高考数学压轴专题新备战高考《复数》解析含答案

新高考数学《复数》专题解析(1)
一、选择题
1．设复数4273i
z i
-=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729-
B ．
1729
C ．129
-
D ．
129
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数运算法则求解171
2929
z i =-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()4273422812146342171
73737358582929
i i i i i i z i i i i -+-+-+-=
====---+ 故复数z 的虚部为1
29
- 故选：C 【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.
2．已知i 是虚数单位，4
4
z 3i (1i)
=-+，则z (= )
A ．10 B
C ．5
D 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】
42
44
z 3i 3i 13i (1i)(2i)
=
-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】
因为342z i ++≤，
故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为()()
22
231412412AB +=
--+--+=+，
最小值为2412AB -=-，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.
4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈
，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
5．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z
i
=（ ） A ．12i - B ．12i +
C ．12i -+
D ．12i --
【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入z
i
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
由题意，2z i =-+，
则
22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
6．复数21i
z i
+=
-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是
A ．z =
B ．z 的共轭复数为
31+22
i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数的四则运算，求得13
22
z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】 由题意()()()()22121313
111122
i i i i z i i i i i ++++=
===+--+-，
则2z =
=
，z
的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为
b (,)a b 、共轭为a bi -．
7．已知复数z 满足121i
z i i
+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )
A ．1
B ．2
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】
21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i
z i i z i z i i i i i
+-∴
⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，
12||z i z ∴=-+⇒==
故选：D 【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
8．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数
12i
i a bi i
+-=+-，则a bi -=（ ） A ．
1255i - B ．
1255i + C ．
2155
i - D ．
21i 55
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
由复数的除法运算，可得(1)(2)12
(2)(2)55
i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答
案． 【详解】
由题意，复数12i
i a bi i
+-=+-，得
(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1
2
55
a b i=i -+，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A
B
．
2
C ．
52
D ．
54
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】
由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z
43(43)(1)1717
,12222
||i i i i z i i z ----=
===-+∴==
故选：B 【点睛】
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
10．复数1
1i
+的共轭复数是 （ ） A ．
1122i + B ．
1122
i - C ．1i -
D ．1i +
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数1
1i
+，进而可得结果. 【详解】
因为
()()1111212
11i i i i i -+--==+， 所以
11i
+的共轭复数是1122i +，
故选：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11．设2i
2i 1i
z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +
C ．2i +
D ．2i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】
由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i
2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
12．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．)+∞
C ．(,-∞
D ．(
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，复数2
(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，
所以2
30
20
a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.
13．若复数1a i
z i
+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1
C ．
12
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】
()()()()()i 1i 11i
i 1i 1i 1i 2
a a a a z ++-+++=
==--+Q ， 所以3
·z i =
()()()()
34
1i 1i 1i 12
2
a a a a -++--++=
，
因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，1
02
a --
= 可得1a =，1a =时3
,?
10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
14．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）
A ．1 B
C ．2
D 【答案】A 【解析】
分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求
1z i ++的最小值.
详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，
它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6， 所以点Z 的轨迹为线段AB,
因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离， 所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A
点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结
合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.
15．已知复数122i
z i
+=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0
C ．1
D ．i
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案． 【详解】 复数()()()()1221252225
i i i i
z i i i i +++=
===--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R
），且2z +=1
y x
-的最大值为（ ） A
B
C
．2+ D
．2【答案】C 【解析】 【分析】
根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1
y x
-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】
∵复数i z x y =+（x ，y ∈R
），且2z +=
=()2
2
23x y ++=.
设圆的切线l ：1y kx =+
=
化为2420k k
--=，解得2k =
∴
1
y x -的最大值为2 故选:C.
【点睛】
本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
17．复数5
2
i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.
【详解】
因为
522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】
本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.
18．复数z 11i
i
-=+，则|z |=( )
A ．1
B ．2
C D ．【答案】A 【解析】 【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】
由题意复数z 11i
i
-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+=
==-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.
19．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）
A ．1
B ．2
C D ．【答案】C 【解析】
试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)
1,12
i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模
20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.故选：.
【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。