辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析

辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】D
【解析】
【分析】 由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n 的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S 时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：1111111111114113355779233557799
S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【详解】
解：由程序框图知：
第一次循环：S 初始值为0，不满足49S ≥，故11133S ==⨯，3n =； 第二次循环：当13S =，不满足49S ≥，故11111121133523355S ⎛⎫=+=-+-= ⎪⨯⨯⎝⎭，5n =； 第三次循环：当25S =，不满足49S ≥，故11131335577
S =++=⨯⨯⨯，7n =； 第四次循环：当37S =，不满足49S ≥，故11114133557799
S =+++=⨯⨯⨯⨯，9n =；
此时，49S =，满足49S ≥，退出循环，输出9n =，故选D . 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.
2．已知抛物线22(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值为32，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为
A ．2
B ．3
C ．21+
D ．22- 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，
到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值，也即为AM AF +最小，
当A F M 、、三点共线时取最小值．
所以FM 32=，解得F 20（，）
， 由内切圆的面积公式()S 2a b c r ++=，解得22r =-．故选D ．
3．下列导数运算正确的是（ ）
A ．1()x x a xa -='
B ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅
C ．1(lg )x x
'=
D ．12()x x --'= 【答案】B
【解析】
【分析】
由()'x x a a lna =判断A ；由()()()22
sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x =+=-判断B ；由判断()1lgx 'xln10
= 判断C ；由()12x 'x --=-判断D . 【详解】
根据题意，依次分析选项，
对于A ，()x x
'ln a a a =，A 错误； 对于B ，()()()22
sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x cos2x =+=-=，B 正确； 对于C ，()1lgx 'xln10=
，C 错误； 对于D ，()12x
'x --=-，D 错误；故选B ．
【点睛】 本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．
4．当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）
A ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
B ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
C ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
D ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ 【答案】D
【解析】
【分析】
对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
即可得出2x x <，从而得出()
()()21f x f x f <<，从而得出选项．
【详解】
∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+， 由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 由于112x <<，故2x x <，所以()
()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22
f x
f x f x <<，故选D. 【点睛】 本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.
5．计算(1)(2)i i +⋅+=
A ．1i -
B ．13i +
C ．3i +
D ．33i +
【答案】B
【解析】
分析：根据复数乘法法则求结果.
详解：()()1221313,i i i i ++=-+=+
选B.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
6．已知双曲线221:13x C y -=与双曲线2
22:13
x C y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等
B ．它们的焦点在同一个圆上
C ．它们的渐近线方程相同
D ．它们的离心率相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标，焦距，渐近线方程以及离心率，进而分析选项即可得到答案。

【详解】
根据题意，双曲线2
21:13
x C y -=，其中a =1b =，则2c ==，则焦距24c =，焦点坐标
()2,0±，渐近线方程为3y x =±，离心率3
c e a ==；
双曲线222:13x C y -=-，其标准方程为2
213
x y -=，其中1a =，b =2c ==，则焦距
24c =，焦点坐标()0,2±，渐近线为y x =，离心率2c e a ==； 据此依次分析选项： 两个双曲线的焦距均为4，故A 正确；双曲线1C 的焦点坐标()2,0±，双曲线2C 的焦点坐标()0,2±，都
在圆224x y +=上，故B 正确；渐近线方程均为y x =，故C 正确；双曲线1C 的离心率e =
双曲线2C 的离心率2e =，离心率不相等，故选D
【点睛】
本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意将双曲线2C 的方程变为标准形式，属于基础题。

