07立体几何解答题-2017年高考数学(文)母题题源系列(北京专版)含解析

【母题原题1】【2017北京，文18】如如图,在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC,AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时,求三棱锥E–BCD的体积．【答案】(Ⅰ）详见解析；（II）详见解析;（III）1
.
3
【解析】
【考点】线面垂直的判定和性质定理，面面垂直的判定和性质定理，几何体的体积
【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.
【母题原题2】【2016北京,文18】如图，在四棱锥P-中，⊥
PC平面ABCD,,
ABCD
∥.
⊥
AB DC DC AC
（I）求证:DC PAC
⊥平面；
（II）求证：PAB PAC
平面平面;
⊥
(III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，
使得//
ΡΑ平面CΕF?说明理由。

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）存在。

理由见解析.
【解析】
试题分析：（I）利用线面垂直判定定理证明；（II）利用面面垂直判定定理证明；（III)取PB中点F，连结EF，则ΕF//ΡΑ，根据线面平行的判定定理证明//
ΡΑ平面CΕF。

【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；
空间想象能力，推理论证能力
【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等.
【母题原题3】【2015北京，文18】如图，在三棱锥V C
-AB
中，平面V AB⊥平面C
AB，V∆AB为等边三角形,
A=B=，O,M分别为AB，V A的中点．
C C
A⊥B且C C2
(I）求证：V//B平面C
MO；
（II）求证：平面C
MO⊥平面V AB；
(III）求三棱锥V C
-AB的体积．
【答案】（I）证明详见解析；（II）证明详见解析；（III3
.
3【解析】
【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到,但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．
【命题意图】高考对这类题的考查主要有两个方面:考查空间点、线、面的位置关系，高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性
质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，以及空间几何体的体积。

【命题规律】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路为对判断定理和性质定理的使用，或以三视图为载体,考查还原后几何体的外接球或内切球问题。

【答题模板】以2017年高考题为例，解答本类题目,一般考虑如下三步：
第一步： 根据线面垂直的判断定理和性质定理证明 因为PA 与平面内的两条相交直线垂直，所以线与平面垂直，再根据线面垂直的性质定理，线与平面垂直，线与平面内的任何一条直线垂直；
第二步：面面垂直的判断定理 根据条件可证明BD ⊥平面PAC ，即证明平面BDE ⊥平面PAC ；
第三步：根据（Ⅱ)的结论，直接求16
V BD DE DC =⨯⨯⨯ . 【方法总结】
1。

平行关系的证明：若要证明线面平行,一是根据线面平行的判断定理：平面外的线平行于平面内的线,则线面平行，二是根据面面平行的性质定理证明两个平面平行，那么平面内的任何一条直线与另一个平面平行；若要证明面面平行,根据判断定理，平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行.
2.垂直关系的证明：若要证明线线垂直，根据线面垂直,则线线垂直证明,若要证明线面垂直，根据判断定理证明直线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，若要证明面面垂直，也可根据判断定理,本质上是证明线面垂直.
3．体积与表面积公式：
(1)柱体的体积公式：V
=柱Sh ; 锥体的体积公式：V =锥13
Sh ； 台体的体积公式：
V
=棱台1()3h S S '+； 球体的体积公式：V =球
343r π。

(2)球的表面积公式：24S R π=球.
棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和,即为其表面积。

1. 【2017北京西城区5月模拟】如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形， //EF CD ， CD EA ⊥， 22CD EF ==, 3ED =， M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N 。

（Ⅰ)求证: ED CD ⊥；
（Ⅱ）求证: //AD MN ；
(Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FM
FC 值；若不能，说明理由。

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）1
2FM
FC =
（Ⅲ）平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：
点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题.对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。

立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度。

尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势。

2。

【2017安徽马鞍山三模】已知几何体ABCDEF 中， AB ∥CD ，
AD DC ⊥, EA ⊥平面ABCD , FC ∥EA ，1AB AD EA ===, 2CD CF ==.
（Ⅰ）求证:平面EBD ⊥平面BCF ； （Ⅱ）求点B 到平面ECD 的距离.
【答案】(1）见解析(2）22
【解析】
()EA II ⊥平面,ABCD EA CD EA AD ∴⊥⊥
又
AD CD
CD ⊥∴⊥平面EAD
CD ED ∴⊥
EAD ∆中， 1
,1
222
CDE EA AD EA AD ED S CD ED ∆⊥==∴=∴=
⋅⋅=1
12
BCD S CD AD ∆=
⋅= 设B 到平面CDE 的距离未d 由B CDE
E BCD V
V --=得：
11
2
33
22
BCD CDE BCD CDE S EA S d S EA d S ∆∆∆∆⋅⋅=⋅∴=
==
即点B 到平面CDE 的距离为
2
2
（或由AB∥CD 得点B 到平面CDE 的距离等于点A 到平面CDE 的距离，过点A 作AO⊥DE 于点O,易知AO 的长度即为所求. ）
3. 【2017河北唐山三模】如图,平行四边形ABCD中，
∠=︒，PA⊥平面ABCD, 2
ABC
BC AB
24
==，60
PA=，E, F分别为BC, PE的中点.
（1)求证：AF⊥平面PED；
（2)求点C到平面PED的距离。

．
【答案】（Ⅰ)见解析；(Ⅱ）2
2
【解析】
（Ⅱ)设点C 到平面PED 的距离为d ， 在Rt PED 中， 22PE =23ED =26PED
S
=
在ECD 中， 2EC CD ==， 120ECD ∠=︒,∴3ECD
S
=
由C PED
P ECD V
V --=得，
1133
PED
ECD
S d S PA ⋅=⋅，
∴22
ECD
PED
S
PA
d S
⋅==
．
所以点C到平面PED的距离为2
．
2
方法点睛：求几何体体积常用的方法有：（1）分割求和法：把不规则图形分割成规则图形，然后进行体积计算；（2）补形法:把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；（3）等体积法：选择适当的底面图形求几何体的体积，常用于三棱锥。

