(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ） A ．122a b c +=
B ．824b a c -=
C ．228b c =
D ．629a b c =
2．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039
B ．4040
C ．4041
D ．4042
3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若
11
n n S n T n -=+．则5
5
a b =（ ） A ．
23
B ．
45
C ．
32
D ．
54
4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令
2
1
n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实
数λ的取值范围是（ ） A ．13
λ≥
B ．15
λ>
C ．15
λ≥
D ．0λ>
5．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列
C ．可能为等差数列，但不会为等比数列
D ．可能为等比数列，但不会为等差数列
6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2
B ．-4
C ．2或-4
D ．4
7．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列1
1
{}n n a a +的前n 项和为（ ）
A ．
11
n + B ．
1
n n + C ．
1
n n
- D ．
1
1
n n -+ 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10S
B ．11S
C ．20S
D ．21S
10．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-
D ．6236n n S n =⨯--
11．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，24627
8
a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45
B ．75
C ．90
D ．95
二、填空题
13．在数列{}n a 中，已知11a =，()()122122n n n a a a a a n --=++
++≥，则
n a =____________．
14．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为__________．
15．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：
①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.
其中所有正确结论的序号是____________． 16．已知数列{}n a 与{}n b 满足11222n n a a a +++
+=-，1(1)(1)
n
n n n a b a a +=
--，数列
{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.
17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*32n n n S n +=∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项和为______．
18．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2
2n n n S a a =+，
1
121
(2)(2)
n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．
19．已知函数()331
x
x f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则
()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．
20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2
*1
44n n
a x x n N a +≤
≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n n
a -=；
④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和2122
3
n n S +-=.
三、解答题
21．设数列{}n a 满足
()*
12
222
2
n n a a a n n +++
=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列21n n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
22．已知数列{}n a 满足：*
111,21,n n a a a n n N +=-=-∈
（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设21
,n n n n b S a n
+=
+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 23．已知数列{}n a 的前n 项和是2
n S n =.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=
，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得2020
2021
n T >的最小正整数n ． 24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，
112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345
,,4
b b b 成 等差数列，
②1
2n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下
面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且
()()*612,n n n S a a n =++∈N .
（1）求{}n a 的通项公式： （2）设数列{}n b 满足,2n n n
a n
b n ⎧=⎨
⎩
是奇数
，是偶数，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T . 26．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，121a b ==，再从
①2410a a +=；②244b b =；③45b a =这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案. 【详解】
根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-， 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，
数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，
对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误； 对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；
对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.
2．B
解析：B 【分析】
由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．
【详解】
∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，
又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()
2020()02
a a S a a +=
=+>，
14041404120214041()
404102
a a S a +=
=<，
∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】
关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.
3．B
解析：B 【分析】
本题首先可令9n =，得出
994
5S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入
994
5
S T =中，即可得出结果. 【详解】 因为
1
1
n n S n T n -=+，所以
99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +=
=，()1995992
b b T b +==， 则95959459S a T b ==，
554
5
a b =， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及
等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()
12
n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.
4．A
解析：A 【分析】
根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得
n a ，进而可得211111
()(21)(23)42123
n n n b a a n n n n +=
==--+-+，利用裂项相消法即可
求得n T 的表达式，分析即可得答案. 【详解】
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅ 所以2
141214()
()[
]2
a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+ 解得11a =，所以*
12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，
所以211111
()(21)(23)42123
n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以
1111111111(1+++)45375923212123
n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=
11111111(1)()432123342123
n n n n +--=-+++++， 因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立， 所以
111()042123n n +>++，即1
3
n T <， 所以1
3
λ≥. 故选：A
【点睛】
解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
5．C
解析：C 【分析】
根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列.
【详解】
解：13n n a S +=，
13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，
若10S =，则数列{}n a 为等差数列；
若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，1
14n n S S -∴=⋅，
此时2
1134
n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.
综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.
6．B
解析：B 【分析】
利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】
∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，
2342S S S =+，12a =，
∴()()()34212122211q q q q
q
--+=
+
--，解得2q =-，
∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．B
解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 8．B
解析：B 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .
∵55a =，836S = ∴11
45
82836a d a d +=⎧⎨
+=⎩
∴111a d =⎧⎨=⎩
∴n a n =，则11111
(1)1
+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和为1111111111122334111n
n n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）
1
k
=； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()11122n n n =++ ()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的
问题，导致计算结果错误.
9．C
解析：C 【解析】
分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．
详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，
则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，
又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．
点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．
10．D
解析：D 【分析】
利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】
因为23n n S a n =-①，
当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，
①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，
所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，
所以1362n n a -+=⨯，所以1
623n n a -=⨯-，
所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，
()11263623612
n n n S n n ⨯-=⨯
-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】
先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】
{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，3246427
8
a a a a =
=， 33a ∴=，432
a =
，431
2a q a ∴==，112a =，543·
14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
12．B
解析：B 【分析】
结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程11
54
19199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得
112
32d a ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】
解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：
115419199114a d a d +=⎧⎨
+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112
32d a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 所以()151151513145105
1515157752222
S a d -+=+=⨯+⨯⨯==.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能
力，是基础题.
