2018年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷

2018年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分）
1．﹣5的绝对值为（）
A．﹣5 B．5 C．﹣D．
2．如图，由高和直径相同的5个圆柱搭成的几何体，其左视图是（）
A． B．C．D．
3．如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）
A．±1 B．1 C．2 D．9
4．若关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A． B． C．D．
5．如图，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=65°，则∠CAB的度数为（）
A．25°B．50°C．60°D．65°
6．下列事件属于不可能事件的是（）
A．两个有理数的和是无理数
B．从装有5个红球和1个白球的袋子中随机摸出1球是白球
C．买一张电影票，座位号是偶数
D．购买1张彩票中奖
7．一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（）
A．106元B．105元C．118元D．108元
8．某住宅小区五月份1日至5如每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平
均每天用水量的中位数是（）
A．28 B．32 C．34 D．36
9．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED=（）
A．1 B．C．D．
10．某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（）A．B．C．D．
11．在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则CF：CA=（）
A．2：1 B．2：3 C．3：2 D．1：3
12．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）
A．﹣4和﹣3之间B．3和4之间C．﹣5和﹣4之间D．4和5之间
13．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
14．小亮和小明沿同一条路同时从学校出发到市图书馆，学校与图书馆的路程是4千米，小亮骑自行车，小明步行，当小亮从原路回到学校时，小明刚好到达市图书馆，图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系，根据图象提供信息，下列结论错误的是（）
A．小亮在图书馆停留的时间是15分钟
B．小亮从学校去图书馆的速度和从图书馆返回学校的速度相同
C．小明离开学校的路程s（千米）与时间t（分）之间的函数关系式为S=t D．BC段s（千米）与t（分）之间的函数关系式为S=t+12
15．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
A．4km B．2km C．2km D．（+1）km
16．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：
①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有3个小题，共10分）
17．计算3﹣的结果是．
18．当x=2时，分式（﹣1）÷的值是．
19．已知，如下图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，搭建第n 个图案需要根火柴棒，搭建第2017个图案需要根火柴棒．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分）
20．计算：
（1）﹣10﹣1+﹣5sin30°+（3.14﹣π）0
（2）已知m2﹣5=3m，求代数式2m2﹣6m﹣1的值．
21．已知直线l1∥l2∥l3，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠ACB=90°，l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，
求：（1）线段AB的长；
（2）的值．
22．旭日商场销售A，B两种品牌的钢琴，这两种钢琴的进价和售价如下表所示：
该商场计划购进两种钢琴若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的钢琴各多少套？
（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少A种钢琴的购进数量，增加B种钢琴的购进数量，已知B种钢琴增加的数量是A种钢琴减少数量的1.5倍，若用于购进这两种钢琴的总资金不超过69万元，问A种钢琴购进数量至多或减少多少套？
23．在元旦来临之际，腾飞中学举行了隆重的庆祝活动，在校图书馆展开了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），“希望班”全班同学都参加了比赛，为了解这个班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：
（1）请求出“希望班”全班人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）欢欢和乐乐参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．
24．在一条笔直的公路的同侧依次排列着A，C，B三个村庄，某天甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止，从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．
求：（1）甲的速度是，乙的速度是；
（2）分别求出甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系式，并写出取值范围；
（3）若甲、乙两车到C地后继续沿该公路原速度行驶，求甲车出发多少小时，两车相距350km．
25．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP 沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
发现：△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
思考：线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；探究：当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？
26．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；
（2）求证：∠ABC=90°；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．﹣5的绝对值为（）
A．﹣5 B．5 C．﹣D．
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．
【解答】解：﹣5的绝对值为5，
故选：B．
2．如图，由高和直径相同的5个圆柱搭成的几何体，其左视图是（）
A． B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，
故选：C．
3．如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）
A．±1 B．1 C．2 D．9
【考点】平方根．
【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：根据题意得：2a+1+3a﹣11=0，
