【典例精讲】第5讲 平行四边形和梯形-四年级上册数学精品讲义(思维导图+

第5讲平行四边形和梯形
（思维导图+学问梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图
二、学问点梳理
学问点一：平行与垂直
1.平行
同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

直线a是直线b的平行线，直线a与b相互平行，记作a∥b，或者b∥a 2.垂直
两条直线相交成直角，就说这两条直线相互垂直。

直线a是直线b的垂线，交点叫做垂足，记作a⊥b，或者b⊥a
垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线比较便利，先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再沿着另一条直角边化一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。

学问点二：平行四边形
1.两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。

2.常见的四边形有桌子、柜子、地砖、床、书本、打印纸等。

3.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫
做平行四边形高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

4.通过动手操作，我们发觉平行四边形简洁变形。

5.长方形和正方形是特殊的平行四边形。

学问点三：梯形
1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

2.两腰相等的梯形叫等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫直角形。

3.梯形中，平行的一组对边叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的
腰。

4.一个平行四边形能分成两个完全一样的梯形。

学问点四：四边形之间的关系
长方形、正方形是特殊的平行四边形。

三、例题精讲
考点一：平行与垂直
【典型一】关于下图，下列说法错误的是（）。

A．直线a比直线c短B．直线a与直线b不平行
C．直线c与直线d之间距离都相等D．直线c与直线d都垂直于直线a
【分析】依据题意，直线无法测量长度；直线a与直线b不平行；平行线间的距离处处相等，因此直线c与直线d之间距离都相等；直线c与直线d都垂直于直线a，据此推断即可。

【详解】A．直线无法测量长度，所以直线a比直线c短，说法错误；
B．直线a与直线b能相交，故不平行；
C．直线c与直线d相互平行，所以它们之间距离都相等；
D．直线c与直线d都垂直于直线a。

故答案为：A
【点睛】本题考查了平行和垂直的特征和性质。

【典型二】分别过点A画BC的垂线。

【分析】1、把三角尺的一条直角边与线段BC重合；
2、沿着线段BC移动三角尺，使线段外的A点在三角尺的另一条直角边上；
3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号即可。

【详解】
【点睛】此题考查了过直线外一点作垂线，清楚作垂线的步骤是解答此题的关键。

【典型三】如图，按要求作答。

（1）新校区到洛神北路的距离是（）米。

（2）方案从新校区铺一条排水管道到洛神南路，怎样铺才能使所用的排水管道长度最短？请在图上画出来。

【分析】（1）观看上图可知，新校区到洛神北路的垂线段长度即是新校区到洛神北路的距离。

（2）依据直线外一点直线上各点的连线中垂线段最短可知，作新校区到洛神南路的垂线段，沿垂线段铺，所用的排水管道长度最短。

【详解】（1）新校区到洛神北路的距离是50米。

（2）
【点睛】本题主要考查同学对垂线段学问和画垂线方法的把握。

【典型四】如图是一组平行线，利用这组平行线画出一个最大的正方形．
【分析】先在两条平行线中画出一条垂线段，量出长度，然后以这条垂线段的两个端点为正方形的两个顶点，在两条平行线上分别截取和垂线段相等的两条线段，连接截取的另两个端点即可得出平行线里最大的正方形．
解：由分析作图为：
【点评】解答此题应明确：所作出的正方形的边长等于这两条平行线之间的垂线段的长度．考点二：平行四边形和梯形
【典型一】
（1）图中相互平行的两条路是长康路和西青路；南三路和南二路也相互平行。

（2）南三路和东京路相互垂直。

（3）图中∠1＝50°∠2＝120°。

（4）请在图中画出光明学校到南二路的最近距离。

【分析】（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线相互垂直；
（2）在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
（3）利用量角器测量∠1和∠2的度数即可；
（4）用三角板的一条直角边的南二路重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和光明学校重合，过光明学校沿直角边向南二路画直线即可。

【解答】解：（1）图中相互平行的两条路是长康路和西青路，南三路和南二路也相互平行；
（2）南三路和东京路相互垂直；
（3）如图：∠1＝50°，∠2＝120°；
（4）如图：
【点评】本题考查了平行和垂直的性质。

