浙江省诸暨中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(实验班)(解析版)

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高一第二学期期中
数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于√3，则此直线的倾斜角等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°
2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（）A．2或﹣1B．﹣1C．2D．﹣2或1
3．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）
A．垂直B．相交C．异面D．平行
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）
A．1
2
+
√2
2
B．1+√2
2
C．1+√2D．2+√2
5．已知a、b为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（）A．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
B．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
C．若a⊂α，b⊂β，α、β不平行，则a、b为异面直线
D ．若a ∥α，b ⊥β，α∥β，则a ⊥b
6．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7．已知m ，n ，a ，b ∈R ，且满足3m +4n ＝6，3a +4b ＝1，则√(m −a)2+(n −b)2的最小值为（ ）
A ．√3
B ．√2
C ．1
D ．12 8．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝1（a ＞0）与直线y ＝2x 相交于P 、Q 两点，则当△CPQ 的面积为12时，实数a 的值为（ ） A ．√52 B ．√102 C ．√54 D ．√104
9．若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）
A ．2
B ．2√3
C ．3
D ．2√2
10．在三棱锥A﹣BCD中，BCD是边长为√3的等边三角形，∠BAC=π
3，二面角A﹣BC﹣
D的大小为θ，且cosθ=1
3，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）
A．3√6
4
B．√
6
4
C．√
3
2
D．√
3
6
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共34分
11．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为．
12．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，√3）为端点线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．
13．已知圆C1：x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0和圆C2：x2+y2+2x+2y﹣8＝0相交于A、B两点，则直线AB所在直线方程为；线段AB的长度为．
14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为，直线FH 的一般式方程为．
16．设M={(x，y)|y=√2a2−x2，a＞0}，N={(x，y)|(x−1)2+(y−√3)2=a2，a＞0}，则M∩N≠∅时，实数a的最大值是，最小值是．
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF＝2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为．
三、解答题：本大题共5小题，共76分
18．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：
（1）该几何体的体积．
（2）截面ABC的面积．
19．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
20．（16分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．
（Ⅰ）求证：CE∥面ABF；
（Ⅱ）求直线DE与平面BDF所成角的正弦值．
21．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线l ：y ＝2x ﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在直线上．
（Ⅰ）若圆C 与直线y ＝x ﹣1相交于M ，N 两点，且|MN |=√2，求圆心C 的横坐标a 的值；
（Ⅱ）若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程．
22．（16分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．
（1）证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于√3，则此直线的倾斜角等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），已知tanθ=√3，可得θ．
解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），
∵tanθ=√3，
∴θ＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的倾斜角、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（）A．2或﹣1B．﹣1C．2D．﹣2或1
【分析】由a2﹣（a+2）＝0，解得a，经过验证a看是否使得两条直线平行．
解：由a2﹣（a+2）＝0，解得a＝2或﹣1．
经过验证a＝2时两条直线重合，舍去．
∴a＝﹣1时，l1∥l2．
故选：B．
【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）
A．垂直B．相交C．异面D．平行
【分析】推导出直线n⊂平面α，m∩α＝A，从而直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
解：∵直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，
∴m∩α＝A，
∴直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）
A．1
2
+
√2
2
B．1+√2
2
C．1+√2D．2+√2
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出原来的平面图形的上底与下底、高，从而求出它的面积．
解：根据题意，画出图形，如图所示； 则原来的平面图形上底是1，下底是1+√2，高是2，
∴它的面积是12×（1+1+√2）×2＝2+√2． 故选：D ．
【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，是基础题目．