移项合并得：5a=10，
解得：a=2，
4．若关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A． B． C．D．
【考点】根的判别式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据已知得出22﹣4×1×m＞0，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴22﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1，
在数轴上表示为：，
故选C．
5．如图，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=65°，则∠CAB的度数为（）
A．25°B．50°C．60°D．65°
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】CE=CA即△ACE是等腰三角形．∠E是底角，根据等腰三角形的两底角相等得到∠E=∠EAC=65°，由平行线的性质得到：∠EAB=115°，从而求出∠CAB 的度数．
【解答】解：∵CE=CA，
∴∠E=∠EAC=65°，
又∵AB∥EF，
∴∠EAB=180°﹣∠E=115°，
∴∠CAB=∠EAB﹣∠EAC=50°．
6．下列事件属于不可能事件的是（）
A．两个有理数的和是无理数
B．从装有5个红球和1个白球的袋子中随机摸出1球是白球
C．买一张电影票，座位号是偶数
D．购买1张彩票中奖
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、两个有理数的和是无理数是不可能事件，故A正确；
B、从装有5个红球和1个白球的袋子中随机摸出1球是白球，是随机事件，故B错误；
C、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，故C错误；
D、购买1张彩票中奖，是随机事件，故D错误；
故选：A．
7．一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（）
A．106元B．105元C．118元D．108元
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】本题等量关系：利润=售价﹣进价．
【解答】解：设这件衣服的进价为x元，则
132×0.9=x+10%x
解得：x=108
故选D．
8．某住宅小区五月份1日至5如每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天用水量的中位数是（）
A．28 B．32 C．34 D．36
【考点】中位数；折线统计图．
【分析】根据折线统计图可以得到这五天的用水量，然后按照从小到大的顺序排列，即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：由折线统计图可知，
这5天的用水量分别为：30，32，36，28，34，
按照从小到大排列是：28，30，32，34，36，
故这5天平均每天用水量的中位数是32，
故选B．
9．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED=（）
A．1 B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理．
【分析】根据锐角三角函数的定义求出tan∠ABC，根据圆周角定理得到∠AED=∠ABC，得到答案．
【解答】解：∵AC=1，AB=2，
∴tan∠ABC==，
由圆周角定理得，∠AED=∠ABC，
∴tan∠AED=，
故选：C．
10．某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（）A．B．C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，可以建立方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
=，
故选C．
11．在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则CF：CA=（）
A．2：1 B．2：3 C．3：2 D．1：3
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可判定△AEF ∽△CBF，又由点E为AD的中点，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵点E为AD的中点，
∴AE=AD=BC，
∴AF：CF=AE：BC=1：2，
∴CF：CA=2：3．
故选B．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）
A．﹣4和﹣3之间B．3和4之间C．﹣5和﹣4之间D．4和5之间
【考点】勾股定理；估算无理数的大小；坐标与图形性质．
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．
【解答】解：∵点P坐标为（﹣2，3），
∴OP==，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA=OP=，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于﹣4和﹣3之间．
故选A．
13．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
14．小亮和小明沿同一条路同时从学校出发到市图书馆，学校与图书馆的路程是4千米，小亮骑自行车，小明步行，当小亮从原路回到学校时，小明刚好到达市图书馆，图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系，根据图象提供信息，下列结论错误的是（）
A．小亮在图书馆停留的时间是15分钟
B．小亮从学校去图书馆的速度和从图书馆返回学校的速度相同
C．小明离开学校的路程s（千米）与时间t（分）之间的函数关系式为S=t D．BC段s（千米）与t（分）之间的函数关系式为S=t+12
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据两个函数的图象表示的意义，即可判断AB，利用待定系数法求函数关系式，即可判断CD．
【解答】解：根据图象可以得到：OABC表示小亮的路程与时间的关系．
OA表示从学校到市图书馆，小亮从学校去图书馆的速度是千米/分钟，
AB段表示停留的时间，从第15分钟，到30分钟，则共用了15分钟，故A正确；BC段表示从市图书馆到学校，时间是从第30分钟到第45分钟，共用了15分钟，路程是4千米，则速度是千米/分钟，故B正确；
OD表示小明的路程与时间的关系，45分钟走了4千米，速度是千米/分钟，则路程与时间的关系式是：s=t，故C正确；
设BC的函数关系式是s=kt+b，根据题意得
解得：
∴s=t+12，
∴D错误；
故选：D．
15．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
A．4km B．2km C．2km D．（+1）km
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD 是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=OA=2．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=2，
∴AB=AD=2．
即该船航行的距离（即AB的长）为2km．
故选：C．
16．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：
①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，
∵AG=CE，
∴BG=BE，
