山东省沂水县第一中学2018届高三上学期一轮模拟数学(理)试卷(含答案)

2018届高三模拟 数学试题（理）
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1.已知集合1{,},(),3
x M y y x x x R N y y x R ⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎩
⎭
，则（ ）
A ．M N =
B ．N M ⊆
C ．R M C N =
D ．R C N M 2. 复数(12)(2)z i i =++的共轭复数为（ ）
A ．－5i
B ．5i
C ．15i +
D ．15i - 3. 将函数()3sin(2)3
f x x π
=-
的图像向右平移(0)m m >个单位后得到的图像关于原点
对称，则m 的最小值是（ ）
A ．
6π B ．3π C ．23π D ．56
π 4. 已知函数2
2()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（ ）
A ．(,1)(3,)-∞-+∞
B ．(,3)(1,)-∞-+∞
C ．(3,1)
(1,1)---
D ．(1,1)
(1,3)-
5. 已知命题:,p a b R ∃∈， a b >且11a b >，命题:q x R ∀∈，3
sin cos 2
x x +<.下列命题是真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝ 6. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视
⊂≠
图为（ ）
7. 下列说法错误的是（ ）
A ．“函数()f x 的奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件.
B ．已知A B
C 、、不共线，若0PA PB PC ++=则P 是△ABC 的重心. C ．命题“0x R ∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”.
D ．命题“若3
π
α=
，则1cos 2α=
”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3
π
α≠”. 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知103010,130S S ==，则40S =（ ）
A ．－510
B ．400
C ． 400或－510
D ．30或40 9. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知
2017
2
1
6
()20182017
21f x x x x =
++++，
下列程序框图设计的是求0()f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）
A ．n i =
B ．1n i =+
C ．n =2018i -
D ．n =2017i -
10. 已知34πθπ≤≤1cos 1cos 6
22θθ+-=θ=（ ） A ． 101133ππ或 B ．37471212ππ或 C ．131544ππ或 D ． 192366
ππ
或
11.
已
知
△
ABC
中，
,,a b c
为角
,,A B C
的对边，
(62)(62)0aBC bCA c AB +-++=，则△ABC 的形状为（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D . 无
法确定
12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．
命题的个数是（ ） 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；
2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； 3:P 圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形； 5:P 奇函数都是太极函数； 6:P 偶函数不可能是太极函数.
A. 2
B. 3
C.4
D.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x ==且(2)()a b a b +⊥-，则x = . 14.曲线2
y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 .
15.已知等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，7338a a -≤，则4a 的取值范围
为 .
16.()f x 是R 上可导的奇函数，()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=，
不等式()
22ln(10ln(1)x x f x x e +<++≤的解集为M ，则在M
上()sin6g x x =的零点的个数为 .
三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17.（12分）已知向量3sin(
),3sin (
),(sin ,cos ),()2
2a x x b x x f x a b π
π⎛⎫
=--==⋅ ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ； （2）在△ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边若24
C M π
+∈且1c =，求△ABC 的周长的取值范围.
18.（12分）已知数列{}n a 满足12211,4,44n n n a a a a a ++===-. （1）求证：1{2}n n a a +-是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式.
19.（12
分）四棱锥S ABCD -中，AD ∥BC ，
,BC CD ⊥060SDA SDC ∠=∠=，AD DC =11
22
BC SD =
=，E 为SD 的中点.
（1）求证：平面AEC ⊥平面ABCD ； （2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.
20.（12分）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是2
1()5004
R x x x =-
+（元）
，()P x
为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝
总利润
总产量
）.销售商从工厂每件a 元进货后又
以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.
（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （2）求乐观系数λ的值；
（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a b 与的值.
21.（12分）已知函数2
()(2),1x
f x x e ax bx x =-++=是()f x 的一个极值点. （1）若1x =是()f x 的唯一极值点，求实数a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性；
（3）若存在正数0x ，使得0()f x a <，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做第一个题目计分。

