铜陵市一中2019年秋高二数学(文)上学期12月月考试卷附答案详析

D．1008
【答案】A
【解析】模拟执行程序框图，逐步写出各变量取值的变化，判断循环条件是否成立，最终可得答案.
【详解】
执行程序框图，各变量的值依次变化如下：
n 6, m 3, k 1, p 1;
p 1 (6 3 1) 4, k m 成立；
k 2, p 4 (6 3 2) 20 ， k m 成立；
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附：问归方程 yˆ bˆx aˆ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
n
x1y1 nx y
x1 x y1 y
bˆ
i 1 n
x12
2
nx
i1
n
2
x1 x
， aˆ y bˆ x .
i 1
i 1
S
3
本题正确选项： C
【点睛】
本题考查根据直线垂直的位置关系求解参数值的问题，属于基础题.
3．已知点 M 2,t,t ， N 1 t,1 t,t t R ，则 MN 的最小值为（ ）．
11
A．
5
B． 5 5
C． 3 5 5
D． 55 5
6
【答案】C
【解析】先写出 MN 的表达式，然后分析最小值.
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知直线 a 2 x 2ay 1 0 与直线 3ax y 2 0 垂直，则实数 a 的值是( )
A．0
B． 4 3
C．0 或 4 3
D． 1 或 2 23
3．已知点 M 2,t,t ， N 1 t,1 t,t t R ，则 MN 的最小值为（ ）．
11
铜陵市一中 2019 年秋高二数学（文）上学期 12 月月考试卷
一、单选题
1．若 a，b
②若 a
是不同的直线， ，β是不同的平面，则下列四个命题：①若 a ，b∥ ，a∥b ，则∥ ；③若 a ，b ，a∥b ，则∥
，b∥ ；④若 a
，ar，bbr，则，arbr
； ，
则∥ ．正确的个数为（ ）
A．15°
B．75°
C．30°或 60°
D．15°或 75°
6．执行如图所示的程序框图，如果输入 n 6 ， m 3 ，则输出的 p 等于（ ）
1
A． 120
B． 360
C． 840
D．1008
7．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国 100 个城市的共享单车和扫码支
S
参考数据： x1y1 88.5 ， x12 90 .
i 1
i1
20．如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， SB SD ．
（1）证明： BD SA ；
（2）若面 SBD 面 ABCD ， SB SD ， BAD 60 ， AB 1，求 B 到平面 SAD 的距离．
5
解析
铜陵市一中 2019 年秋高二数学（文）上学期 12 月月考试卷
一、单选题
1．若 a，b
②若 a
是不同的直线， ，β是不同的平面，则下列四个命题：①若 a ，b∥ ，a∥b ，则∥ ；③若 a ，b ，a∥b ，则∥
，b∥ ；④若 a
，ar，bbr，则，arbr
； ，
则∥ ．正确的个数为（ ）
16．过点 P 0,3 作直线 l： m n x 2n 4m y 6n 0 的垂线，垂足为点 Q，则点 Q 到直线
x 2y 8 0 的距离的最小值为______．
三、解答题 17．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 60 名，将 其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图， 观察图形，回答下列问题：
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对 近 5 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 x （万元）和年销售量 y （单位： t ）具有线性
相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
3
x （万元）
2
4
5
3
6
y （单位： t ） 2.5
4
4.5
3
6
（1）根据表中数据建立年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程； （2）已知这种产品的年利润 z 与 x ， y 的关系为 z y 0.05x2 1.85 ，根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为 10 万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
2．已知直线 a 2 x 2ay 1 0 与直线 3ax y 2 0 垂直，则实数 a 的值是( )
A．0
B． 4 3
C．0 或 4 3
D． 1 或 2 23
【答案】C
【解析】由一般式方程可知直线垂直时 A1A2 B1B2 0 ，从而构造方程求得结果.
【详解】
由直线垂直可得： 3a a 2 2a 0 ，解得： a 0 或 4
由两点斜率公式可得： kOA
20 10
2
所以所求直线的斜率为： k 1 故所求直线的方程为： y - 2 = - 1 (x -1) ，化简可得： x 2 y 5 0
2
2
故答案选 A
【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线的点斜式方程和一般方程，属于基础题．
5．如图，在四面体 ABCD 中， AB CD ， M 、 N 分别是 BC 、 AD 的中点，若 AB 与 CD 所成的角的 大小为 30°，则 MN 和 CD 所成的角的大小为（ ）
A． 3x 2 ， 3s2 2 B． 3x ， 3s2
C． 3x 2 ， 9s2
D． 3x 2 ， 9s2 2
8．直线 l 经过点 P 1, 0 ，且圆 x2 y2 4x 2 y 1 0 上到直线 l 距离为1的点恰好有 3 个，满足条件的直
线 l 有（ ）
A． 0 条
B．1条
C． 2 条
A．
5
B． 5 5
C． 3 5 5
4．过点 A1, 2 且与原点距离最大的直线方程是（ ）
D． 55 5
A． x 2 y 5 0 B． x 2 y 3 0 C． x y 3 0
D． x y 1 0
5．如图，在四面体 ABCD 中， AB CD ， M 、 N 分别是 BC 、 AD 的中点，若 AB 与 CD 所成的角的 大小为 30°，则 MN 和 CD 所成的角的大小为（ ）
付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为 x1, x2 , x3,, x100 ，它们的平均数为 x ，方差 为 s2 ；其中扫码支付使用的人数分别为 3x1 2 ， 3x2 2 ， 3x3 2 ， ， 3x100 2 ，它们的平均数为 x ，
方差为 s2 ，则 x ， s2 分别为（ ）
故选 D
【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将两直线变为相交关系，从而得到异面直线所
成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为
0,
2
，造成丢根的情况出现.