【典型二】在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有
（）种不同的选法。

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边分别平行；过C点作AB边的平行线，此时有4个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线，此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；依此选择。

【详解】
4＋2＝6（种）
故答案为：C
【点睛】此题考查的是搭配问题的计算，娴熟把握梯形和平行四边形的特点是解答此题的关键。

【典型三】在下面点子图上画一个平行四边形，并画出它的一条高，标出这条高对应的底；再画一个等腰梯形，画出它的高，并标出它们的上底、下底、高和腰。

【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

两腰相等的梯形是等腰梯形，等腰梯形上底到下底的距离是梯形的高，再依据梯形的特点标出它们的上底、下底、高和腰。

【详解】
【点睛】此题考查的是画平行四边形，平行四边形的高及画法，画等腰梯形，等腰梯形的高及画法，应娴熟把握。

【典型四】小雅画了一个平行四边形，不当心擦掉了两条边，只剩下一个角（如下图）：
（1）这个角的度数为（）。

（2）请把这个平行四边形补充完整。

（3）过点A画这个平行四边形的高。

（4）画一条线段，把这个平行四边形分割成一个三角形和一个直角梯形。

【分析】（1）量角要留意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈；
（2）依据平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，由此即可把平行四边形补充完整；
（3）依据平行四边形高的含义：在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，
这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，由此过点A即可画出这个平行四边形的高；
（4）沿着平行四边形的一个顶点上的高作线段，即可把平行四边形分成一个三角形和一个直角梯形。