由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；
∵BG=BE，∠B=90°，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∴∠GAE+∠AEG=45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵∠BEG=45°，
∴∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠GAE=∠FEC，
在△GAE和△CEF中
∴△GAE≌△CEF，∴②正确；
∴∠AGE=∠ECF=135°，
∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；
∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
即正确的有2个．
故选B．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分）
17．计算3﹣的结果是﹣2．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：3﹣
=3×﹣3
=﹣3
=﹣2．
故答案为：﹣2．
18．当x=2时，分式（﹣1）÷的值是﹣2．【考点】分式的化简求值．
【分析】先化简所求的式子，然后将x的值代入即可解答本题．【解答】解：（﹣1）÷
=
=
=，
当x=2时，原式=，
故答案为：﹣2．
19．已知，如下图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，搭建第n 个图案需要7n+1根火柴棒，搭建第2017个图案需要14120根火柴棒．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】（1）根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n ﹣1）=7n+1根；www-2-1-cnjy-com
（2）根据（1）的结果，当n=2017时可得结果．
【解答】解：（1）∵图案①需火柴棒：8根；
图案②需火柴棒：8+7=15根；
图案③需火柴棒：8+7+7=22根；
…
∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；
（2）当n=2017时，7n+1=7×2017+1=14120，
∴搭建第2017个图案需要14120根火柴棒；
故答案为：7n+1；14120．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分）
20．计算：
（1）﹣10﹣1+﹣5sin30°+（3.14﹣π）0
（2）已知m2﹣5=3m，求代数式2m2﹣6m﹣1的值．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）原式利用算术平方根、立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式变形后，将已知等式整理代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=11﹣0.1+3﹣2.5+1=12.4；
（2）∵m2﹣5=3m，即m2﹣3m=5，
∴原式=2（m2﹣3m）﹣1=10﹣1=9．
21．已知直线l1∥l2∥l3，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠ACB=90°，l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，
求：（1）线段AB的长；
（2）的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，根据全等三角形的判定得出△BMC≌△CNA，根据全等得出BM=CN，AN=CM，求出BM和CM，根据勾股定理求出BC、AC，再求出AB即可；
（2）根据平行线性质得出∠DBC=∠BCM，根据相似三角形的判定得出△BCD∽△CMB，得出比例式，求出BD，即可求出答案．
【解答】解：（1）
过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，
则∠BMC=∠ANC=∠BCA=90°，
∴∠BCM+∠MBC=90°，∠BCM+∠ACN=90°，
∴∠MBC=∠ACN，
在△BMC和△CNA中
∴△BMC≌△CNA，
∴BM=CN，AN=CM，
∵l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，
∴BM=CN=3，CM=AN=1+3=4，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC=AC==5，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB==5；
（2）∵直线l2∥直线l3，
∴∠DBC=∠BCM，
∵∠BCD=∠BMC=90°，
∴△BCD∽△CMB，
∴=，
∴=，
∴BD=，
∵AB=5，
∴==．
22．旭日商场销售A，B两种品牌的钢琴，这两种钢琴的进价和售价如下表所示：
该商场计划购进两种钢琴若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万
元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的钢琴各多少套？
（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少A种钢琴的购进数量，增加B种钢琴的购进数量，已知B种钢琴增加的数量是A种钢琴减少数量的1.5倍，若用于购进这两种钢琴的总资金不超过69万元，问A种钢琴购进数量至多或减少多少套？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）首先设该商场计划购进A种品牌的钢琴x套，B种品牌的钢琴y 套，根据题意即可列方程组，解此方程组即可求得答案；
（2）首先设A种钢琴购进数量减少a套，则B种钢琴购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．
【解答】解：（1）设该商场计划购进A种品牌的钢琴x套，B种品牌的钢琴y 套，依题意有
，
解得：．
答：该商场计划购进A种品牌的钢琴20套，B种品牌的钢琴30套；
（2）设A种钢琴购进数量减少a套，则B种钢琴购进数量增加1.5a套，
1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：a≤10．
答：A种钢琴购进数量至多减少10套．
23．在元旦来临之际，腾飞中学举行了隆重的庆祝活动，在校图书馆展开了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），“希望班”全班同学都参加了比赛，为了解这个班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：
（1）请求出“希望班”全班人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）欢欢和乐乐参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；折线统计图．
【分析】（1）由演讲人数12人，占25%，即可求得九（2）全班人数；
（2）首先求得书法与国学诵读人数，继而补全折线统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵演讲人数12人，占25%，
∴九（2）全班人数为：12÷25%=48（人）；
（2）∵国学诵读占50%，
∴国学诵读人数为：48×50%=24（人），
∴书法人数为：48﹣24﹣12﹣6=6（人）；
补全折线统计图；
（3）分别用A，B，C，D表示书法、国学诵读、演讲、征文，
