(小学奥数)容斥原理之重叠问题(二)

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；
2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．
一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．
包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集A
B 的元素的個數，可分以下兩步進行：
第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；
第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C A
B =(意思是“排除”了重
複計算的元素個數)．
二、三量重疊問題
A 類、
B 類與
C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：
教學目標
知識要點
7-7-2.容斥原理之重疊問題（二）
1．先包含——A B +
重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；
2．再排除——A B A B +-
把多加了1次的重疊部分A B 減去．
在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．
模組一、三量重疊問題
【例 1】 一棟居民樓裏的住戶每戶都訂了2份不同的報紙。

如果該居民樓的住戶只
訂了甲、乙、丙三種報紙，其中甲報30份，乙報34份，丙報40份，那麼既訂乙報又訂丙報的有___________戶。

【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】填空
【關鍵字】希望杯，4年級，1試
【解析】 總共有（30＋34＋40）÷2＝52戶居民，訂丙和乙的有52－30＝22戶。

【答案】22戶
【例 2】 某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有
34人，手中有黃旗的共有26人，手中有藍旗的共有18人．其中手中有紅、黃、藍三種小旗的有6人．而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍兩種小旗的有3人，那麼這個班共有多少人？
【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】解答
C B A
【解析】 如圖，用A 圓表示手中有紅旗的，B 圓表示手中有黃旗的，C 圓表示手中有
藍旗的．如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍旗的相加，發現手中只有例題精講
圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，
大圓表示C 的元素的個數．
1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
紅、黃兩種小旗的各重複計算了一次，應減去，手中有三種顏色小旗的重複計算了二次，也應減去，那麼，全班人數為：342618943++-++-（）（） 6250⨯=(人)．
【答案】50人
【巩固】 某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛
打籃球又愛踢足球，4人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好．問：既愛打籃球又愛打排球的有幾人？
【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 由於全班42人沒有一個人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有
42人．
根據包含排除法，4226171994=++-++（）（既愛打籃球又愛打排球的人數0+），得到既愛打籃球又愛打排球的人數為：49427-=(人)．
【答案】7人
【例 3】 四年級一班有46名學生參加3項課外活動．其中有24人參加了數學小
組，20人參加了語文小組，參加文藝小組的人數是既參加數學小組也參加文藝小組人數的3．5倍，又是3項活動都參加人數的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數相當於3項都參加的人數的2倍，既參加數學小組又參加語文小組的有10人．求參加文藝小組的人數．
【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 設參加數學小組的學生組成集合A ，參加語文小組的學生組成集合B ，參加
文藝小組的學生組成集合G ．三者都參加的學生有z 人．有A B C =46，A =24，B =20，C =3.5，A C =7A B C ，B C =2A B C ，A B =10． 因為A B C A B C A B A C B C A B C =++---+，
所以46=24+20+7x -10-2x -2x +x ，解得x =3，
即三者的都參加的有3人．那麼參加文藝小組的有3⨯7=21人．
【答案】21人
【巩固】 五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至少參加一項．其中有25人
參加自然興趣小組，35人參加美術興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術興趣小組的有12人，參加自然同時又參加美術興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術、自然3科興趣小組都參加的有4人．求這個班的學生人數．
【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答
C语文B美术
A自然
【解析】設參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人組成集合C．
A=25，B=35，C=27，B C=12，A B=8，A C=9，A B C=4.
A B C=A B C A B A C B C A B C
++---+.
所以，這個班中至少參加一項活動的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個班每人至少參加一項．即這個班有62人．
【答案】62人
【巩固】光明小學組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的有42人，參加中國象棋比賽的有55人，參加國際象棋
比賽的有33人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的有18人，同時參加
了圍棋和國際象棋比賽的有10人，同時參加了中國象棋和國際象棋比
賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問參加棋類比賽的共有多
少人？
【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答
【解析】根據包含排除法，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國象棋比賽的55人與參加國際象棋比賽的33人加起來，共是425533130
++=人．把重複加一遍同時參加圍棋和中國象棋的18人，同時參加圍棋和國際象棋的10人與同時參加中國象棋和國際象棋的9人減去，但是，同時參加了三種棋賽的5人被加了3次，又被減了3次，其實並未計算在內，應當補上，實際上參加棋類比賽的共有：130********
-+++=
（）(人)．
或者根據學過的公式：A B C A B C A B B C A C A B C
=++---+，參加棋類比賽的總人數為：42553318109598
++---+=(人)．
【答案】98人
【例 4】新年聯歡會上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節目的演出．如果只參加跳舞的人數三倍於只參加合唱的人數；同時參加三種節目的人比
只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時參加演奏、跳舞但沒有參加
合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時參加了跳舞和合唱但沒
有參加演奏；40人參加了合唱；那麼，同時參加了演奏、合唱但沒有參
加跳舞的有________人．
【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】填空
【關鍵字】西城實驗
【解析】設只參加合唱的有x人，那麼只參加跳舞的人數為3x，由50人沒有參加演奏、10人同時參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數和為501040
x=，所以只參加合唱的有10
-=人，即340
+=，得10
x x
人，那麼只參加跳舞的人數為30人，又由“同時參加三種節目的人比只參加合唱的人少7人”，得到同時參加三項的有3人，所以參加了合唱的人中“同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”有：401010317
---=人．
【答案】17人
【巩固】六年級100名同學，每人至少愛好體育、文藝和科學三項中的一項．其中，愛好體育的55人，愛好文藝的56人，愛好科學的51人，三項都愛好的
15人，只愛好體育和科學的4人，只愛好體育和文藝的17人．問：有多
少人只愛好科學和文藝兩項？只愛好體育的有多少人？
【考點】三量重疊問題【難度】3星【題型】解答
【解析】只是A類和B類的元素個數，有別於容斥原理Ⅱ中的既是A類又是B類的元數個數．依題意，畫圖如下．設只愛好科學和文藝兩項的有x人．由容斥原理，列方程得55565117154151515100
（）（）（）
x
++-+-+-++=
即555651174152100
++----⨯=
x
-=
x
111100
---=(人)．
x=只愛好體育的有：551715419
11
【答案】11人只愛好科學和文藝，19人只愛好體育。