【详解】（1）这个角的度数为120°。

（2）（3）（4）如图所示：
【点睛】本题考查了图形的分割、角的度量、平行四边形的特征及高的画法。

四、易错专练
一、选择题（满分16分）
1．平行四边形的两条邻边分别是4厘米和6厘米，它的周长是（）厘米。

A．10 B．20 C．40
2．如下图，在两条平行线之间有一个平行四边形和一个长方形。

比较它们的周长，下面的说法正确的是（）。

A．平行四边形周长更长B．长方形周长更长C．一样长
3．将两个长方形按图所示摆放，重叠部分有（）组平行线。

A．3 B．2 C．1 D．0
4．把一张正方形的纸连续对折两次，两条折痕（）。

A．相互平行B．相互垂直
C．相交D．可能相互平行，也可能相互垂直
5．过直线外一点可以画（）条直线与这条直线垂直。

A．1 B．2 C．很多条
6．下面图形中相互平行的线段组数最多的是（）。

A．B．C．
7．下边信封里装着的是一个四边形，它不行能是（）。

A．长方形B．正方形C．梯形D．平行四边形
8．下面说法错误的是（）。

A．过一点可以画很多条直线。

B．手电筒照向天空的光线可以近似地看作是射线。

C．相交的两条直线都是相互垂直的。

二、填空题（满分16分）
9．把下面的图形填充完整。

10．在梯形里，( )的一组对边叫做梯形的底。

11．两个完全一样的梯形，它们的上底是10厘米，下底是5厘米，高是8厘米，把这两个梯形拼成一个平行四边形，则平行四边形的底是( )厘米，高是( )厘米。

12．下图以点A为一个端点的线段中，最短的线段是( )。

13．等腰梯形周长35cm，上底5cm，一条腰长7cm，它的下底长是( )厘米。

14．下图中一共有( )梯形，其中有( )直角梯形。

15．两条平行线之间的距离是8厘米，在这两条平行线之间作一条垂线段，这条垂线的长是 ( )厘米。

16．下面每组的两条直线中，相互平行的有( )，相互垂直的有( )。

三、推断题（满分8分）
17．平行四边形的两组对边分别相等。

( )
18．只要不相交的两条直线就肯定是平行线。

( )
19．下图中梯形ABCD的高是BE。

( )
20．过一点画已知直线的平行线可以画很多条。

( )
四、图形计算题（满分6分）
21．(6分)先估一估下面图形中哪个周长更长，再量一量，算一算。

五、作图题（满分6分）
22．(6分)在下面方格纸上画一个上底2厘米、下底6厘米、高3厘米的梯形，再画一个高2厘米的等腰梯形，并画出这个等腰梯形的一条高。

六、解答题（满分48分）
23．(6分)下图是一张长方形纸对折两次后的开放图。

以开放图上的10个交点为顶点，画出两个不同的梯形。

并说说梯形的上底、下底、高各是多少厘米。

24．(6分)如图是操场上的双杠。

双杠的支撑架需要修理了，你能检查出问题吗？请在图中圈出来。

请你动手验证一下，写出验证的方法，再用合适的工具，画出修正后的图。

25．(6分)爷爷用篱笆靠墙边围成一个梯形菜园，上底长4米，下底比上底长3米，你知道爷爷用了多长的篱笆吗？
26．(6分)下面的两条直线是什么位置关系？（作图说明理由）
我发觉：这两条直线__________________。

27．(6分)用一根长50厘米的铁丝围成一个等腰梯形，量得上底长8厘米，下底长18厘米。

求它的腰长？
28．(6分)幸福村要修一条水渠，把小河的水引到村子，怎样修水渠最短？
29．(6分)下图中，小明假如从A点横过大路，怎样走路线最短？把最短的路线画出来。

并说说为什么。

由于__________________________________________
30．(6分)小刚说得对吗？请说明理由。

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
平行四边形的对边相等，它的周长等于邻边之和乘2，据此解答。

【详解】
（4＋6）×2
＝10×2
＝20（厘米）
答案：B
【点评】
娴熟把握平行四边形的特征是解答此题的关键。

2．A
【解析】
【分析】
封闭图形一周的长度是这个图形的周长，而两条平行线之间的距离，垂线段最短，依此比较即可。

【详解】
依据分析可知，平行四边形的周长＞长方形的周长。

答案：A
【点评】
此题考查的是对长方形和平行四边形的周长的比较，应娴熟把握两条平行线之间的距离，垂线段最短。

3．B
【解析】
【分析】
观看上图可知，长方形的对边平行且相等，所以重叠部分的两组对边分别平行，重叠部分是一个平行四边形，有2组平行线，据此即可解答。

【详解】
依据分析可知，将两个长方形按图所示摆放，重叠部分有2组平行线。

答案：B
【点评】
主要考查同学对长方形的特征的把握和机敏运用。

4．D
【解析】
【分析】
沿同一个方向对折，两条折痕相互平行，如图：
②沿两个方向对折，两条折痕相互垂直，如图：
【详解】
把一个正方形纸片连续对折两次，有两种方法：①沿同一个方向对折，两条折痕是相互平行的；②沿两个方向对折，两条折痕是相互垂直的。

答案：D
【点评】
解决此题的关键要考虑到对折的方向，具体操作一下，问题即可得解。

5．A
【解析】
【分析】
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；据此即可解答。

【详解】
依据分析可知，过直线外一点可以画1条直线与这条直线垂直。

答案：A
【点评】
主要考查同学对垂线特征的把握和机敏运用。

6．C
【解析】
【分析】
依据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，由此解答即可。

【详解】
A．相互平行的线段有2组；
B．相互平行的线段有2组；
C．相互平行的线段有3组。

答案：C
【点评】
此题考查了平行的特征和性质，依据意义推断即可。

7．D
【解析】
【分析】
题图中四边形有2个直角，长方形中有4个直角，正方形中有4个直角，直角梯形中有2个直角，平行四边形有4个角，但是假如这个平行四边形的2个角是直角，则4个角都是直角，这个四边形应当是长方形或者正方形，据此解答即可。

【详解】
由分析得：
这个四边形可能是长方形、正方形、梯形，不行能是平行四边形。

答案：D
【点评】
娴熟把握长方形、正方形、梯形、平行四边形的特征，依据题目给出的图形特点选择合适
的图形。

8．C
【解析】
【分析】
把线段向两端无限延长，就得到一条直线，直线没有端点，是无限长的，不行以测量出长度；把线段向一端无限延长，就得到一条射线，射线只有一个端点，不行以测量出长度；在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线相互垂直，依此对每个选项进行推断并选择。

