【压轴题】高三数学下期中一模试题带答案

【压轴题】高三数学下期中一模试题带答案
一、选择题
1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则21
2
a a
b -的值是 ( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
1
2或12- D ．
1
4
2．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
3．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
4．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．已知数列{}n a
的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99
B ．101
C ．399
D ．401
6．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和
n S =（ ）
A ．2744
n n +
B ．2533n n +
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
8．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或1
3
- B ．-3或
1
3
C ．3或
13
D ．-3或13
-
9．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，数列{}n b 满足1
sin
2
n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
10．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且
723
n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b +=+（ ）
A ．
49
B ．
378
C ．
7914
D ．
149
24
11．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
12．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1
{3
(3)
x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
二、填空题
13．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.
14．数列{}n a 满足14a =，12n
n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.
15．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当
42b =2a c =，ABC ∆的面积为______.
16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 17．数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____． 18．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =
，3
sin
2ABC ∠=
3AB BC +的最大值为______.
19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．
三、解答题
21．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =. （1）若23b =30A =︒，求角B 的值； （2）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，cos 4
5
B =
，求,b c 的值.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(
)*
2N n n S a n n =-∈.
（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值. 23．已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；
（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14
m a b
+=，求+a b 的最小值．
24．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 25．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤
13
； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
26．已知向量()
1
sin 2A =，m 与()
3sin A A =，
n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；
（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.
∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.
则21
2
211
22
a a
b
--
==.
本题选择A选项.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
先通过数列性质判断60
a<，再通过数列的正负判断
n
S的最小值.
【详解】
∵等差数列{}n a中，390
a a
+<，∴
396
20
a a a
+=<，即
6
a<.又
7
a>，∴{}n a的前n项和n S的最小值为6S.
故答案选C
【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将n S的最小值转化为{}n a的正负关系是解题的关键.
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC
∆内部（含边界），作直线
:20
l x y
+=，把直线l向上平移，z增加，当l过点(3,2)
B时，3227
z=+⨯=为最大值．故选B．
考点：简单的线性规划问题．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由sin:sin:sin5:11:13
A B C=，得出::5:11:13
a b c=，可得出角C为最大角，并利用余弦定理计算出cos C，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.
【详解】
由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，
由余弦定理得2222222512116923
cos 022511110
a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，
因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】
本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
由1211n n n a a a +=+++，可得(
)
2
11111111n n n n a a a a +++=
+++-+=，，
{
}
+1n a 是以1为公差，以1为首项的等差数列.
∴2
1,1n n a n a n +==-，即220201399a =-=.
故选C.
6．D
解析：D 【解析】
如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故
max 303z =+=，故选D ．
点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．
7．A
解析：A
【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则
解得
，故选A.
8．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q =++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或1
3
. 本题选择C 选项.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
由2
n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos
2
n n π
-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-，
当1n =时，11110a S ==-=；
当2n …时，1n n n a S S -=-22
(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，
上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos
2n n n b a π==2(1)cos 2
n n π
-，
∵函数cos 2
n y π=的周期24
2
T π
π==，
∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)
2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L
02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，
故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,
故令21n =有2121721214921324
S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以1111149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为4
2
2
2
33332=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：
当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，
2a -），所以
221a -=，解得1
2
a =
，故选B. 【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
二、填空题
13．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849
【解析】 【分析】
直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】
数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，
所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1，
所以()()100100134663118492
2
S +⨯=
+⨯
+=，
故答案为：1849 【点睛】
本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.
14．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +
【解析】 【分析】
由题意得出12n
n n a a +-=，利用累加法可求出n a .
【详解】
数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12n
n n a a +∴-=，
因此，
()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212
n n --=+
=+-.
故答案为：22n +. 【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.
15．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正
【解析】 【分析】
由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2
cos 3
B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】
由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-， 所以()2sin 3sin cos B C A B +=，
在三角形中，()sin sin B C A +=，
所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3
B =， 又0B π<<，所以25sin 1cos B B =-=， 由余弦定理得2
2
2
4323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967
c =. 故ABC ∆的面积为22196965325
sin sin sin 277S ac B c B c B =====⨯=
. 故答案为
325. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．an=4n=12n+1n≥2【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果【详解】当n≥2时an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1当n ＝1时a1＝S1＝4≠2×1＋1因此an ＝4n=12n+1n≥2【点睛】本题考 解析：
【解析】 【分析】
根据和项与通项关系得结果. 【详解】
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝.
【点睛】
本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.