【例 5】在某個風和日麗的日子，10個同學相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中6個人帶了漢堡，6個人帶了雞腿，4個人帶了芝士蛋糕，有3個人既帶了
漢堡又帶了雞腿，1個人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕．2個人既帶了漢堡又
帶了芝土蛋糕．問：
⑴三種都帶了的有幾人？
⑵只帶了一種的有幾個？
【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答
A
B
C
【解析】如圖，用A圓表示帶漢堡的人，B圓表示帶雞腿的人，C圓表示帶芝士蛋糕的人．
⑴根據包含排除法，總人數=（帶漢堡的人數+帶雞腿的人數+帶芝士蛋糕
的人數-）（帶漢堡、雞腿的人數+帶漢堡、芝士蛋糕的人數+帶雞腿、芝
士蛋糕的人數+）三種都帶了的人數，即10664321
（）（）三種都帶了
-++-+++
的人數，得三種都帶了的人數為：10100
-=(人)．
⑵求只帶一種的人數，只需從10人中減去帶了兩種的人數，即
（）(人)．只帶了一種的有4人．
103214
-++=
【答案】（1）0人，（2）4人
【巩固】盛夏的一天，有10個同學去冷飲店，向服務員交了一份需要冷飲的統計表：要可樂、雪碧、橙汁的各有5人；可樂、雪碧都要的有3人；可樂、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三樣都要的只有1人，證明其中一定有1人這三種飲料都沒有要．
【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答
【解析】略
【答案】根據根據包含排除法，至少要了一種飲料的人數=(要可樂的人數+要雪碧的人數+要橙汁的人數)-(要可樂、雪碧的人數+要可樂、橙汁的人數+要
雪碧、橙汁的人數)+三種都要的人數，即至少要了一種飲料的人數為：
（）（）(人)．1091
-=(人)，所以其中有1人這三種飲料都沒有++-+++=
55532219
要．
【例 6】全班有25個學生，其中17人會騎自行車，13人會游泳，8人會滑冰，這三個運動專案沒有人全會，至少會這三項運動之一的學生數學成績都及格
了，但又都不是優秀．若全班有6個人數學不及格，那麼，⑴數學成績優
秀的有幾個學生？
⑵有幾個人既會游泳，又會滑冰？
【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答
【解析】⑴有6個數學不及格，那麼及格的有：25619
-=(人)，即最多不會超過19人會這三項運動之一．而又因為沒人全會這三項運動，那麼，最少也會有：
17138219
（）(人)至少會這三項運動之一．於是，至少會三項運動之一的++÷=
只能是19人，而這19人又不是優秀，說明全班25人中除了19人外，剩下的6
名不及格，所以沒有數學成績優秀的．
⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都會兩項運動：會騎車的一定有一
部分會游泳，一部分會滑冰；會游泳的人中若不會騎車就一定會滑冰，
而會滑冰的人中若不會騎車就一定會游泳，但既會游泳又會滑冰的人一
定不會騎自行車．所以，全班有19172
-=(人)既會游泳又會滑冰．
【答案】（1）0人，（2）2人
【巩固】五年級一班共有36人，每人參加一個興趣小組，共有A、B、C、D、E 五個小組，若參加A組的有15人，參加B組的人數僅次於A組，參加C組、D
組的人數相同，參加E組的人數最少，只有4人．那麼，參加B組的有_______
人．
【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】填空
【解析】參加B，C，D三組的總人數是3615417
--=(人)，C，D每組至少5人，當C，
--=(人)．D每組6人時，B組為5人，不符合題意，所以參加B組的有17557
【答案】7人
【例 7】五一班有28位同學，每人至少參加數學、語文、自然課外小組中的一個．其中僅參加數學與語文小組的人數等於僅參加數學小組的人數，沒有同學僅
參加語文或僅參加自然小組，恰有6個同學參加數學與自然小組但不參加
語文小組，僅參加語文與自然小組的人數是3個小組全參加的人數的5倍，並且知道3個小組全參加的人數是一個不為0的偶數，那麼僅參加數學和
語文小組的人有多少人？
【考點】三量重疊問題【難度】4星【題型】解答
【解析】參加3個小組的人數是一個不為0的偶數，如果該數大於或等於4，那麼僅參加語文與自然小組的人數則大於等於20，而僅參加數學與自然
小組的人有6個，這樣至少應有30人，與題意矛盾，所以參加3個小
組的人數為2．僅參加語文與自然小組的人數為10，於是僅參加語文
與自然、僅參加數學與自然和參加3個小組的人數一共是18人，剩下
的10人是僅參加數學與語文以及僅參加數學的．由於這兩個人數相等，
所以僅參加數學和語文小組的有5人．
【答案】5人