7．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．28π+
B ．88π+
C ．48π+
D ．68π+
【答案】A
【解析】 由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为4,2,1的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为24211282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A.
8．已知1(5,)3X
B ，则37()22P X ≤≤=（ ） A ．80243 B ．40243
C ．4081
D ．8081
【答案】C
【解析】 【分析】
根据二项分布求对应概率
【详解】
()()372322P X P X P X ⎛⎫≤≤==+= ⎪⎝⎭23322355121240C C 333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以选C. 【点睛】
本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．已知函数f （x ）＝（3x ﹣2）e x +mx ﹣m （m ≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f （x ）≤0，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（
5e
，2] B ．[52-
e ，283-e ） C ．[12-，283-e ） D ．[﹣1，52-e ） 【答案】B
【解析】
【分析】
设()()=32x
g x x e -，利用导数研究其单调性，作出图象，再由()h x mx m =-+恒过定点()1,0，数形结合得到答案．
【详解】
设()()=32x g x x e -，()h x mx m =-+，
则()()31x g x e x '=+， 1,3x ⎛⎫∴∈-∞- ⎪⎝⎭，()0
g x '<，()g x 单调递减，
1
,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 单调递增，
1
3x ∴=-，()g x 取最小值1
33e --，
直线y mx m =-+过定点()1,0，
而51,B e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，282,C e -
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
5522AB e k e ==，
22
8
833AC e
k e ==
∴要使有且仅有两个整数使得()0f x ≤，
则228532m e e <-≤，即25
8
23m e e -≤<-
∴实数m 的取值范围为25
8,23e e ⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭.
故选B 项.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题.
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（
） A ．1A E BF ⊥ B ．1A F 与BD 所成角为60︒
C ．1A E ⊥平面ADF
D ．1A F 与平面ABCD 所成角的余弦值为13
- 【答案】C
【解析】
【分析】 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】
解：设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
A 1（2，0，2），E （2，1，0），
B （2，2，0），F （0，2，1），
1A E =（0，1，﹣2）
，BF =（﹣2，0，1）， 1A E BF ⋅=-2≠0，∴A 1E 与BF 不垂直，
故A 错误；
1A F =（﹣2，2，﹣1）
，BD =（﹣2，﹣2，0）， cos 1A F ＜，11A F BD
BD A F BD ⋅==⋅＞0， ∴A 1F 与BD 所成角为90°，故B 错误；
DA =（2，0，0）
，DF =（0，2，1）， 1A E =（0，1，﹣2）
， 1A E •DA =0，1A E DF ⋅=0，
∴A 1E ⊥DA ，A 1E ⊥DF ， ∴A 1E ⊥平面ADF ，故C 正确；
1A F =（﹣2，2，﹣1）
，平面ABCD 的法向量n =（0，0，1）， 设A 1F 与平面ABCD 所成角为θ，
则sin θ1113
n A F
n A F ⋅=
=
⋅， ∴cos θ
== ∴A 1F 与平面ABCD 所成角的余弦值为
3，故D 错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
11．若a ，b 均为单位向量，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角大小为 （ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．23
π 【答案】C
【解析】
分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得a b ⋅，再由数量积的定义可求得夹角．
详解：∵()2a a b ⊥-，∴2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=，∴12a b ⋅=
， ∴1cos ,2a b a b a b ⋅<>=
=，∴,3a b π<>=． 故选C ． 点睛：平面向量数量积的定义：cos ,a b a b a b ⋅=<>，由此有cos ,a b
a b a b ⋅<>=，根据定义有性质：
0a b a b ⊥⇔⋅=．
12．设椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32 B ．22 C ．12 D ．33
【答案】A
【解析】
分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为
1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率. 详解： 2PEF ∆
的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+
21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，
∴213e 114c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭
故选：A
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
二、填空题：本题共4小题
13．若实数,x y 满足条件14,23,
x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为____________. 【答案】[5,13]
【解析】
分析：根据,x y 满足条件14,23,
x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩画出可行域，然后分析42z x y =-的最值 详解：,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩即4132
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎪⎨-≤⎪⎪-≥⎩，画出可行域：
根据可行域可知，目标函数42z x y =-在A 点处取得最小值，在C 点处取得最大值
13A ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，71C ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以42z x y =-的取值范围为[]
5,13
点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。