17．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1
解析：1830 【解析】 【分析】
由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结
构特征，求出{}n a 的前60项和．
【详解】
解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，
∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，
504997a a -=，
∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，
{}n a 的前60项和为1514
152(15816)18302
⨯⨯+⨯+
⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】
本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．
18．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】 解析：43
【解析】 【分析】
根据条件可得1
cos 3
ABC ∠=
， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.
【详解】
设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，
由2
1
cos 12sin
23
ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161
cos 23
a c x ABC ac +-∠==，
所以2
2
2
2
163
x a c ac =+-
， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，
2222
2262x x
=2221238x c a =+-， ②
①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥， 故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，
所以()()2
2
22339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤， 所以3AB BC +的最大值为43. 故答案为：43. 【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.
19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-
【解析】 【分析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
20．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB ＝acosC ＋ccosA 及正弦定理得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sin
解析：
3
π
【解析】 【分析】
根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角. 【详解】
由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝
.
∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝. 又0<B <π，∴B ＝. 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
三、解答题
21．（1）60B =︒或120︒. (2) 13b =【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理，求得3
sin B =
，进而可求解角B 的大小； （2）根据三角函数的基本关系式，求得3
sin 5
B =，利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求解。

【详解】
（1）根据正弦定理得，sin 23sin303
sin b A B a ⨯︒=
==
b a >Q ，30B A ∴>=︒，60B ∴=︒或120︒.
（2）4cos 05B =>Q ，且0B π<<，3
sin 5B ∴=.
1sin 32ABC S ac B ∆==Q ，13
2325
c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=.
∴由正弦定理2222cos b a c ac B =+-，得13b =.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．其中在ABC ∆中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
22．（I ）见解析；（II ）()2413
n n --
【解析】 【分析】
（I ）计算1n S -，根据,n n S a 关系，可得121n n a a -=+，然后使用配凑法，可得结果. （II ）根据（1）的结果，可得n a ，然后计算21n a -，利用等比数列的前n 和公式，可得结果. 【详解】
（I ）由2n n S a n =-①
当1n =时，可得111211S a a =-⇒= 当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--② 则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥ 则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+ 又112a +=
所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列
（II ）由（I ）可知：1221n n
n n a a +=⇒=-
所以21
211
2
1412
n n n a --=-=⋅-
记13521n n T a a a a -=+++⋯+ 所以()21
44 (42)
n n T n =
+++- 又()()241444144 (414)
3
n n n --+++=
=
-
所以()()4412411233
n
n
n
T n n --=⋅-=- 【点睛】
本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式，熟练公式，以及掌握
,n n S a 之间的关系，属基础题.
23．（Ⅰ）[]
1,1-； （Ⅱ）92
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得2m =，再由()122a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开利用基本不等式求解即可. 【详解】
（Ⅰ）Q ()2121121x x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
，，
， ∴ 122x x ≤-⎧⎨
-≤⎩ 或 1122x -<≤⎧⎨≤⎩ 或 1
22x x >⎧⎨≤⎩
∴ 11x -≤≤,∴不等式解集为[]1,1-.
（Ⅱ） Q ()()11112x x x x -++≥--+=,
∴ 2m =,
又
14
2a b
+=,0,0a b >>, ∴
1212a b +=,∴ ()12525
922222
2a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=
⎪⎝⎭, 当且仅当1422a b b a
⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 即323a b ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩时取等号,所以()min 92a b +=.
【点睛】
绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
24．（1）32n a n =-+（2）n S 23212
n n n
-=+-
【解析】 【分析】
（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；
（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出
112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差是d . 由已知()()382726a a a a d +-+==-， ∴3d =-，
∴2712723a a a d +=+=-， 得 11a =-，
∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.
（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，
∴1
2n n n a b -+=，
∴11
2322n n n n b a n --=-=-+，
∴()(
)2
1
147321222
n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦
()31212
n
n n -=
+-， 23212n n n -=+-.
【点睛】
本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
25．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：
222a b c ab bc ca ++≥++，
由题设得
，
即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13
ab bc ca ++≤
. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a +≥，
所以222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++，
即222
a b c a b c b c a
++≥++， 所以2221a b c b c a
++≥.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】
本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 26．（1）π
3
A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】
分析：（1）由//m n u r r ，得3
sin (sin )02
A A A ⋅-=，利用三角恒等变换的公式，
求解πsin 216A ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得22
4b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得
4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．
详解：（1）因为m//n,所以()
3
sin sin 02
A A A ⋅-=.
所以
1cos23022A A --=1
cos212A A -=， 即 πsin 216A ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，. 故ππ262A -
=，π
3
A =. （2）由余弦定理，得 22
4b c bc =+-
又1sin 24
ABC S bc A bc ∆=
=， 而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）
所以1sin 42ABC S bc A ∆=
=≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π
3
A =
，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。