【例 8】在一個自助果園裏，只摘山莓者兩倍於只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數比只摘李子的人數多3個；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有
摘李子者多4人；50個人沒有摘草莓；11個人摘了山莓和李子但沒有摘草
莓；總共有60人摘了李子.如果參與採摘水果的總人數是100，你能回答下
列問題嗎？
①有人摘了山莓；
②有人同時摘了三種水果；
③有人只摘了山莓；
④有人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；
⑤ 有 人只摘了草莓.
草莓李子山莓G
F E
D C B A
【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 如圖，根據題意有
2A C =
3G C -=
4B E -=
50A D C ++=
11D =
60C D F G +++=
40A B E ++=
代入求解：26A =，9B =，13C =，11D =，5E =，20F =，16G =
所以①有261151658A D E G +++=+++=(人)摘了山莓；
②有16人同時摘了三種水果；
③有26人只摘了山莓；
④有20人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；
⑤有9人只摘了草莓.
【答案】①有58(人)摘了山莓；②有16人同時摘了三種水果；
③有26人只摘了山莓；④有20人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；
⑤有9人只摘了草莓.
【例 9】 某學校派出若干名學生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個專案，已知
參加長跑、跳高、標槍三個專案的人數分別為10、15、20人，長跑、跳高、標槍每一項的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽專案，求這所學校一共派出多少人參加比賽？
科学51人文艺56人
17154
体育55人x
【考點】三量重疊問題 【難度】4星 【題型】解答
【解析】 由條件可知，參加長跑的人中有2人參加其他專案，參加跳高的人中有3
人參加其他專案，參加標槍的人中有4人還參加別的專案，假設只參加長
跑和跳高的人數為x ，只參加長跑和標槍的人數為y ，只參加標槍和跳高的有z 人，三項都參加的有n 人.那麼有以下方程組：
由條件可知，參加長跑的人中有2人參加其他專案，參加跳高的人中有3
人 參加其他專案，參加標槍的人中有4人還參加別的專案，假設只參加長跑和跳高的人數為x ，只參加長跑和標槍的人數為y ，只參加標槍和跳高的有z 人，三項都參加的有n 人.那麼有以下方程組：
2
3 4
x y n x z n z y n ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 將3條等式相加則有2（x +y +z ）+3n =9，由這個等式可以得到，n 必須是奇數，所以，n 只能是1或3、5、7……，如果n ≥3時x 、y 、z 中會出現負數.所以n =1，這樣可以求得x =0，y =1，z =2.由此可得到這個學校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
將3條等式相加則有2（x +y +z ）+3n =9，由這個等式可以得到，n 必須是奇數，所以，n 只能是1或3、5、7……，如果n ≥3時x 、y 、z 中會出現負數.所以n =1，這樣可以求得x =0，y =1，z =2.由此可得到這個學校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
【答案】40人
模組二、四個量的重疊問題
【例 10】 養牛場有2007頭黃牛和水牛，其中母牛1105頭，黃牛1506頭，公水
牛200頭，那麼母黃牛有 頭。

【考點】四個量的重疊問題 【難度】3星 【題型】填空
【關鍵字】希望杯，4年級，1試
【解析】 解：公牛有2007-1105=902頭，公黃牛有902-200=702頭，母黃牛有
1506-702=804頭
【答案】804頭
【例 11】 一個書架上有數學、語文、英語、歷史4種書共35本，且每種書的數量
互不相同。

其中數學書和英語書共有l6本，語文書和英語書共有17本：有一種書恰好有9本，這種書是 書。

【考點】四個量的重疊問題【難度】4星【題型】填空
【關鍵字】迎春杯，四年級，初賽，5題
【解析】如果數學書有x本，那麼英語書有16-x本，語文書有17-（16-x）=x+1本，歷史書為35-(x+16-x+x+1)=18-x本，其中有可能出現相等的有x和16-x，x和18-x因為它們奇偶性相同.為了不相等，x≠8且x≠9，有此得到16-x不等於8和7，x+1不等於9和10，18-x不等於10和9，只有16-x可以等於9，所以英語書有9本.
【答案】英語。