【详解】
A．过一点可以画很多条直线，原说法正确；
B．手电筒照向天空的光线可以近似地看作是射线，原说法正确；
C．相交的两条直线相交成直角时，这两条直线才相互垂直，原说法错误。

答案：C
【点评】
此题考查的是直线、射线的特点，以及垂直的特点，应娴熟把握。

9．见详解
【解析】
【分析】
依据平行四边形、梯形、长方形和正方形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，一组邻边相等的长方形是正方形；可知：正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形；梯形和平行四边形都是四边形；据此解答即可。

【详解】
【点评】
考查的是正方形、平行四边形、梯形和长方形的定义，娴熟把握这些四边形的定义与性质是解答此题的关键。

10．相互平行
【解析】
【详解】
只有一组对边相互平行的四边形是梯形，相互平行的一组边是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。

11．15 8
【解析】
【分析】
先依据题意画出这样的两个梯形，然后将它们拼在一起，最终再依据所拼成的图形计算出平行四边形的底和高即可填空。

【详解】
10＋5＝15（厘米）
依据画图可知，平行四边形的底是15厘米，高是8厘米。

【点评】
此题考查的是平面图形的拼组，应娴熟把握梯形和平行四边形的特点。

12．AF
【解析】
【分析】
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。

据此解答。

【详解】
以点A为一个端点的线段中，只有线段AF与BC相互垂直，线段AF最短。

【点评】
考查垂直的性质，关键是明确所连的这些线段中垂线段最短。

13．16
【解析】
【分析】
依据等腰梯形的两腰相等，解答此题即可。

【详解】
35－5－7×2
＝30－14
＝16（cm）
【点评】
娴熟把握等腰梯形的特征，是解答此题的关键。

14．3 3
【解析】
【分析】
只有一组对边平行的四边形叫做梯形，有两条边构成直角的叫做直角梯形。

数梯形时要依据肯定的挨次数，先数单个的梯形，再数2个梯形合成1个梯形的，据此解答。

【详解】
1＋1＋1＝3（个）
1＋1＋1＝3（个）
图中一共有3个梯形，3个直角梯形。

【点评】
考查组合图形的计数，按肯定挨次不重不漏地数是解的关键。

15．8
【解析】
【分析】
从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。

据此可知，这条垂线的长度就是两条平行线之间的距离，即8厘米。

【详解】
由分析得：
这条垂线长是8厘米。

【点评】
考查平行线之间的距离的定义，需娴熟把握。

16．①⑤②⑥
【解析】
【分析】
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成直角时，这两条直线就相互垂直；据此解答。

【详解】
依据分析可知，相互平行的有①⑤；相互垂直的有②⑥。

【点评】
此题考查了平行和垂直的定义，是基础学问，应坚固把握。

17．√
【解析】
【详解】
如上图：平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形。

答案：√
18．×
【解析】
【详解】
在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。

如下图所示：
答案：×
19．×
【解析】
【分析】
从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；所以过梯形下底的一个顶点向上底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是梯形的一条高。

观看图形可知，BE不是梯形ABCD的高。

【详解】
观看图形可知，BE不是梯形ABCD的高，故原题干说法错误；
答案：×
【点评】
正确理解梯形的高的定义，是解答此题的关键。

20．×
【解析】
【详解】
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

则过一点画已知直线的平行线，只可以画一条，而不是很多条。

答案：×。

21．平行四边形的周长更长；26厘米；22厘米
【解析】
【分析】
依据题意，先分别估测一下图中平行四边形和长方形的周长，再分别测量出这两个图形各边的长度，再依据平行四边形周长的意义及长方形周长计算公式，分别计算出它们的周长即可。

【详解】
通过测量可知，平行四边形相邻两边长度分别是8厘米、5厘米，长方形的长是7厘米、宽是4厘米。

可得：
（8＋5）×2
＝13×2
＝26（厘米）
（7＋4）×2
＝11×2
＝22（厘米）
所以，平行四边形的周长是26厘米，长方形的周长是22厘米。

22．见详解
【解析】
【分析】
画两条平行线段，上面一条长2厘米，下面一条长6厘米，两条平行线段之间的距离为3厘米，再把两条线段对应的端点连结起来即可得到符合条件的梯形。