5．已知a 、b 为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ⊂α，b ⊂β，α⊥β，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α
C ．若a ⊂α，b ⊂β，α、β不平行，则a 、b 为异面直线
D ．若a ∥α，b ⊥β，α∥β，则a ⊥b
【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系，对选项中的命题真假性判断即可．
解：对于A ，若a ⊂α，b ⊂β，α⊥β，则a ⊥b 不一定成立，
a 、
b 可能平行，也可能相交，也可能异面，A 错误；
对于B ，若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α或a ⊂α，∴B 错误；
对于C ，若a ⊂α，b ⊂β，α、β不平行，则a 、b 可能为异面直线，
也可能为相交或平行，∴C 错误；
对于D ，当b ⊥β，α∥β时，b ⊥α，
又a∥α，∴b⊥a，即a⊥b，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．
6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D＝A1B＝DB=√2AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°
故选：C．
【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．
7．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则√(m−a)2+(n−b)2的最小值为（）
A ．√3
B ．√2
C ．1
D ．1
2
【分析】将问题转化为求两平行线间的距离，利用公式直接计算得答案．
解：此题可理解为点A （m ，n ）与点B （a ，b ）分别在直线l 1：3x +4y ＝6与直线l 2：3x +4y ＝1上，求A 、B 两点间的距离的最小值， ∵l 1∥l 2， ∴|AB|min =
√3+4=1．
故选：C ．
【点评】本题考查最值的求法，考查两点间的距离及平行线间的距离公式，考查转化思想及逻辑推理能力，属于基础题．
8．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝1（a ＞0）与直线y ＝2x 相交于P 、Q 两点，则当△CPQ 的面积为1
2时，实数a 的值为（ ）
A ．√5
2
B ．√
10
2
C ．√5
4
D ．√
10
4
【分析】求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．
解：圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝1（a ＞0）的圆心（a ，a ）半径为1， 圆心到直线y ＝2x 的距离d =
|2a−a|√5=a
√5，半弦长为：√1−(a 5
)2=√1−a 25， ∴△CPQ 的面积S =1
2•2√1−a 25•
√5=
√(1−
a 25
)2
⋅
a 25
，故当
a 25
=12
，即a =√
102时，S 取得最大值为1
2
，
故选：B ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
9．若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）
A．2B．2√3C．3D．2√2
【分析】几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，根据三视图数据计算出最长棱即可．解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣BCD，其中底面是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，作PA⊥平面BCD为正方形，则ABCD为正方形，
且PA＝AB＝2，
∴几何体的最长棱为PC=√22+22+22=2√3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
10．在三棱锥A﹣BCD中，BCD是边长为√3的等边三角形，∠BAC=π
3，二面角A﹣BC﹣
D的大小为θ，且cosθ=1
3，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）
A ．3√64
B ．√6
4
C ．√3
2
D ．√3
6
【分析】设AB ＝x ，AC ＝y ，由余弦定理及基本不等式求出xy 的最大值为3，过A 作AO ⊥平面BCD ，∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，求出AO 的最大值，进而求出三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值． 解：设AB ＝x ，AC ＝y ，∠BAC =π
3，
由余弦定理得：BC 2＝x 2+y 2﹣2xy cos π3=x 2+y 2﹣xy ≥xy ，当且仅当x ＝y =√3时取等号，
又BC =√3，所以xy ≤3，
过A 作AO ⊥平面BCD ，作AE ⊥BC ，连接OE ，
又12
BC ⋅AE =
12
xysin π
3
，所以AE =1
2xy ，
易知，∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，大小为θ，
所以AO ＝AE sin θ=12⋅√1−(13)2xy =√
23
xy ≤√2，
由V A−BCD =13S △BCD ⋅AO =13⋅√34⋅3⋅AO ≤√
64
，
故选：B ．
【点评】考查了二面角的应用，还考查了余弦定理，基本不等式，体积公式等，中档题． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共34分 11．若圆C 的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为 x 2+
（y﹣1）2＝1．
【分析】利用点（a，b）关于直线y＝x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
解：圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝1，
故答案为：x2+（y﹣1）2＝1．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y＝x±k的对称点为（b，a），属于基础题．
12．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，√3）为端点线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为（﹣∞，−√3]∪[1，+∞）．
【分析】结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可．
解：如图示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1=√3−0
0−1
=−√3，
当直线l过A时设直线l的斜率为k2，
则k2=1−0
2−1
=1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
则直线l 的斜率的取值范围是（﹣∞，−√3]∪[1，+∞）， 故答案为：（﹣∞，−√3]∪[1，+∞）．
