高中数学《1.3.2等比数列的前n项和》随堂自测(含解析) 北师大版必修5

2013年高中数学《1.3.2 等比数列的前n 项和》随堂自测（含解析）
北师大版必修5
1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2
解析：选A.S 5＝a 11－q
5
1－q
，
∴44＝a 1[1
－－25]1－－2
，
∴a 1＝4，故选A.
2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
＝( ) A ．2 B.73 C.83
D ．3
解析：选B.由题意知S 6
S 3＝a 11－q 6
1－q a 11－q 3
1－q
＝1－q 6
1－q
3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴S 9S 6＝a 11－q 9
1－q a 11－q 61－q
＝1－q 91－q 6＝1－q 33
1－q 32＝1－81－4＝7
3
. 3．(2010·高考福建卷)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.
解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2
)＝21a 1＝21，
∴a 1＝1.∴a n ＝1·4n －1＝4n －1
.
答案：4n －1
4．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 解析：当q ＝1时，S n ＝na 1，此时{S n }是等差数列，满足题意．
当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q ·q n
＋a 11－q
，此时S n 并不是关于n 的一次函数．不满
足题意，综上，q ＝1. 答案：1
[A 级 基础达标]
1．下列各式中正确的为( ) A ．1－2＋4－8＋…＋(－2)
n －1
＝
1×1－2n
1－2
B ．1＋2＋22＋23＋ (2)
＝
1×
1－2n
1－2
C ．若c ≠0且c ≠1，则c 2
＋c 4
＋c 6
＋c 2n
＝c 2[1－c 2
n
]1－c
2
D ．2＋2×3＋2×32＋…＋2×3
n －1
＝
21－2×3n ＋1
1－3
解析：选C.A 中：1－2＋4－8＋…＋(－2)n －1
＝
1×[1－－2n
]
1＋2，故A 是错误的；
B 中：1＋2＋22
＋23
＋ (2)
＝
1×
1－2n ＋1
1－2
，故B 错误；
C 中：c 2
＋c 4
＋c 6
＋…＋c 2n
＝c 2[1－c 2
n
]
1－c
2
，故C 正确；
D 中：2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1
＝3n
－1，故D 错误．
综上可知只有C 选项正确．
2．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1
2
，用Ⅱn ＝a 1a 2…a n 表示它的前n 项之积，则Ⅱ1，
Ⅱ2，…中最大的是( ) A ．Ⅱ11 B ．Ⅱ10 C ．Ⅱ9 D ．Ⅱ8
解析：选C.∵a n ＝a 1·q n －1，∴Ⅱn ＝a 1·(a 1q )·(a 1q 2)…(a 1q n －1)＝a n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)
＝(512)n ·(－12)n n －12＝(－1)n n －12 ·29n
·2－n n －12
＝(－1)n n －12·2－12
(n 2
－19n )，
∴当n ＝9时，(Ⅱn )max ，故选C.
3．(2012·宿州调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4S 2
＝3，则2a 2－a 4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A.设{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)， ∴a 11－q 41－q ＝3×a 11－q 21－q ，
∴q 2
＝2，
∴2a 2－a 4＝2a 2－a 2q 2
＝2a 2－2a 2＝0，故选A. 4．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝__________，前8项的和S 8＝______.(用数字作答)
解析：∵a n ＋1＝2a n ，∴
a n ＋1
a n
＝2.∴数列{a n }是等比数列． ∴a n ＝2n －1
.∴a 5＝24
＝16，S 8＝1－2
8
1－2
＝255.
答案：16 255
5十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 … 二进制 1 10 11 100 101 110 111 1000 …
示十进制中的最大数是________．
解析：能表示十进制中的最大数是：20＋21＋22＋…＋25
＝1－26
1－2
＝63.
答案：63
6．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝32
9
，且公比q ∈(0,1)，
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．
解：(1)∵a 3a 4＝a 1a 6＝32
9
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 6＝11，a 1a 6＝32
9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32
3a 6
＝1
3
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1
3，a 6
＝32
3.
∵q ∈(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝32
3
，a 6
＝1
3，∴q 5
＝a 6a 1＝
132，∴q ＝1
2
， ∴a n ＝323×(12
)n －1
.
(2)由(1)知等比数列{a n }中a 1＝323，q ＝1
2
，
所以S n ＝323[1－12n
]1－12＝643[1－(12)n
]，
当S n ＝21时，643[1－(12
)n
]＝21，
∴(12)n ＝1
64
，∴n ＝6. [B 级 能力提升]
7．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和为( ) A ．50 B ．70 C ．80 D ．90
解析：选B.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝40，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝20，S 9－S 6＝S 9－60，∵(S 6－S 3)2
＝S 3(S 9
－60)，即202
＝40×(S 9－60)，解得S 9＝70.
8．(2012·西安质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )
A.a 5a 3
B.S 5S 3
C.a n ＋1a n
D.S n ＋1S n
解析：选D.等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3
)＝0，∴q ＝－2，∴a 5a 3
＝q 2
＝4，
a n ＋1
a n
＝q ＝－2，S 5S 3＝a 11－q 5
1－q a 11－q 31－q
＝1－q 5
1－q 3＝113，都是确定的数值，但S n ＋1S n ＝1－q n ＋1
1－q
n 的值随n 的变化而
变化，故选D.
9．(2011·高考北京卷)在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2
，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|
＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.
解析：由a 4＝a 1q 3
＝12q 3＝－4，可得q ＝－2，因此，数列{|a n |}是首项为12
，公比为2的等比
数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝121－2n
1－2＝2n －1
－12
.
答案：－2 2n －1
－12
10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ≥2，且n ∈N ＋)，试判断{a n }是不是等比数列．
解：∵当n ≥2时，S n ＋1－3S n ＋2S n －1 ＝(S n ＋1－S n )－2(S n －S n －1)＝a n ＋1－2a n . ∴当n ≥2时，a n ＋1－2a n ＝0， ∴当n ≥2时，
a n ＋1
a n
＝2， 又∵a 2＝S 2－S 1＝2－1＝1，∴a 2a 1＝1
1
＝1≠2，
∴{a n }不是等比数列．
11．(创新题)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝12
，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n
－1]＝0，
n ∈N ＋，
(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1·a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)经计算：a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝1
8
，
当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2， 即数列{a n }的奇数项成等差数列， ∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1，
当n 为偶数时，a n ＋2＝1
2
a n ，
即数列{a n }的偶数项成等比数列．
∴a 2n ＝a 2·(12)n －1＝(12)n
，
因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，n 为奇数，12n
2
，n 为偶数.
(2)∵b n ＝(2n －1)×1
2
n ，
∴S n ＝1×12＋3×122＋5×123＋…＋(2n －3)×12n －1＋(2n －1)×1
2
n ， ①
12S n ＝1×122＋3×123＋5×124＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×1
2
n ＋1. ② 用①－②得，12S n ＝1×12＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]－(2n －1)×1
2
n ＋1
＝12＋121－12n －1
1－12
－(2n －1)×1
2
n ＋1
＝32－(2n ＋3)×12
n ＋1. ∴S n ＝3－(2n ＋3)×1
2
n .。