第三章可修复系统的可靠性课件

...
Pnn
如果系统的初始状态是ei，经过n次转移后处于ej 的概率是此转移期间所有通道v的概率和，记作：
Pijn Piv Pvjn1
v
设以 Pijn 为元素组成的矩阵为 Pn 以 Pij1 为元素组成的矩阵为 P
则： Pn Pn
可靠性设计
例3－1
1 2
已知e1，e2，e3三个状态，其状态转移图 如图所示。初始状态为E(0)=(1,0,0),求由e1 出发至第二步转移后各状态的概率。
XP X
四、吸收状态的平均转移次数（或平均时间）可 靠 性 设 计
吸收状态：
当转移过程达到某一状态，再也不能向其 他状态转移时，称此状态为吸收状态。
要求在吸收状态时由ei转移到ej所需的平均转移 次数，须先求出M矩阵。
m11 m12 ... m1k
M
I
Q1
m21
m22
...
m2k
ml1
4 8
P132
P11P131
P12 P231
P13 P331
10 2
1 2
1 4
0
1 2
1 8
三、极限概率及各态历经性
E(n) E(0)Pn
可靠性设计
例3－2 某设备状态转移图如图所示，如初始状态向量
E0 1 0 ，求各次转移后设备所处的状态。
解： 其转移矩阵为：
1/2
1 1
P
2
2
2 3
5 5
1
4
3
2 2 2 2 8 8 8
方法二
Pijn Piv Pvjn1
v
可靠性设计
该题目中，v=1，2，3；n=2。
P112
P11P111
P12 P211
P13 P311
1 2
1 2
1 2
1 4
00
3 8
P122
P11P121
P12 P221
P13P321
1 2
1 2
1 2
1 2
0
1 2
1 1 1
j 1 k
m2 j
j 1
k
mlj
j 1
例3－5
可靠性设计
三个状态的状态转移图如图所示，其中e1为 正常状态，e2为故障状态（可修复），e3为吸收 状态，失效后不再修理了。求达到吸收状态时平
均转移次数及各状态的停留次数。
1
1
2
1
2
2
e1
e2
1 4
1
e3
1
解：
4
一经决定，转移到时刻
tn的状态
X (t ) n
的条件概率为：
P X (tn) / X (tn1) P X (tn) / X (t1), X (t2),..., X (tn1)
二、转移矩阵
有一台机器，运行到某一时刻t时，可能有的状态 有e1（正常运行）及e2（发生故障）。
假设处于e1状态的概率为4/5，维修度为3/5。则：
如果由一个状态转移到另一个状态的转移概率只与现 在所处状态有关，而与这一状态以前各状态完全无关， 这样的马尔柯夫过程称为一步马尔柯夫过程。
如果已知时间
t ,t ,t ,...,t
1 2 3 n1
对应所处状态为
X (t ), X (t ),..., X (t )
1
2
n 1
只要前一个状态
可靠性设计
X (t ) n 1
处于e1状态的概率：
P11
R(t)
4 5
可靠性设计
由e1向e2转移的概率：
P12
F (t )
1
R(t)
1
4 5
1 5
由e2向e1转移的概率：
P21
M
(
)
3 5
处于e2状态的概率： P22
1
M ( )
1
3 5
2 5
两状态转移图为：
1/5
4/5 e1
2/5 e2
3/5
转移矩阵：
4 1
P
P11
P21
可靠性设计
X(t)=1 全部单元正常，系统正常
X(t)=2 任一单元故障，系统故障
瞬时有效度:
At n ent
n n
稳态有效度:
A
n
故障为吸收状态时，系统可靠度及平均无故障工作时间：
Rs (t) ent
s
1
n
2、n个不同单元，一组维修工情况
可靠性设计
每个单元的故障率分别为：
可靠性设计
3、写出每一状态在时刻t+△t时的概率 利用全概率公式得：
P1 t t P1 t P11 t P2 t P21 t 1 t P1 t tt P2 t
P2 t t P1 t P12 t P2 t P22 t tP1 t 1 tt P2 t
4、将以上公式列出微分方程组
ml 2
...
mlk
I－－单位矩阵；
Q－－由转移矩阵P中去掉吸收状态的行和列后的子矩阵。
可靠性设计
k
从状态ei出发到达吸收状态的平均转移次数为： mij j 1 用矩阵表示为：
k
m1
j
m11 MC m21
ml1
m12 m22
ml 2
... ...
...
m1k
m2k
mlk
可靠性设计
发生一个以上故 障的概率，高阶 无穷小，表示基 本不会发生一个
以上的故障
P12 t P X t t 0 X t 1 t 0t
P21 t P X t t 1 X t 0 t 0t
P22 t P X t t 0 X t 0 1 t 0t
1/2 e1
2/5
3/5 e2
当n=1时
可靠性设计
1 1
E 1 E 0 P 1
0
2
2
2 3
1 2
1 2
5 5
当n=2时
1 1
E
2
E
0
P2
E
1
P
1 2
1 2
2 2
2 3
9 20
11 20
5 5
以此类推，可得：
n次转移概率
可靠性设计
转移步数 0 1 2 3 4
At et
当t→∞时，即可得系统的稳态有效度。
A
当故障状态为吸收状态时，系统的可靠度？
可靠性设计
第三节 串联可修复系统的有效度
一、n个相同单元、一组维修工情况
...
1
2
n
...