14．设函数()22,241,2x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则1()(10)f f =_________; 【答案】1-
【解析】
【分析】
先结合分段函数的解析式计算()10f ，代入可求出()110f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
的值．
【详解】
由题意可知，()1041011f =-=，因此，()()211121110f f f ⎛⎫==-⨯=- ⎪
⎪⎝⎭， 故答案为1-．
【点睛】
本题考查分段函数求值，在计算多层函数值时，遵循由内到外逐层计算，同时要注意自变量的取值，选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题．
15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 【答案】55(,)22
【解析】
【分析】
化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB 的中点的直角坐标． 【详解】
射线θ=4π的直角坐标方程为y=x （x ≥0），曲线()211x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
（t 为参数）化为普通方程为y=（x ﹣2）2
，
联立方程并消元可得x 2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4 ∴线段AB 的中点的横坐标为
52，纵坐标为5
2 ∴线段AB 的中点的直角坐标为55,22⎛⎫
⎪⎝⎭
故答案为：55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，考查直线与抛物线的交点，中点坐标公式，属于基础题．
16．已知函数3()()3f x x a =++，对任意x ∈R ，都有(1)6(1)f x f x +=--，则
(2)(2)f f +-=____________
【答案】－20 【解析】
分析：令0x =，知()()161f f =-，()13f ∴=，从而可得1a =-，进而可得结果. 详解：令0x =，知()()161f f =-，()13f ∴=，
()()3
1133f a ∴=++=，1a ∴=-， ()()3
1f x x ∴=-，
()()2220f f ∴+-=-，故答案为20-.
点睛：本题主要考查赋值法求函数的解析式，令0x =，求出()1f 的值，从而求出函数解析式，是解题的关键，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性或50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图.
（1）完成下列 22⨯列联表： 喜欢旅游 不喜欢旅游 估计 女性 男性 合计
（2）能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”. 附：
()2P K k >
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b a d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++ 【答案】 (1)答案见解析；(2) 不能在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”. 【解析】
分析：（1）根据等高条形图计算可得女生不喜欢打羽毛球的人数为20，男性不喜欢打羽毛球的人数为30.据此完成列联表即可.
（2）结合(1)中的列联表计算可得2
100
2.70699
K =<，则不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关.
详解：（1）根据等高条形图，女生不喜欢打羽毛球的人数为500.420⨯=， 男性不喜欢打羽毛球的人数为500.630⨯=. 填写22⨯列联表如下： 喜欢打羽毛球
不喜欢打羽毛球
总计
女生
30 20 50
男生 25 25 50
总计
55 45 100
（2）根据列联表中数据，计算
()2
2
1003025202550505545
K ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 100
2.70699
=
<， 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
18．某工厂的某车间共有30位工人，其中60%的人爱好运动。

经体检调查，这30位工人的健康指数（百分制）如下茎叶图所示。

体检评价标准指出：健康指数不低于70者为“身体状况好”，健康指数低于70者为“身体状况一般”。

（1）根据以上资料完成下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”？
身体状况好 身体状况一般 总计 爱好运动 不爱好运动
总计
30
（2）现将30位工人的健康指数分为如下5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其频率分布直方图如图所示。

计算该车间中工人的健康指数的平均数，由茎叶图得到真实值记为x ，由频率分布直方图得到估计值记为x ，求x 与x 的误差值；
（3）以该车间的样本数据来估计该厂的总体数据，若从该厂健康指数不低于70者中任选10人，设X 表示爱好运动的人数，求X 的数学期望。