【点评】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题． 13．已知圆C 1：x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24＝0和圆C 2：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0相交于A 、B 两点，则直线AB 所在直线方程为 x ﹣2y +4＝0 ；线段AB 的长度为 2√5 ．
【分析】根据题意，将两个圆的方程联立，变形分析可得直线AB 所在直线方程，联立两圆方程，解可得A 、B 的坐标，进而由两点间距离公式计算可得答案．
解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24＝0，①；圆C 2：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0，②； ①﹣②可得：﹣4x +8y ﹣16＝0， 变形可得：x ﹣2y +4＝0，
联立①②可得：{x =−4y =0或{x =0
y =2，即A ，B 两点的坐标为（﹣4，0），（0，2）；
则|AB |=√16+4=2√5； 故答案为：x ﹣2y +4＝0，2√5．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆公共弦的弦长计算，属于基础题． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x ﹣y ＝0或x +y ﹣3＝0 ． 【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x +y ＝a ，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程． 解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x +y ＝a ， 把（1，2）代入所设的方程得：a ＝3，则所求直线的方程为x +y ＝3即x +y ﹣3＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，
把（1，2）代入所求的方程得：k＝2，则所求直线的方程为y＝2x即2x﹣y＝0．
综上，所求直线的方程为：2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0．
故答案为：2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0
【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为（2，3），直线FH的一般式方程为x+4y﹣14＝0．
【分析】分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N．根据正方形的性质证出Rt△AHM≌Rt△CAO，利用对应边相等及A、C两点的坐标，算出H（2，3），同理得到F （﹣2，4）．由此算出直线FH的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到直线FH的一般式方程．
解：分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM＝OC，MH＝OA，
∵A（0，2），C（1，0），
∴MH＝OA＝2，AM＝OC＝1，可得OM＝OA+AM＝3，
由此可得H坐标为（2，3），同理得到F（﹣2，4），
∴直线FH的斜率为k=
4−3
−2−2
=−14，
可得直线FH的方程为y﹣3=−1
4（x﹣2），化简得x+4y﹣14＝0．
故答案为：x+4y﹣14＝0．
【点评】主要考查了直线的一般式方程与直线的性质，需要运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．
16．设M={(x，y)|y=√2a2−x2，a＞0}，N={(x，y)|(x−1)2+(y−√3)2=a2，a＞0}，则M∩N≠∅时，实数a的最大值是2√2+2，最小值是2√2−2．
【分析】两个圆x2+y2＝2a2，（x﹣1）2+（y−√3）2＝a2相交或相切，当两圆内切时，√2a−a ＝2，求出实数a的最大值是2√2+2，当两圆外切时，√2a+a=2，求出a的最小值是2√2−2．
解：∵M={(x，y)|y=√2a2−x2，a＞0}，
N={(x，y)|(x−1)2+(y−√3)2=a2，a＞0}，
M∩N≠∅时，
∴两个圆x2+y2＝2a2，（x﹣1）2+（y−√3）2＝a2相交或相切，
当两圆内切时，√2a−a＝2，解得a＝2√2+2，
∴实数a的最大值是2√2+2，
当两圆外切时，√2a+a=2，解得a＝2√2−2，
∴a 的最小值是2√2−2． 故答案为：2√2+2，2√2−2．
【点评】本题考查实数值的最大值、最小值的求法，考查交集定义、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 在CC 1上，且CF ＝2FC 1，点P 是侧面AA 1D 1D （包括边界）上一动点，且PB 1∥平面DEF ，则tan ∠ABP 的取值范围为 [3，√
133
] ．
【分析】作出平面MNQB 1∥平面DEF ，推导出P 的轨迹是线段QN ，P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值，P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值，由此能求出tan ∠ABP 的取值范围． 解：如图所示，作出平面MNQB 1∥平面DEF ， 则A 1Q ＝2AQ ，DN ＝2D 1N ，
∵PB 1∥平面DEF ，∴P 的轨迹是线段QN ， P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值tan ∠ABP =13
，
P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值tan ∠ABP =√4+93=√
133
．
∴tan ∠ABP 的取值范围为[13
，√
13
3
]．
故答案为：[13
，√
13
3
]．
【点评】本题考查角的正切值的取值范围的求法，考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共76分
18．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：
（1）该几何体的体积．
（2）截面ABC的面积．
【分析】（1）以同样大的几何体进行补形，得一直三棱柱，计算直三棱柱的体积，求出该几何体的体积；
（2）求出△ABC的各边长，判断△ABC为等腰三角形，再计算截面△ABC的面积．解：（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，
其底面为△A1B1C1，高为3×2＝6，
∴所求几何体的体积为
V=1
2
×S△A
1B1C1
h=
1
2
×12×2×2×6＝6；
（2）△ABC中，AB=√22+12=√5，BC=√22+12=√5，
AC=√22+22=2√2，
∴△ABC为等腰三角形，底边AC的高为：h=√(√5)2−(√2)2=√3；
∴截面ABC的面积为
S△ABC=1
2
×2√2×√3=√6．
【点评】本题考查了求几何体的体积与截面面积的应用问题，其中合理补形是解题的关键．
19．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．
（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．
解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，
∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．
（2）令y＝0得A点坐标为（﹣2−1