4. 【2017江西九江三模】如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD, ∠=,且22
90
EDA
===。

ED AD AB AF
（1)证明：平面ABE⊥平面EBD；
（2）若三棱锥A BDE
-的外接球的体积为823π，求三棱锥-的体积.
A BEF
【答案】(1)详见解析；(23
【解析】
（2)由（1）得,AD DE AB BE ⊥⊥，所以三棱锥A BDE -的外接球的球心为线段AE 的中点
3
482323AE ππ⎛⎫∴⋅⋅= ⎪⎝⎭
，解得
22,2,1
AE AD ED AB AF =====，
1133
123226
A BEF
B AEF V V --∴==⨯⨯⨯⨯=。

5. 【2017四川泸州四诊】如图，平面ABCD ⊥平面BCF ，四边形ABCD 是菱形，
90
BCF ∠=。

(1）求证:BF DF =；
（2）若点E 为AF 的中点， 60
BCD ∠=，且2BC CF ==，求四面
体BDEF 的体积。

【答案】（1）见解析(2)四面体BDEF 3
【解析】
点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面,例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
6。

【2017福建三明5月质检】如图，在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=，
2AD AP ==, 22AB DP ==, E 为CD 的中点，点F
在线段PB 上．
(Ⅰ）求证： AD PC ⊥；
（Ⅱ）当三棱锥B EFC -的体积等于四棱锥P ABCD -体积的16
时,
求PF PB
的值。

【答案】（Ⅰ)见解析；（Ⅱ）1.3
【解析】
（Ⅱ）因为E 为CD 的中点， 1
,4BEC
ABCD
S
S ∆∴=
四边形 ,
,
.
PAD ABCD PAD ABCD AD PA AD PA ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥侧面底面，侧面底面平面
设F 到平面ABCD 的距离为,h
1,6B EFC F BEC P ABCD V V V ---== 111
,363
BEC ABCD S h S PA ∆∴⋅⨯=⋅⋅⋅
2,3h PA ∴=所以1.3
PF PB =
7。

【2017广东佛山二模】如图，矩形ABCD 中，
4AB =, 2AD =，
E 在DC
边上，且1DE =,将
ADE 沿AE 折到AD E '的位置，使得平
面AD E '⊥平面ABCE 。

(Ⅰ）求证：
AE BD ⊥';
（Ⅱ)求三棱锥A BCD -'的体积。

【答案】（Ⅰ)见解析;(Ⅱ）
85
15。

（Ⅱ)因为平面AD E '⊥平面ABCE ， 由（Ⅰ)知，
OD '⊥平面ABCE ,
所以OD '为三棱锥D ABC '-的高， 在矩形ABCD 中, 4AB =, 2AD =， 1DE =，所以5
D O '=
，
所以A BCD D ABC V
V '--'
==
13
ABC
S D O ⋅='
1185
42325⎛⎫⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭
即三棱锥A BCD -'85。

8．【2017湖南娄底二模】如图，已知三棱锥P ABC -中， PA AC ⊥，
PC BC
⊥, E为PB的中点，D为AB的中点，且ABE为正三角形.（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由。

若
-的体积。

BC=，125
3
BH=，求三棱锥P ABC
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ)103。

(Ⅱ）如图，过点B作BH CD
⊥于H，
由（Ⅰ）可知, DE⊥平面ABC，BH DE
∴⊥，
又BH CD ⊥, DE CD D ⋂=,
BH ∴⊥平面DEC ，
9．【2017陕西汉中二模】如图，在所有棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中， D 、1D 分别是BC 和11
B C 的中点。

（1)求证：
11A D ∥平面1AB D ； （2）若平面ABC⊥平面11BCC B , 160O B BC ∠=，
求三棱锥1B ABC -的体积.
【答案】(1）详见解析（2）1
【解析】【试题分析】（１）依据题设条件运用线面平行的判定定理推证；（２）借助题设条件求出三棱锥的底面面积与高，再运用三棱锥的体积公式求解：
点睛：立体几何是高中数学中的重要知识点之一,也是高考
重点考查的内容和考点之一。

这类问题的设置一般有两类问题题：其一是线面的位置关系的推证；其二是角度距离以及几何体的体积面积的计算。

求解线面的位置关系的问题时，要充分依据题设条件，运用线面位置关系的判定定理进行推证；求解角度、距离及体积面积的计算时，要正确使用公式与工具，从而使得问题获解.
10．【2017四川资阳4月模拟】如图,在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是等边三角形，且1
AA ⊥平面ABC , D 为AB 的中点. （Ⅰ） 求证：直线1
BC ∥平面A 1CD ; (Ⅱ） 若12AB BB ==,E 是1BB 的中点，求三棱锥1
A CDE -的体积． 【答案】(Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3
（Ⅱ）三棱锥1
A CDE -的体积 11113
A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅． 其中三棱锥1
A CDE -的高h 等于点C 到平面AB
B 1A 1的距离,可知3h CD ==
9分 又11113221211122222
A DE S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 所以11111333332A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅=⨯= 点睛:证明线面平行问题的答题模板(一)
第一步:作（找）出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步:证明线线平行;
第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行；
第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直,我们就选择其中的一个侧面作为底面,另一条侧棱作为高来求体积．。