求二元函数极限范文

求二元函数极限范文
要求求出二元函数的极限，我们首先需要明确二元函数的定义。

在数学中，二元函数是指它的自变量有两个，而函数值只有一个的函数。

一般来说，我们将二元函数表示为f(x,y)。

在求二元函数的极限时，我们需要考虑在自变量趋于一些点时，函数值的趋势。

为了更好地理解二元函数的极限，接下来我们将介绍一些有关极限的基本概念和性质。

1. 二元函数的极限定义：对于给定的二元函数f(x, y)，当自变量(x, y)接近点(x0, y0)时，如果函数值f(x, y)趋于一个确定的常数L，那么我们说f(x, y)在点(x0, y0)处有极限，记作lim(f(x, y)) = L，或写成f(x, y)→L，其中(x, y)→(x0, y0)。

2.二元函数的极限存在条件：对于给定的二元函数f(x,y)，当(x,y)在点(x0,y0)处的任意去心邻域内，总存在一个半径为δ的极限邻域使得当(x,y)与(x0,y0)的距离小于δ时，函数值f(x,y)与L的距离小于ε，即，f(x,y)-L，<ε。

这个条件也可以写为对于任意ε>0，存在δ>0，使得只要0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ，就有，f(x,y)-L，<ε。

3.二元函数极限的性质：二元函数极限具有一些性质，包括唯一性、局部性和函数加减乘除的极限。

-唯一性：如果f(x,y)在点(x0,y0)处有极限L，则该极限是唯一的。

-局部性：如果f(x,y)在点(x0,y0)处有极限L，则该极限也是(x,y)在点(x0,y0)处一些去心邻域内的函数极限。

-函数的和、差、积、商的极限：如果f(x,y)和g(x,y)在点(x0,y0)
处有极限L和M，则f(x,y)+g(x,y)、f(x,y)-g(x,y)、f(x,y)·g(x,y)和
f(x,y)/g(x,y)在点(x0,y0)处也有极限L+M、L-M、L·M和L/M（M≠0）。

有了以上的基本概念和性质，我们可以开始求解具体的二元函数极限
问题。

例1：求二元函数极限lim(x, y)→(0, 0) (3x²y) / √(x²+y²)。

解：首先我们需要判断该极限是否存在，也就是验证函数在点(0,0)
处是否有唯一的极限值。

根据条件，对于任意ε>0，存在δ>0，使得只要0<，(x,y)-(0,0)，<δ，就有，(3x²y)/√(x²+y²)，<ε。

注意到，(3x²y) / √(x²+y²)， = ，3xy，/ √(x²+y²) ≤ 3，x，·，y， / (，x，+，y，)。

由于函数(3x²y)/√(x²+y²)在(0,0)处连续，所以当(x,y)趋于(0,0)时，x，和，y，都趋于0，因此3，x，·，y，/(，x，+，y，)也趋于0。

所以根据定义，函数lim(x, y)→(0, 0) (3x²y) / √(x²+y²)存在，并且极限值为0。

例2：求二元函数极限lim(x, y)→(0, 0) (2xy) / (x²+y²)。

解：对于该函数，使用极坐标变换可以简化计算。

令x = rcosθ，y = rsinθ，则(x, y) → (0, 0)相当于r → 0，
即(x, y)趋于原点。

此时，函数可表示为(2rcosθ·rsinθ) / (r²(cos²θ+sin²θ))，简化为(2rcosθ·rsinθ) / r²，化简得2cosθ·sinθ。

注意到cosθ和sinθ都是有界函数，即，cosθ，≤ 1，sinθ，≤ 1
所以，2cosθ·sinθ，≤ 2，即2cosθ·sinθ的取值范围在[-2, 2]之间。

因此，当x趋于0时，2cosθ·sinθ也趋于0。

因此二元函数
lim(x, y)→(0, 0) (2xy) / (x²+y²)存在，并且极限值为0。

通过以上两个例子，我们可以看到求解二元函数的极限问题实质上是通过条件判断和变量替换，从而将二元函数化简为一元函数，再利用一元函数的极限性质进行求解。

例3：求二元函数极限lim(x, y)→(0, 0) (x²y) / (6x⁴ + 4y²)。

解：对于该函数，我们可以使用不同路径的极限计算方法来判断函数在点(0,0)处的极限是否存在。

a) 我们可以选择x = 0作为一条路径来接近(0, 0)，此时函数
lim(x, y)→(0, 0) (x²y) / (6x⁴ + 4y²) = 0。

b) 我们可以选择y = 0作为另一条路径来接近(0, 0)，此时函数
lim(x, y)→(0, 0) (x²y) / (6x⁴ + 4y²) = 0。

不同路径的结果相同，均为0。

因此，二元函数lim(x, y)→(0, 0) (x²y) / (6x⁴ + 4y²)存在，并且极限值为0。

通过以上例子，我们可以看到二元函数的极限存在并不总是唯一的，
有些函数在不同路径上的极限结果可能不同。

这就要求我们在求解过程中
要仔细分析不同路径的极限，以确保极限的存在和唯一性。

除了以上的一些基本思路和方法，二元函数极限的求解还可以通过利
用夹逼定理、换元法、泰勒级数展开等多种方法。

不同的问题可能需要不
同的方法，我们需要根据具体情况灵活运用。

在求解过程中，我们也需要注意函数的连续性和可导性等性质。

有时候，我们可能需要利用这些性质来证明极限的存在或应用具体的定理来简
化计算。

总结而言，求解二元函数的极限是一项需要综合运用数学基本概念和
方法的技巧性工作。

通过深入理解极限的概念和性质，结合具体问题的特点，我们可以灵活选择适应的方法来求解。

希望以上的讨论对您有所帮助。