二、填空题
13．【分析】（1）直接根据已知条件得到即进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】∵∴数列是以为首项以3为公比的等比数列当时不适合上式数列的通项公式为故答案为：
解析：2
1(1)
23(2).n n n -=⎧⎨⋅⎩
【分析】
（1）直接根据已知条件得到112n n n S S S ---=，即
1
3n
n S S -=，进而求出数列{}n S 的通项公式；再根据前n 项和与通项之间的关系即可求出数列{}n a 的通项公式； 【详解】
∵()()122122n n n a a a a a n --=++++≥，
∴112n n n S S S ---=，∴
1
3n
n S S -=， ∴数列{}n S 是以111S a ==为首项，以3为公比的等比数列，
13n n S -∴=．当2n 时，12213323n n n n n n a S S ----=-=-=⋅．
11a =不适合上式，
∴数列的通项公式为2
1(1)
23(2).n n n a n -=⎧=⎨
⋅⎩
故答案为：2
1(1)
23(2).n n n -=⎧⎨⋅⎩
【点睛】
本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.
14．110【分析】根据题意求出首项再代入求和即可得【详解】是与的等比中项解得故答案为：110【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及等差数列求和是基础题
解析：110 【分析】
根据题意，求出首项120a =，再代入求和即可得． 【详解】
31124a a d a =+=-，711612a a d a =+=-，911816a a d a =+=-，
7a 是3a 与9a 的等比中项，
()()2111(12)416a a a ∴-=--，
解得120a =，
()101
102010921102
S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=．
故答案为：110． 【点睛】
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．
15．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最
解析：①②③④ 【解析】
由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝2
50a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝2
50a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.
16．【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为：1【点睛】方法点睛：本题主要考查
解析：1
【分析】
由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值． 【详解】 ∵11222n n a a a +++
+=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，
两式相减得1222n n n
n a +=-=，
又21222a =-=，所以*n N ∈，有2n
n a =，
从而11211
(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，
1222311
1111
1212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11121
n +=-
-，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．
故答案为：1． 【点睛】
方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法．
17．【分析】根据可求得的通项公式经检验满足上式所以可得代入所求利用裂项相消法求和即可得答案【详解】因为所以所以又满足上式所以所以所以数列的前10项和为故答案为：【点睛】解题的关键是根据求得的通项公式易错 解析：
532
【分析】
根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得n a 的通项公式，经检验，112a S ==满足上式，所以可得n a ，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】
因为()2*
32n n n S n +=∈N ，所以2213(1)1352(2)22n n n n n S n --+--+=
=≥， 所以2213352
31,(2)22
n n n n n n n a S S n n -+-+=---≥==，
又11311
22
a S ⨯+=
==满足上式， 所以(
)*
31,n a n n N
=-∈，
所以111111(31)(32)3313+2n n a a n n n n +⎛⎫
== ⎪-+-⎝⎭
-， 所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和为
11111111115325582932323232
⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：5
32
【点睛】
解题的关键是根据1(2)n n n a S S n -=-≥，求得n a 的通项公式，易错点为，若11a S =满足上式，则写成一个通项公式的形式，若11a S =不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.
18．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是
解析：1
3
【分析】
首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】
当1n =时，2
111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，
0n a >，11a ∴=，
当2n ≥，2
2
11122n n n
n n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()22
1112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，
整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，
()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-
++++++，
2231
111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1112121
n n +=
-+++ 111321
n n +=
-++，
数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13
n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，
()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是1
3
.
故答案为：1
3
【点睛】
易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
19．【解析】试题分析：因为所以因为数列是等比数列所以即设①又＋…＋②①+②得所以考点：1等比数列的性质；2对数的运算；3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等 解析：
992
【解析】
试题分析：因为3()31
x x f x =+，所以33()()13131x x
x x f x f x --+-=+=++．因为数列{}
n a 是等比数列，所以2
1992984951501a a a a a a a ==
===，即
1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设
9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =+++
+ ①，又
99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以
9999
2
=
S ． 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．
【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．
20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故
解析：②③④
【分析】
由题意可得，存在x ∈R ，使2
44x x -，求得x 值，可得
1
4n n
a a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案． 【详解】
解：由存在x ∈R ，使得不等式2
*1
44()n n
a x
x n N a +-∈成立， 得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．
∴
1
4n n
a a +=． 则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确； 若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；
若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22
143
n n n S +⨯--==-，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法，属于中档题．
三、解答题
21．（1）2n
n a =；（2）23
32n n
n T +=-
. 【分析】 （1）当2n ≥时，
1
12
2
1
1222
n n a a a n --+++
=-与已知条件两式相减可得2n n a =，再令1n =，计算1a 即可求解；
（2）由（1）得2n
n a =，所以
222
11
n n n n a --=，再利用乘公比错位相见即可求和. 【详解】
（1）数列{}n a 满足12
2222
n n a a a n +++= 当2n ≥时，11221
1222
n n a a a n --+++=- 两式作差有
12
n n
a =，所以2n
n a = 当1n =时，12a =，上式也成立
所以2n
n a =
（2）222
11
n n n n a --= 则2
11113(21)222n
n T n ⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
2
3
1
111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
()()()2
3
1
1111111111111131421221221231222222222212
n
n n n n n T n n n ++-+⎛⎫
- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎝⎭=⨯+++⋯+--⨯=+⨯--=-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦-
所以23
32n n
n T +=-. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
22．（1）证明见解析，2n
n a n =-；（2）()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+
⎪⎝⎭
. 【分析】 （1）根据条件可得
11211
2n n n n a n a n n a n a n
++++-++==++，从而可证，所以数列{}n a n +是
首项为2，公比为2的等比数列，得出答案. （2）由题意可得2121
2
n n n n n b a n ++==+，由错位相减法可得答案. 【详解】
（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-
11211
2n n n n a n a n n a n a n
++++-++∴
==++
即公比12,12q a =+=
∴数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；
2n n a n ∴+=
（2）由题意，2121
2
n n n n n b a n ++=
=+ 所以12312335721
2222
n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅+=
+++⋅⋅⋅+.........① 234113572121 (222222)
n n n n n S +--=+++++………② 由①－②，得
12323411357
2135721212222222222n n n n n n n S ++-+⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
23413111
121
2?··2222
22
n n n ++⎛⎫=
+++++- ⎪⎝⎭ ()1
111122121512251222212
n
n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯
-=-+⋅ ⎪⎝⎭
- 从而()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭
【点睛】
关键点睛：本题考查由递推公式求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是根据2121
2
n n n n n b a n ++=
=+得出求和的方法，利用错位相减法求和时计算要仔细，考查运算能力，属于中档题.
23．（1）21n a n =-；（2）1011. 【分析】
（1）利用1n n n a S S -=-可得答案； （2）求出11
2121
n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】 （1）111a S ==，
当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-，
1a 符合上式，
所以21n a n =-． （2）()()
2
11
21212121
n b n n n n =
=
--+-+，
∴111111
11335
212121
n T n n n =-+-++
-=--++， 令12020
1212021
n -
>+，解得1010n >， 所以最小正整数n 为1011. 【点睛】
数列求和的方法技巧：
（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．条件选择见解析；（1）n a n =，2n n b =；（2）21
2222
n n n n T +=-++.
【分析】
选①，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公
比，从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n
n n a b n +=+，利用分组
求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.
选②，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式，利用
1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n n n a b n +=+，利用分组求和法，
结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.
由题意知132452,24b b b b ⎛⎫
=⋅=+
⎪⎝⎭
，得324522b b b =+， 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+，即22520q q -+=，
解得2q
，或12q =
，由数列{}n b 为递增等比数列可知1
2
q =不合题意， 所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.
1222n n n b -∴=⨯=
（2）由（1）知2n
n n a b n +=+，
()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+，
()212(1)212n
n n n T -+∴=+
-
21
2
222
n n n n T +∴=-++.
选②解：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.
令1n =，则11
1112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-，
122n n S +∴=-
当2n ≥时，(
)()1
122222n n n n n n b S S +-=-=---=
当1n =时，12b =也满足上式.
2n n b =
（2）由（1）知2n
n n a b n +=+，
()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++，
()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212n
n n n T -+∴=+
-
21
2
222
n n n n T +∴=-++.
【点睛】
方法点睛：利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
25．（1）31n a n =-；（2）12244
33
n n T n n +-=+-.
【分析】
（1）令1n =，结合111a S =>可得12a =，由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，两式相减可得13n n a a +-=即可求{}n a 的通项公式；
（2）24221321()(222)n
n n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，利用分组并项求和，以及等差和等
比数列求和公式即可求解. 【详解】 （1）由()()11111
126
a S a a ==
++，即()()11210a a --=，
因为111a S =>，所以12a =， 由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，
两式相减可得()()()()11161212n n n n n a a a a a +++=++-++， 得()()1130n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，得13n n a a +-=，
所以{}n a 是首项为2公差为3的等差数列， 故{}n a 的通项公式为31n a n =-.
（2）24221321()(222)n
n n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
()242(28146222)4n n ++⋅⋅⋅+=++++-+
12(264)4(14)4432143
n n n n n n ++---=+=+--.
【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
26．答案见解析 【分析】
（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得{}n a 的通项公式. （2）利用公式法可求数列{}n b 的前n 项和. 【详解】
解：选择条件①和条件②
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴124
11,
2410.a a a a d =⎧⎨
+=+=⎩
解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-，*N n ∈.
（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，
∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩解得112b =，2q .
设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1112122122
n n n S --==--. 选择条件①和条件③：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴124
11,2410.a a a a d =⎧⎨+=+=⎩ 解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-.
（2）459b a ==，设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >.
∴21341
1,9.b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得113b =，3q =. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1113313136
n n n S ---==-. 选择条件②和条件③：
（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，
∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩，解得112b =，2q ，5431242
a b =⨯==. 设等差数列{}n a 的公差为d ，∴5144a a d =+=，又11a =，故34d =
. ∴()33111444
n a n n =+-⨯=+. （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，
由（1）可知()1112122122
n n n S --==--. 【点睛】
方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．。