同理再画出一个高2厘米的等腰梯形，并画出这个等腰梯形的高，即两底之间的垂直线段。

【详解】
（答案不唯一）
【点评】
主要考查同学对梯形的概念和特点的把握与运用。

23．见详解
【解析】
【分析】
依据题意，8÷4＝2（厘米），则开放图后的小长方形的宽是2厘米；只有一组对边平行的四边形是梯形，据此画出两个不同的梯形；并依据梯形上底、下底、高的定义，求出每个梯形的上底、下底、高各是多少厘米。

【详解】
8÷4＝2（厘米）
2×2＝4（厘米）
答：第一个梯形的上底是4厘米、下底是8厘米、高是3厘米；
其次个梯形的上底是2厘米、下底是8厘米、高是3厘米。

【点评】
娴熟把握梯形的特征是解答此题的关键。

24．见详解
【解析】
【分析】
双杠的支撑架应当相互平行，其中有一条歪了。

用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，另一条直角边贴着双杠的支撑架。

将三角尺紧贴着直尺移动位置，移动到歪了的支撑架的地方，发觉歪了的支撑架不与直角边重合。

再贴着直角边画出一条直线，这条直线就与别的支撑架平行。

【详解】
圈出问题如下：
验证的方法：用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，另一条直角边贴着双杠的支撑架。

将三角尺紧贴着直尺移动位置，移动到歪了的支撑架的地方，发觉歪了的支撑架不与直角边重合。

修正后的图，如下：
【点评】
此题主要考查了平行线的画法，要娴熟把握。

25．29米
【解析】
【分析】
用上底的长度加上3米，求出下底的长度。

再加上不靠墙的那条腰的长度，即可求出篱笆的总长度。

【详解】
4＋3＋4＋18
＝7＋4＋18
＝11＋18
＝29（米）
答：爷爷用了29米长的篱笆。

【点评】
考查梯形的周长，关键是依据题图明确篱笆长度为不靠墙的三条边的长度和。

26．画图见详解
相互垂直
【解析】
【分析】
将两条直线向外延长后，可发觉两条直线相交于一点，且形成的夹角是90°，则这两条直线相互垂直，据此解答。

【详解】
我发觉：这两条直线相互垂直。

【点评】
在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊状况。

27．12厘米
【解析】
【分析】
用这根铁丝围成一个等腰梯形，等腰梯形的周长等于铁丝长度。

等腰梯形中，两条腰相等。

用铁丝长度减去上底，再减去下底，即可求出两条腰的长度和。

再除以2，即可求出腰长。

【详解】
（50－8－18）÷2
＝24÷2
＝12（厘米）
答：它的腰长12厘米。

【点评】
等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰，机敏运用等腰梯形的周长公式解决问题。

28．过幸福村这点作水渠这条直线的垂线段，沿着这条垂线段作水渠最短。

【解析】
【分析】
从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。

据此过幸福村这点作水渠这条直线的垂线段即可。

【详解】
过幸福村这点作水渠这条直线的垂线段，如下：
答：过幸福村这点作水渠这条直线的垂线段，沿着这条垂线段作水渠最短。

【点评】
依据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画很多条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。

29．画图见详解；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。

【解析】
【分析】
从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。

据此可知，要使路线最短，则从A向对面的大路作垂线，这条垂线即为所求。

【详解】
由于从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。

【点评】
考查垂直的性质，关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。

而这共性质常用于解决求最短路线的问题。

30．对；画图、理由见详解
【解析】
【分析】
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；两平行线之间的垂直线段最短，依此画图并推断。

【详解】
如图所示，另一条腰也就是三角形的一条边，由于两平行线之间的垂直线段最短，因此这个直角梯形的另一条腰肯定比3厘米长，即小刚的说法对。

【点评】
此题考查的是长方形和直角梯形的特点，以及两平行线之间的垂直线段最短，应娴熟把握。