k，0），
令x ＝0得B 点坐标为（0，2k +1）（k ＞0），
∴S △AOB =12
|﹣2−1k
||2k +1|
=12
（2+1k
）（2k +1）＝（4k +1k
+4）
≥1
2（4+4）＝4．
当且仅当4k =1k
，即k =12
时取等号．
即△AOB 的面积的最小值为4，此时直线l 的方程为12
x ﹣y +1+1＝0．即x ﹣2y +4＝0． 【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值．考查转化思想以及计算能力．
20．（16分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥EF ，AF ＝AD ＝2AB ＝2DE ＝2． （Ⅰ）求证：CE ∥面ABF ；
（Ⅱ）求直线DE 与平面BDF 所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）取AF 中点记为G ，连EG ，证明EGBC 为平行四边形，然后证明CE ∥面ABF ；
（Ⅱ）通过V B ﹣DEF ＝V E ﹣BDF ，求出h =√
34
，然后转化求解直线DE 与平面BDF 所成角
的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取AF 中点记为G ，连EG ，∵
EG ∥¯¯
AD ∥¯
¯
BC
，
∴EGBC为平行四边形，
∴CE∥BG，
又∵CE⊄面ABF，BG⊂面ABF，∴CE∥面ABF；
（Ⅱ）解：∵V B﹣DEF＝V E﹣BDF，∴1
3
⋅S△DEF⋅|BA|=
1
3
⋅S△BDF⋅h，
∵S△DEF=√3
2，|BA|=1
，
又∵BD=BF=√5，DF=2，
∴S△BDF＝2，∴h=√3
4
，
设直线DE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=ℎ
DE
=√34．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．
21．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在直线上．
（Ⅰ）若圆C与直线y＝x﹣1相交于M，N两点，且|MN|=√2，求圆心C的横坐标a 的值；
（Ⅱ）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
【分析】（1）设圆心坐标为（a ，2a ﹣4），因为圆与直线y ＝x ﹣1相交于M ，N 两点，且|MN |=√2，根据半径、半弦长、弦心距围成直角三角形，由勾股定理可得． （2）依题意，圆心为直线y ＝x ﹣1和直线l ：y ＝2x ﹣4的交点，得到圆心坐标，再根据过A 的直线与圆相切，可以得到切线方程．
解：（1）设圆心坐标为（a ，2a ﹣4），∴圆心到直线y ＝x ﹣1的距离d =
1+1
=
|a−3|
√2
， 又直线y ＝x ﹣1被直线所截得的弦长为√2，∴r 2=(|MN|
2)2+d 2， ∴1=(a−3)2
2+12，解得a ＝2或a ＝4．
∴圆心C 的横坐标a 的值为或4．
（2）依题意，圆心为直线y ＝x ﹣1和直线l ：y ＝2x ﹣4的交点， 由{y =x −1y =2x −4得{x =3
y =2，∴圆心C 的坐标为（3，2）， ①当过A 点的直线斜率不存在时，显然直线不与圆相切．
②当直线斜率存在时，设斜率为k ，则过A 点的直线为y ＝kx +3，即kx ﹣y +3＝0，∴圆心（3，2）到直线的距离为1， ∴1=
√k +1
，∴8k 2+6k ＝0，∴k ＝0或k =−34，∴切线方程为y ＝3或y =−34
x +3，
综上，切线方程为：y ＝3，或3x +4y ﹣3＝0．
【点评】本题考察直线与圆的位置关系，直线被圆所截弦长问题，直线的方程等知识，
数基础题．
22．（16分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．
（1）证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3
，求DC BC
的值．
【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB ⊥EF ，DE ∩FE ＝E ，所以PB ⊥平面DEF ，即可判断DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角．
（2）根据公理2得出DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线．利用直线平面的垂直判断出DG ⊥DF ，DG ⊥DB ，根据平面角的定义得出∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可． 解法2）
（1）以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．
2）由PD ⊥底面ABCD ，所以DP →
=（0，0，1）是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）
知，PB⊥平面DEF，所以BP→=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，
在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD =√1+λ2，
在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPB ＝∠FDB =π
3， 则 tan π
3=tan ∠DPF =
DB
PD
=√1+λ2=√3，解得λ=√2． 所以
DC CB
=1λ
=
√22
故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3
时，
DC
BC =
√22
． （解法2）
（1）以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，
则D （0，0，0），P （0，0，1），B （λ，1，0），C （0，1，0），PB →
=（λ1，﹣1），点E 是PC 的中点，所以E （0，12
，1
2
），DE →
=（0，12
，1
2
），
于是PB →
⋅DE →
=0，即PB ⊥DE ．
又已知EF ⊥PB ，而ED ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF ．
因PC →
=（0，1，﹣1），DE →
⋅PC →
=0，则DE ⊥PC ，所以DE ⊥平面PBC ．
由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．
（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以DP →
=（0，0，1）是平面ACDB 的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB ⊥平面DEF ，所以BP →
=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF 的一个法向量．
若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3
，
则运用向量的数量积求解得出cos
π3
=√λ2+2
=12
，
解得λ=√2．所以所以
DC CB
=
1λ
=
√22
故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3
时，
DC BC
=
√22
． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．。