6．执行如图所示的程序框图，如果输入 n 6 ， m 3 ，则输出的 p 等于（ ）
8
A． 120
B． 360
C． 840
【详解】
因为 MN
t 12 2t 12 02
5t2 2t 2
5
t
1 5
2
9 5
Байду номын сангаас
，所以当 t
1 5
时有最小值
93 5， 55
故选 C.
【点睛】
本题考查空间中的点到点的距离公式的运用，难度较易. 空间中有点 A x1, y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ，则 AB x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2 .
4
21．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，CC1 底面 ABC ，D 、E 、F 、G 分别为 AA1 ，AC 、A1C1 、BB1 ， 的中点，且 AB BC 5 ， AC 2 3 ， AA1 15 .
（1）证明： AF 平面 BEC1 ； （2）证明： AC FG ； （3）求直线 BD 与平面 BEC1 所成角的正弦值. 22．已知两个定点 A(0, 4) ， B(0,1) ， 动点 P 满足 | PA | 2 | PB | ，设动点 P 的轨迹为曲线 E ，直线 l ： y kx 4 . （1）求曲线 E 的轨迹方程； （2）若 l 与曲线 E 交于不同的 C 、 D 两点，且 COD 120 ( O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率； （3）若 k 1， Q 是直线 l 上的动点，过 Q 作曲线 E 的两条切线 QM 、 QN ，切点为 M 、 N ，探究：直线 MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）
18．已知 ABC 的三个顶点 Am, n 、 B 2,1 、 C 2,3 .
（1）求 BC 边所在直线的方程； （2） BC 边上中线 AD 的方程为 2x 3y 6 0 ，且 SABC 7 ，求点 A 的坐标.
14．某单位有 360 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 20 人做问卷调查，将 360 人按 1，2，…，360 随机编
号，则抽取的 20 人中，编号落入区间[181, 288] 的人数为__________． 15．正方体 ABCD A1B1C1D1 的外接球的表面积为12 ， E 为球心， F 为 C1D1 的中点.点 M 在该正方体的 表面上运动，则使 ME CF 的点 M 所构成的轨迹的周长等于__________．
M , N , E 分别为 BC, AD, BD 中点 ME / /CD ， NE / / AB
异面直线 AB 与 CD 所成角为 30 MEN 30 或150 AB CD ME NE NME 75 或15 ME / /CD MN 和 CD 所成角为 NME MN 和 CD 所成角的大小为15 或 75
4．过点 A1, 2 且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． x 2 y 5 0 C． x y 3 0
B． x 2 y 3 0 D． x y 1 0
【答案】A
【解析】当直线与 OA 垂直时距离最大，进而可得直线的斜率，从而得到直线方程．
【详解】
原点 O 坐标为 (0, 0) ，根据题意可知当直线与 OA 垂直时距离最大，
A．0
B．1
【答案】B
【解析】对每一个选项逐一分析得解.
【详解】
C．2
D．3
命题①中α与β还有可能平行或相交；
命题②中α与β还有可能相交；
命题④中α与β还有可能相交；
∵ a b ， a ，∴ b ，又 b ，∴ ．故命题③正确．
故选 B．
【点睛】
本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
D． 3 条
9．直线 y kx 3 与圆 (x 3)2 ( y 2)2 4 相交于 M，N 两点，若 | MN | 2 3 ．则 k 的取值范围是（ ）
A．
3 4
,
0
B．
0,
3 4
C．
3 3
,
0
D．
2 3
,
0
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积
7
A．15°
B．75°
C．30°或 60°
D．15°或 75°
【答案】D
【解析】取 BD 中点 E ，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线 AB 与 CD 所成角为 MEN 或其补角； 根据等腰三角形特点可求得 NME ，根据异面直线所成角定义可知 NME 即为所求角.
【详解】
取 BD 中点 E ，连接 ME, NE
D． 6,10
12．在三棱锥 A BCD 中， AB 面 BCD, AB 4, AD 2 5, BC CD 2 ，则三棱锥 A BCD 的外
接球表面积是（ ）
A． 2 5
B． 5
C． 5
D． 20
二、填空题
2
13．直线 x y 1被圆 x2 y2 2x 4y 1 0 截得的弦长为______.
为（ ）
A． 7 3 5
B． 7 2 5
C． 11 3 5 2
D． 11 2 5 2
11．已知直线 l : 2k 1 x k 1 y 1 0 k R 与圆 x 12 y 22 25 交于 A ， B 两点，则弦长
AB 的取值范围是（ ）
A． 4,10
B． 3, 5
C． 8,10