22.（10分）已知曲线1C 的极坐标方程为2
2cos sin θρθ
=，2C 的参数方程为2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.
（1）将曲线1C 与2C 的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求AB .
23.（10分）已知()211f x x x =++-.
（1）求()f x 在[]1,1-上的最大值m 及最小值n . （2）,a b R ∈，设1am bn +=，求22a b +的最小值.
2018届高三模拟 数学参考答案（理）
一、选择题
C A B C A ——
D A B C D —— B C 二、填空题 13.12-
14.4
3
15.(]4,11- 16. 2 三、解答题
17.（1）(cos 3)a x x =-，
2()sin cos f x a b x x x =⋅=-
1sin 2sin(2)23x x x π=
--=-－ ()f x ∴的最大值为3
1 ………………4分 此时22,3
2
x k π
π
π-
=+
即512
x k π
π=+
k z ∈ 5,12M x x k k z ππ⎧⎫
∴=+∈⎨⎬⎩⎭
………………6分
（2）
24C M π+∈ 52412
C k ππ
π∴+=+
23
C k π
π=+
,
(0,)C π∈ 3
C π
∴=
………………7分
1c =由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+-
22
2
2
3()()()3()44
a b a b a b ab a b ++=+-≥+-= 2a b ∴+≤ ………………10分
又
1a b +> ………………11分
故23a b c <++≤，即周长的范围为(]2,3∈. ………………12分 18.（1）由2144n n n a a a ++=-得
21112242(2)n n n n n n a a a a a a ++++-=-=- 21212(2)2()0n n n a a a a -=-=
=-≠
21
1222n n n n
a a a a +++-∴
=-
{}12n n a a +∴-是等比数列. ………………6分
（2）由（1）可得112122(2)2n n
n n a a a a -+-=-=
11
1
222
n n n n a a ++∴
-=
2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列
22
n n a n
∴= 12n n a n -=⋅. ………………12分
19.（1）
E 为SD 的中点，01
,602
AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=
.ED EC AD DC ∴===
设O 为AC 的中点，连接,EO DO 则EO AC ⊥
//,AD BC BC CD ⊥ .AD BC ∴⊥
又OD OA OC ==
EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥
AC ABCD = DO ⊂面ABCD 0AC DO =
EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC
面EAC ⊥面ABCD ………………6分
（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于
1
2
AD AD ∥BC EF ∴∥BC
不难得出CD ⊥面OEF （
EO CD ⊥ FO CD ⊥）
∴面ECD ⊥面OEF
OF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小
设AD a =，则2
a
OF =
EF = 3
os OF c EFO EF <=
= 即BC 与ECD 改成角的余弦值为
3
3
.（亦可以建系完成） ………………12分
20.依题意总利润＝2
1500100400004
x x x -+-- ＝2
1400400004
x x -
+- 21
40040000140000
4()4004x x P x x x x
-+-∴==--+
200400200.≥-+= 此时140000
4x x
=
400x =
即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 ………………6分 （2）由()b a c a λ=+-得b a
c a
λ-=
- b a -是,c b c a --的比例中项
2()()()b a c b c a ∴-=--
两边除以2
()b a -得()()1(1)
c a b a c a c a c a
b a b a b a b a
------=
=----- 11
1(1)λλ
∴=-⋅ 解得51λ-=. ………………8分 （3）厂家平均利润最大，4000040000
100()100200400400
a x P x x ∴=++=++=元 每件产品的毛利为
b a -
()1)b a c a λ∴-=-=
3)b ∴=元
400a ∴=（元），53)b =元. ………………12分
21.（1）()(1)2x
f x x e ax b '=-++，
1x =是极值点
()0f x '∴= ，故20a b +=， 2b a =-
()(1)(2)x f x x e a '=-+
1x =是唯一的极值点
20x e a ∴+≥恒成立或20x e a +≤恒成立
由20x e a +≥恒成立得2x a e ≥-，又0x e > 0a ∴≥
由20x e a +≤恒成立得2x a e ≤-，而x e -不存在最小值， 20x e a ∴+≤不可能恒成立.
0a ∴≥ ………………4分
（2）由（1）知，当0a ≥时，1x < ， ()0f x '< ； 1x > ， ()0f x '>.
()f x ∴在(,1)-∞递减，在(1,)+∞上递增.
当02
e
a -
<<时，ln(2)1a -< ln(2)x a <-，()0f x '>； ln(2)1a x -<< ， ()0f x '<； 1x >， ()0f x '>. ()f x ∴在(,ln(2))a -∞-、(1,)+∞上递增，在(ln(2),1)a -上递减。

当2
e
a <-
时，()f x 在(,1)-∞、 (ln(2),)a -+∞上递增，在(ln(2),1)a -递减。

2
e
a =-时，()f x 在R 上递增. ………………8分
（3）当0a ≥时，(1)f e a a =--<，满足题意； 当02
e
a -
<<时， (1)f e a a =--<，满足题意；
当2
e a <-时，由（2）知需(0)
f a <或(ln(2))f a a -<， 当(0)f a <时，2a >-，而(1)f e a a =-->，故存在10x >使得1()f x a =，这样1(0,]x x ∈时()f x 的值域为(2,]a -从而可知满足题意
当(ln(2))f a a -<时，得ln(2)1a -<或者ln(2)3a ->解得3
2e a <-； 当2
e a =-时，(0)2
f =-可得满足题意. ∴a 的取值范围3
2
e a <-或2a >-. ………………12分 22.（1）曲线1C 的直角坐标系的普通方程为2
2y x =
曲线2C 的直角坐标系的普通方程为4x y += ………………5分
（2）将2C 的参数方程代入1C 的方程22y x =得 222(2)2(2)-=+得： 213202
t t -= 解得120,62t t ==
12||||62AB t t ∴=-=………………10分
23.（1）131()212312
x x f x x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-⎩<- ∴[1,1]x ∈-时，max min 3()3,().2f x f x ==
………………5分 （2）3312
am bn a b +=+=
222222223(3())()14239453()924
a b a b ++∴+=≥=++ 22a b +的最小值为445
. ………………10分。