，计算即可得解. 【详解】
（1）由题意可知，5本不同的故事书中任选2本有2
5C 种选择，4本不同的数学书中任选2本有24C 种选择，4个不同的学生又有4
4A 种选择， 因此由乘法计数原理得共有224
5441440C C A =种不同的送法；
（2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，则需要从剩余7本中选2本书即2
7C 种选择，4个不同的学生又有4
4A 种选择，
因此由乘法计数原理得共有24
74504C A =种不同的送法
【点睛】
本题考查了分步乘法计数原理与排列组合的综合应用，属于基础题.
19．如图，四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，
四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2BC AD =，E 为PB 中点.
（1）求证：//AE 平面PCD ；
（2）求证：AE BC ⊥.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】（1）取PC 的中点F ，证出//AE DF ，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用线面垂直的判定定理可证出BC ⊥平面PAB ，再根据线面垂直的定义即可证出.
【详解】
如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，
Q E 为PB 中点，//EF BC ∴，且12
EF BC =
， 又Q //AD BC ，2BC AD =， AD EF ∴=，//AD EF ,
AEFD ∴为平行四边形，即//AE DF ，
又AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，
所以//AE 平面PCD .
（2）由PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，
又因为//AD BC ，90BAD ∠=︒，所以BC AB ⊥，
PA AB A =Q I ，BC ∴⊥平面PAB ，
又AE ⊂Q 平面PAB ，∴AE BC ⊥.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证线面平行，需先证线线平行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题.
20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
222sin sin sin sin sin B C A B C +-=.
（1）求A ；
（2）若4a =，ABC ∆的面积为b c +.
【答案】（1）3
π；（2）8. 【解析】(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；
（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=， 则2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<，所以3A π
=.
（2）因为ABC ∆的面积为1sin 24bc A ==16bc =， 因为222,4b c a bc a +-==，所以2232b c +=，
所以8b c +==.
【点睛】
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.
（1）求函数()f x 的定义域；
（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．
【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20
{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m
>有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．
试题解析：（1）x 须满足20{20
x x +>->，∴22x -<<， ∴所求函数的定义域为(2,2)-.
（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x < ()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -
令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤
∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.
【考点】对数性质、对数函数性、不等式有解问题．
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，2n n S a n n =+-.
（1）求n a ；
（2）设1
1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）44
n n T n =+. 【解析】（1）由n S 表达式，结合1n n n a S S -=-即可求得{}1n a -，递推后即可求得数列{}n a 的通项公式.
（2）先表示出数列{}n b 的通项公式，结合裂项法求和即可得数列{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，2n n S a n n =+-，
当2n ≥时，()()()2
21111n n n n n a S S a n n a n n --⎡⎤=-=+--+---⎣⎦， 化简可得122n a n -=-，
则2n a n =，对12a =也成立，
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.
（2）由（1）可知2n a n =，则122n a n +=+
所以()1111114141n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭ 数列{}n b 的前n 项和为n T ，则 1231n n n T b b b b b -=++⋅⋅⋅+
1111111114223341n n ⎛⎫=-+-+-⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 11141n ⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭ 44
n n =+. 【点睛】
本题考查了由1n n n a S S -=-求通项公式的方法，递推公式的应用，裂项求和法的应用，属于基础题.。