附：2
2
()()()()()()
a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++。

【答案】（1）列联表见解析；有99.5%的把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”；（2）误差值为0.4；（3）数学期望()8E X = 【解析】 【分析】
（1）根据茎叶图补全列联表，计算可得2107.879K =>，从而得到结论；（2）利用平均数公式求得真实值；利用频率直方图估计平均数的方法求得估计值，作差得到结果；（3）可知410,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，利用二项分布数学期望计算公式求得结果. 【详解】
（1）由茎叶图可得列联表如下：
()2
23016824107.87920101812
K ⨯⨯-⨯∴==>⨯⨯⨯
∴有99.5%的把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”
（2）由茎叶图可得：真实值5036077078089051382288
3030
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+==
由直方图得：估计值377852300
5565758595303030303030x ∴误差值为：2300228812
0.43030
x x
（3）从该厂健康指数不低于70的员工中任选1人，爱好运动的概率为：164
205
则410,5X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴数学期望()41085E X =⨯=
【点睛】
本题考查独立性检验、茎叶图和频率分布直方图的相关知识、二项分布数学期望的计算，涉及到卡方的计算、利用频率分布直方图估计平均数、随机变量服从二项分布的判定等知识，属于中档题.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点
.
（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若2
2
PA AB PB ==
，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）2
10
【解析】 【分析】
（1）由PE BC BC AE ⊥⊥，得BC ⊥平面PAE ，进而可得证；
（2）先证得PA ⊥平面ABCD ，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，分别计算平面BDF 的法向量为n 和PD ，设PD 与平面BDF 所成角为θ，则
sin n PD n PD
θ⋅=
，代入计算即可得解.
【详解】
（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.
又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==，则2PB a PC =
=，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，
同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .
如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=
，从而4
tan 3
FOA ∠=. 由4
32
AF a =
，得23
AF a =.
又由20,,23a a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，知32,23a a a BF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，20,,23a a OF ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭.
设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，
由n BF ⊥，n OF ⊥，得3202232023a a a x
y z a a y z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，不妨设3z =，得()0,4,3n =.
又0,,2a P a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以3,,22a a PD a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设PD 与平面BDF 所成角为θ，则
22
2232
sin 10315
44
n PD a a n PD
a a a θ⋅-=
==
++.
所以PD 与平面BDF 所成角的正弦值为
2.
【点睛】
用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20．已知函数()(1)x f x e a x =-+，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若0a >时，函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的值. （3）已知数列{}n a 满足1
n a n
=
，其前n 项和为n S ，求证：ln(1)n S n >+（其中n N ∈）. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在[ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln ]a -∞上单调递减；（2）1a =；（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()x
f x e a '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论
（2）由（1）中的结论，要使()f x 恰有1个零点，只需函数()f x 的最小值为0
（3）由（1）知，当1a =时，min ()(1)()0x
f x e x f x =-+≥=，即(1)(0)x
e x x >+≠，然后可得111
1n
n e n n
+>
+=
，由此可证明1111
12311n n
e n ++++
+->+，然后两边同时取对数即可
【详解】
（1）()x
f x e a '=-
当0a ≤时，()0f x '>，从而()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，()0ln f x x a '>⇒>，()0ln f x x a '<⇒< 从而()f x 在[ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln ]a -∞上单调递减
（2）由（1）知，当0a >时()f x 在[ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln ]a -∞上单调递减， 要使()f x 恰有1个零点，只需函数()f x 的最小值为0， 即min ()(ln )0f x f a ==，解得1a =
（3）由（1）知，当1a =时，min ()(1)()0x
f x e x f x =-+≥=，即(1)(0)x
e x x >+≠ 令1x n =，得1
111n n e n n
+>+=
则1
21e >，1232e >，1343e >，…，111
n n e n ->-，11n n e n +> 11111
31
22341
1231n n
n n e e e e
e n n
-+⋅⋅⋅⋯⋅⋅>
⋅⋅⋅⋯⋅⋅
- 即11
11
12311n n
e n +++
++->+
两边取以e 为底的对数得：1111
1ln(1)231n n n
+++⋯++>+- 【点睛】
本题考查的是利用导数研究函数的单调性、零点个数及证明不等式，属于较难题.
21．某市为迎接“国家义务教育均衡发展”综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了n 所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分.其中x y 、分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A (优秀)、B (良好)、C (及格）三个等级，调查结果如表所示.例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B 等级的共有2021243++=所学校.已知两项指标均为B 等级的概率为0.21.
（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关；
师资力量（优秀） 师资力量（非优秀） 合计 基础设施建设（优秀）
基础设施建设（非优秀） 合计
（2）在该样本的“学校的师资力量”为C 等级的学校中，若18,1115a b ≥≤≤，记随机变量a b ξ=-，求ξ的分布列和数学期望.
附:()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）依题意求得n 、a 和b 的值，填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论； （2）由题意得到满足条件的（a ，b ），再计算ξ的分布列和数学期望值． 【详解】 （Ⅰ）依题意得21
0.21n
=，得100n = 由
20120.4100
a
++=，得8a =
由20201122112100a b ++++++++=得15b =
师资力量(优秀) 师资力量（非优秀） 基础设施建设（优秀） 20 21 基础设施建设（非优秀）
20
39
()2
210020392021 2.23240604159
K ⨯-⨯=
=⨯⨯⨯.
因为2.027 2.232 2.706<<，
所以没有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关. （Ⅱ）8a ≥,1115b ≤≤,得到满足条件的(),a b 有：()8,15，()9,14，()10,13，()11,12，()12,11 故ξ的分布列为
ξ
1 3 5 7
P
25
1
5 15 15
故135755555
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题主要考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与数学期望问题，属于中档题． 22．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2
'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥. 【答案】（Ⅰ）[-1,+∞）．（Ⅱ）见解析 【解析】
本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，以及利用导数求解不等式，或者参数范围的运用． 解：（Ⅰ）11
()ln 1ln x f x x x x λ
+=
+-=+'， ()ln 1xf x x x =+',
题设2
()1xf x x ax ≤++'等价于ln x x a -≤. 令
，则1
()1g x x
=
-' 当01x ＜＜，()0g x '＞；当1x ≥时，()0g x '≤，1x =是()g x 的最大值点，
()(1)1g x g ≤=-
综上，a 的取值范围是[
)1,-+∞.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，()(1)1g x g ≤=-即ln 10x x -+≤.
当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤；
x≥时，
当1
f x x x x x
=+-+ ()ln(ln1)
1
x x x
ln(ln1)
=++-
x
11
x x
ln(ln1)
=--+
x x
≥
所以。