1
2
n
系统状态转移图： 1－nλ△t
e1
nλ△t
1－μ△t
e2
μ△t
系统只有两状态：
MC
4 2
4 4
1 1
8 6
可靠性设计
可靠性设计
第二节 单部件可修复系统的有效度
假设： 1.系统由一个单元和一组维修人员组成； 2.组成系统单元的寿命和维修时间均服从指数分布；
方法步骤： 1、明确空间状态（弄清维修系统的所有状态）
简单系统，任一时刻只可能有两种状态 。
可靠性设计
λ△t
1－λ△t
1－μ△t
P1 t P1 t P2 t
P1 t 1- P2 t
P2 t P1 t P2 t
dy P( x) y Q( x).
解微分方程组，得：
dx
y e P( x)dx ( Q( x)e P( x)dxdx C )
P1
t
e t
可靠性设计
由于P1(t)是系统处于工作状态的概率，也就是 系统的瞬时有效度A(t)。
是以一定的概率来实现的，此概率称为转移概率。
可靠性设计
★马尔柯夫过程：
转移概率只需考虑过去有限次之内状态情况，而与
这有限次以前的状态无关，这样的随机过程称为马尔柯
夫过程。
只要已知系统开始工作时的状态，就可以确定以后任意时 刻，系统处于可工作状态的概率，而与以前的状态无关。
★一步马尔柯夫过程：
可用于在任务期间部件的寿命和修复时间 均服从指数分布的系统可靠度的描述。
可靠性设计
4 5
Pn
9
9
4 5
9 9
（3）稳定状态极限概率于初始状态无关。
如果初始状态为 E0 0 1 ，n次转移的概率为：
转移步数 0 e1（正常状态）0 e2（故障状态）1
123 4
5
…
0.4 0.44 0.444 0.4444 0.44444 …
0.6 0.56 0.556 0.5556 0.55556 …
第一节 马尔柯夫过程
可靠性设计
一、基本概念
随机事件的变化过程，它无法用确 定性的形式来描述。
在使用期间可以修复的复杂系统，由系统部件的可靠性和维修性决定了系 统在任务期间的某一时刻，系统可能随机地处于某种状态
正常状态
故障状态或修理状态
S
也可能不转移 （无故障）
故障 修复
F
未修复
可靠性设计
假如系统完全由定义为“状态”的变量的取值来描述，则：
P12 P22
5 3
5
2
5 5
可靠性设计
一般形式： 设可能发生的状态有e1，e2，e3，…，en，在事
件ei发生后，事件ej发生的条件概率为Pij，其转移 矩阵为：
可靠性设计
P11 P12 ... P1n
P
P21
P22
...
P2n
... ... ... ...
Pn1
Pn2
5
…
e1（正常状态）1 e2（故障状态）0
0.5 0.45 0.445 0.4445 0.44445 … 0.5 0.55 0.555 0.5555 0.55555 …
结论：（1）随着转移步数的增加，状态趋于稳定。 稳定状态的概率称为极限概率。
（2）当n趋于无穷大时，n步转移矩阵Pn将 收敛于一个概率矩阵。
可靠性设计
任何马尔柯夫转移矩阵，它的极限概率 各态历经性： 与初始状态无关，称之为各态历经性，
这样的状态转移矩阵称为遍历矩阵。
遍历矩阵经n次转移后达到稳定状态，在这种情
况下，其整体状态变量可用行向量X表示。在经过转
移后，转移矩阵已经稳定（收敛），因此，即使再转 移下去，它的状态概率也不会变了。所以可以写出：
（1）其转移概率矩阵P：
可靠性设计
1
2
1 2
0
P
1 4
1 21 40来自01其中P33＝1表示吸收状态，故
1 1
Q
2
2
1 1
4 2
（2）基本矩阵M：
M (I Q)1 10
1
0 1
2 1
4
1 1 1
2
2
1 2
1 4
1 2 1
1
4 2
2
4 4
（3）平均转移次数：
n
Rs (t)
est
it e i1
n
e i t
i 1
s
1
s
1
1
2
1
4
1
2
2
e1
e2
e3
1 1
2 4
解：方法一 该状态转移图的转移矩阵：
可靠性设计
1
2
1 2
0
P
1 4
1 2
1 4
0
1
1
2 2
1
2
1 2
0
1 2
1 2
0
33 88
4 8
11 88
则：
P2
P2
1 4
1 2
11 44
1 2
1 4
2 8
4 8
2 8
0
1
1
0
1
1
(i 1,2,3,...,n) i
每个单元修复率分别为：
(i 1,2,...,n) i
n个不同单元串联状态转移图
可靠性设计
在t~t+△t时间内的微系数转移矩阵为：
工程上关心的是稳态有效度A(∞).
A()
1
1
1 ...
n
1
n
系统的失效率为：
n
s i i 1
可靠性设计
故障为吸收状态时，系统可靠度及平均无故障工作时间：
e1
e2
μ△t
2、写出状态转移概率
连续型马尔柯夫过程，状态转移是在t～t+△t的一 个极小区间△t内完成的。
其马尔柯夫链的微系数矩阵为：
P（△t）=
1 t
t
t
1
t
P1 t PX t 1 P2 t PX t 0
表示系统处 于正常状态
表示系统 处于故障
状态
△t时间内各转移概率为：
P11 t P X t t 1 X t 1 1 t 0t
可用一组随机变量X(t)来描述。
X
(t)
1 20
状态转移：
表示时刻t系统正常 表示时刻t系统故障
状态转移是个随机过程，要 用系统在各种状态下的概率来 描述，是一个典型的时间连续 和状态离散的随机过程。
描述系统的变量从一个状态的特定值变 化到另一个状态的特定值，则说系统实 现了状态的转移。
转移概率： 由一种状态向另一种状态转移是随机的，