数学人教A版选修4-1达标训练：第一讲一平行线等分线段

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基础·巩固
1等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
思路解析:连结梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的邻边相等，由此可以断定此四边形必为菱形. 答案：B
2如图1-1-18，AB ∥CD ∥EF ，AF 、BE 相交于O ，若AO=OD=DF ，BE=10 cm ，则BO 的长为（ ）
图1-1-18
A.
310 cm B.5 cm C.2
5
cm D.3 cm 思路解析:根据AB ∥CD ∥EF 和AO=OD=DF ，有BO=OC=CE ，所以BO=3
1
BE. 答案：A
3如图1-1-19,已知AD ∥EF ∥BC ，E 是AB 的中点，则
DG=_____,CH=_____,AE=________,CF= __________.
图1-1-19 图1-1-20
思路解析:利用AD ∥EF ∥BC 和E 是AB 的中点，根据平行线等分线段定理，可得G 、H 、F 分别是BD 、AC 、DC 的中点，由此即得结论. 答案：BG AH BE DF
4如图1-1-20,在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD=2
1
AD ，若EG=5 cm ，则AC=______________；若BD=20 cm ，则EF=______________.
图1-1-21
思路解析:由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，可得F 是AD 的中点，结合CD=
2
1
AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，又由EG ∥AC ，可得EF 等于BD 的一半，FD=EG ，由此可得两个结论.
答案：15 cm 10 cm 5如图1-1-21，AB=AC,AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP.若AB=6 cm ，则AP=______________;若PM=1 cm ，则PC=______________. 综合·应用
思路解析:由AB=AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，有D 是BC 的中点；再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点，P 是AN 的中点，由此，AP=
31AB,PM=4
1
PC. 答案：2 cm 4 cm
6如图1-1-22，已知AC ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B,OC=OD,连结OA 、OB.求证:OA=OB.
图1-1-22
思路分析:作OE ⊥AB 于E ，可得一组平行线，利用O 是CD 的中点，得到E 是AB 的中点，结合线段垂直平分线的性质就有本题的结论.
证明：作OE ⊥AB 于E.
∵AC ⊥AB,DB ⊥AB,∴AC ∥OE ∥DB.
∵O 是DC 中点,∴E 是AB 中点.∴OA=OB. 7如图11-2-3，已知∠ACB=90°,AC=BC,CE=CF ，EM ⊥AF ，CN ⊥AF,求证:MN=NB.
图1-1-23
思路分析:由已知易得ME 与NC 平行，所以要说明MN=NB ，只要点C 是一条线段的中点即可，由此启发我们作辅助线CD.
证明：延长ME 交BC 的延长线于D ，由已知可得，Rt △EDC ≌Rt △FAC.
∴DC=CB.又∵EM⊥AF，CN⊥AF,
∴DM∥CN.
又C是BD的中点,
∴N是MB的中点.
∴MN=NB.
8已知线段AB，求作AB的五等分点.
图1-1-24
思路分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等的线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等份了.
作法：(1)如图，作射线AM；
(2)在射线AM上截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB 于C、D、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.
9梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点,求证:△ECD为等边三角形.
图1-1-25
思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.
证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DC于F.
∵梯形ABCD,∴AD∥BC.
∴AD∥EF∥BC.
又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点.
（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）
∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.
∴ED=EC （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）. ∴△EDC 为等腰三角形. ∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC 是等边三角形. ∴∠ACB=60°.
又E 是AB 边的中点,∴CE 平分∠ACB. ∴∠1=∠2=30°.∴∠DEF=30°.∴∠DEC=60°. 又ED=EC,∴△DEC 为等边三角形.
10已知直线l 1∥l 2∥l 3，任作两直线m 、n ，分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C 、D 、E 、F,如图1-1-26所示.
图1-1-26 图1-1-27 图1-1-28 (1)分别量出线段AB 、AC 、DE 、DF 的长,观察结论，你有什么发现？ (2)把直线n 沿DA 方向平移到A 点，得到直线n′，分别与直线l 2、l 3交于E′、F′，如图1-1-27，观察△ABE′与△ACF′，你有什么发现？说出你的猜测，并验证.
(3)如图1-1-27，若继续把直线n 平移使其经过B 点，分别与直线l 1、l 3交于D″、F″，结果如何？
(4)利用你的发现，判断图1-1-28中的相似三角形有几对？
思路分析:对于线段的关系，尤其是四条线段的关系，很有可能是成比例，但要通过验证才能确定.而两个三角形在大小不一的情况下，又有了成比例的线段，就可以联想到两个三角形相似.要判断最后一个图形中有几对相似三角形，就要设法把图形分离出（2）（3）中的基本图形. 解：（1）通过测量可得AB=1.5 cm,AC=4 cm,DE=1.15 cm,DF=3.1 cm,观察且计算可发现
45.1=AC AB =0.375,1.315
.1=DF DE ≈0.371，由于作图和测量都会有一定的误差，因此可以确定有DF
DE
AC AB =. （2）△ABE′∽△ACF′，由于AF′是由DF 平移而来的，由平移的特征可得AE′=DE,AF′=DF,
所以仍然有
F A E A DF DE AC AB ''==,而通过测量同样可计算出F C E B '
'
的值也非常接近0.375，因此有AC AB =F A E A ''=F C E B '
'；由平行线的性质，可得∠ABE=∠ACF,∠AE′B=∠AF′C.而∠CAF′为公共角.
所以△ABE′∽△ACF′. （3）△ABD″∽△CBF″.
(4)有3对：△ADE ∽△ABC,△CEF ∽△CAB,△ADE ∽△EFC.。