广东省江门市普通高中高一数学1月月考试题03

高一数学1月月考试题03
满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.若集合M ＝{y|y ＝2x
，x∈R}，P ＝{x|y ＝x －1}，则M∩P＝( )
(A)(1，＋∞) (B)[1，＋∞)
(C)(0，＋∞) (D)[0，＋∞)
2．下面四个命题正确的是( )
(A)第一象限角必是锐角 (B)小于90°的角是锐角
(C)若cos α＜0，则α是第二或第三象限角 (D)锐角必是第一象限角
3.下列函数在定义域上是增函数的是( )
(A)f(x)＝x 2 (B)f(x)＝x 1
(C)f(x)＝tanx (D)f(x)＝ln(1＋ x)
4．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )
A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 5.已知如图是函数y ＝2sin(ωx＋φ)(|φ|＜π2
)图像上的一段，则( )
(A)ω＝1011，φ＝π6 (B)ω＝1011，φ＝－π6
(C)ω＝2，φ＝π6 (D)ω＝2，φ＝－π6
6. 设θ是第三象限角，且|cos
θ2|＝－cos θ2，则θ2是
( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 7．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos(x 2＋3π2)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12
的交点个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
8.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝f(x ＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x －4|，则( ) (A)f(sin π6)<f(cos π6
) (B)f(sin1)>f(cos1) (C)f(cos 2π3)<f(sin 2π3
) (D)f(cos2)>f(sin2)
9．已知函数(4),0,()(4),0.x x x f x x x x +<⎧=⎨-⎩
≥则函数零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
10．如下图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，
点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( ) 第II 卷（非选择题 共100分） 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是 .
12．tan62°+tan73°-tan62°·tan73°= .
13．cos π5cos 25
π的值是________． 14. 函数f (x )＝log 0.5(3x 2
－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是
________．
15.给出下列命题：
①函数y ＝sin(5π2
－2x)是偶函数； ②函数y ＝sin(x ＋π4)在闭区间[－π2，π2
]上是增函数； ③直线x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4
)图像的一条对称轴； ④将函数y ＝cos(2x －π3)的图像向左平移π3
个单位，得到函数y ＝cos2x 的图像.其中正确的命题的序号是________.
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答
写在答题卡的制定区域内. 16.已知角α终边上一点P(－4,3)，求)2
9sin()211cos()2sin()25cos(απαπαπαπ+-+-+的值。

17．若sin(π4－α)＝－12 ，sin(π4＋β)＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2
，求 角(α＋β)的值。

18. 求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx. x ∈﹝0, π3
﹞的最大值并求出相应的x 值.
19已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2，x>0，2，x ＝0
1－2x ，x<0
(1)求f(f(－2))的值；
(2)求f(a 2＋1)(a∈R)的值；
(3)当－4≤x<3时，求函数f(x)的值域..
20. 已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ为锐角，且f(θ＋
π8)＝23，求tan2θ的值.
21.已知定义在（－∞，—1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f(3)=1;②对任意的x>2, 均
有f(x)>0,③对任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1) ⑴试求f(2)的值;
⑵证明f(x)在(1,+∞)上单调递增；
⑶是否存在实数a,使得f(cos 2θ+asin θ)<3对任意的θ （0，π）恒成立？若存在，请求
出a 的范围；若不存在，请说明理由。

参考答案
一．选择题
1.B,
2.D;
3.D;
4.B;
5.C;
6.B;
7.C;
8.D;
9.C;10.C
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置
11.2π；12。

-1：13。

41；14。

[－8，－6]；15。

①③
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.解：∵角α终边上一点P （-4，3），∴r=Іop І=
,…………（3分）
=
………………（12分）
17. 解析：∵4π＜α＜2π，-4π＜4π－α＜0，4π＜β＜2π ，2π＜4π＋β＜43π………（3分）
由已知可得cos(4π－α)＝23，cos(4π＋β)＝－21
则cos(α＋β)＝cos[(4π＋β)－(4π－α)]＝cos(4π＋β)·cos(4π－α)＋sin(4π＋
β)·sin(4π－α)＝－21×23＋23×（－21）＝－23
，…………（9分）
∵2π＜α＋β＜π ∴α＋β=65π…………（12分）
18.解：设t=sinx+cosx=sin(4π＋x),………(2分） x ∈﹝0, 3π﹞ ∴…………（5分）则
∴函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx=……（8分）
∴函数f(x)在（1，）单调递增，∴当t=，t=sinx+cosx=sin(4π＋x)时函数f(x)有最大值+21……
（10分） 此时，t=sinx+cosx=sin(4π＋x)=，x=4π……………（12分）
19.【解析】(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5，
∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52
＝－21.………………（3分）
(2)∵当a ∈R 时，a 2＋1≥1>0，
∴f(a 2＋1)＝4－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋3(a ∈R).…………（7分）
(3)①当－4≤x<0时，
∵f(x)＝1－2x ，∴1<f(x)≤9.
②当x ＝0时，f(0)＝2.
③当0<x<3时，∵f(x)＝4－x 2，∴－5<f(x)<4.
故当－4≤x<3时，函数f(x)的值域是(－5,9].…………（12分）
20.【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x
＝sin2x ＋cos2x
＝(22sin2x ＋22cos2x)
＝sin(2x ＋4π).
∴f(x)的最小正周期为22π＝π，最大值为.…………（6分）
(2)∵f(θ＋8π)＝32， ∴sin(2θ＋2π)＝32. ∴cos2θ＝31.
∵θ为锐角，即0＜θ＜2π，∴0＜2θ＜π.
∴sin2θ＝＝32.
∴tan2θ＝cos2θsin2θ＝2.…………（13分）
21. 解：1）令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)
2) 任取X 1>1，X 2>1，X 2>X 1，则有 从而，
即
∴f(x)在（1，+∞）上单调递增……………（8分）
3）因为f(x)为奇函数，且在（1，+∞）上单调递增，令X=Y=2，得f （5）=f （3）+f
（3）=2，再令X=2，Y=4，得f(9)=f(3)+f(5)=3, 由因为f(x)为奇函数，所以,于是f(x)<3的解集为；
（-∞，-）∪（1，9），于是问题转化为是否存在实数a,使
对任意的θ∈（0，π）恒成立，令sin
θ=t,则t ∈(0,1]于是恒成立等价于恒成立.即恒成立，当t →0时，，故不存在实数a 使
对任意的
θ∈（0，π）恒成立.
1<cos 2θ+asin θ<9恒成立等价于恒成立，得a>1,
t2-at+8>0,t∈(0,1]等价于，在（0，1]单
调递减，于是g(t)min=9,故a<9 于是存在a∈(1,9)使1<cos2θ+asinθ<9 对任意的θ∈（0，π）恒成立.
综上知，存在实数a∈(1,9),使得对任意的θ∈（0，π）恒成立.………（14分）。