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有4种情况，
∴他们参加的比赛项目相同的概率为：=．
24．在一条笔直的公路的同侧依次排列着A，C，B三个村庄，某天甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止，从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．2-1-c-n-j-y
求：（1）甲的速度是60km/h，乙的速度是80km/h；
（2）分别求出甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系式，并写出取值范围；
（3）若甲、乙两车到C地后继续沿该公路原速度行驶，求甲车出发多少小时，两车相距350km．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据速度=路程÷时间即可算出甲、乙两车的速度；
y甲关于t的函数关系式；当0≤t≤1（2）根据y
甲=240﹣速度×时间即可列出
1≤t≤4时，根据y乙=240﹣速度×时间即可列出y乙关于t的函时，y
乙=240；当
数关系式；
（3）当两车经过C地继续行驶时，先分析二者相距350km时，乙车有没有到达A地，再根据时间=路程÷速度和+4即可求出二者相距350km的时间．
【解答】解：（1）240÷4=60（km/h）；
240÷（4﹣1）=80（km/h）．
故答案为：60km/h；80km/h．
60t+240（0≤t≤4）．
（2）根据题意得：y
甲=﹣
当0≤t≤1时，y
乙=240；
80（t﹣1）=﹣80t+320．
当1≤t≤4时，y
乙=240﹣
∴y
乙=．
（3）当甲、乙两车经过C地继续行驶时，350÷（80+60）=（h），
∵80×=200（km），200＜240，
∴当甲、乙两车离开C地并相距350km时，乙车尚未到达A地，
∴+4=（h）．
答：甲车出发h时，两车相距350km．
25．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP 沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
发现：△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
思考：线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；探究：当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？
【考点】相似形综合题．
【分析】发现：先证明∠MPA=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠
PAB，结合条件∠C=∠B=90°，可证明量三角形相似；
思考：设PB=x，则CP=4﹣x，依据相似三角形的性质可得到CM=x（4﹣x），作MG⊥AB于G，依据勾股定理可得到AM=，则AG最小值时，AM最小，然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG与x的函数关系，依据二次函数的性质可求得当x=2时，AG最小值=3；
探究：依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．然后可证明△BPK为等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK=z，最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可．
【解答】解：发现．∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB．
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．
思考：设PB=x，则CP=4﹣x．
∵△CMP∽△BPA，
∴，
∴CM=x（4﹣x）．
如图1所示：作MG⊥AB于G．
∵AM==，
∴AG最小值时，AM最小．
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=（x﹣2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3．
∴AM的最小值==5．
探究：∵△ABP≌△ADN，
∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，
又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，
∴∠EAP=∠EAN，
∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．
如图2：在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．
∴∠KPA=∠KAP=22.5°，
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=z，
∴z+z=4，
∴z=4﹣4．
∴PB=4﹣4．
26．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；
（2）求证：∠ABC=90°；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；2·1·c·n·j·y
（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则
是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；
（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；
（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；
（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标．
【解答】解：
（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标A（1，1），
联立抛物线与直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）证明：
由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），
∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°；
（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，
设P（t，﹣t2+2t），则G（t，t﹣2），
∵点P在直线BC上方，
∴PG=﹣t2+2t﹣（t﹣2）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，
=S△PGB+S△PGC=PG[2﹣（﹣1）]=PG=﹣（t﹣）2+，
∴S
△PBC
∵﹣＜0，
∴当t=时，S
有最大值，此时P点坐标为（，），
△PBC
即存在满足条件的点P，其坐标为（，）；
（4）∵∠ABC=∠ONM=90°，
∴当△OMN和△ABC相似时，有=或=，
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，﹣m2+2m），
∴MN=|﹣m2+2m|，ON=|m|，
①当=时，即=，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）；
②当=时，即=，解得m=或m=或m=0（舍去）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（5，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．。