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初一数学（下）
平面几何部分
第五章《相交线与平行线》
一、知识点
5.1 相交线
5.1.1 相交线
有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。

两条直线相交有 4 对邻补角。

有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

两条直线相交，有 2 对对顶角。

对顶角相等。

5.1.2
其中一条直线叫做另一条直两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。

线的垂线，它们的交点叫做垂足。

注意：⑴垂线是一条直线。

⑵具有垂直关系的两条直线所成的 4 个角都是 90。

⑶垂直是相交的特殊情况。

⑷垂直的记法：a⊥b， AB ⊥CD 。

画已知直线的垂线有无数条。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.2 平行线
5.2.1 平行线
a∥b。

在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：
在同一平面内两条直线的关系只有两种：相交或平行。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

5.2.2 直线平行的条件
两条直线被第三条直线所截，在两条被截线的同一方，截线的同一旁，这样的两个角叫做同位角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的两侧，这样的两个角叫做内错角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的同一旁，这样的两个角叫做同旁内角。

判定两条直线平行的方法：
方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：同位角相等，
两直线平行。

方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：内错角相等，
两直线平行。

方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互
补，两直线平行。

5.3 平行线的性质
平行线具有性质：
性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。

判断一件事情的语句叫做命题。

5.4 平移
⑴把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。

图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

第七章《三角形》
一、知识点
7.1 与三角形有关的线段
7.1.1 三角形的边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

的内角，简称三角形的角。

顶点是 A、 B、C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”。

三角形两边的和大于第三边。

7.1.2 三角形的高、中线和角平分线
7.1.3 三角形的稳定性
相邻两边组成的角，叫做三角形
三角形具有稳定性。

7.2 与三角形有关的角
7.2.1 三角形的内角
三角形的内角和等于180 。

7.2.2 三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7.3 多边形及其内角和
7.3.1 多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

n 边形的对角线公式：1/2n(n-3)
从n 边形的一个顶点出发可以引（ n-3 ）条对角线，把多边形分词（ n-2 ）个三角形。

各个
角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7.3.2 多边形的内角和
n边形的内角和公式： 180 （n－ 2）
多边形的外角和等于 360 。

7.4 其他
1.判断三条线段能否组成三角形。

① a+b>c（ a b 为最短的两条线段）②a-b<c（a b为最长的两条线段）
2.第三边取值范围：
a －
b <
c <a＋b如两边分别是 5 和 8 则第三边取值范围为3<x<13.
3.对应周长取值范围
若两边分别为如两边分别为a,b 则周长的取值范围是
5 和 7 则周长的取值范围是
2a<L<2(a ＋ b) a
14<L<24.
为较长边。

4.三角形的角平分线、高、中线都有三条，都是线段。

其中角平分线、中线都交于一点且交点在三角形内部，高所在直线交于一点。

5.“三线”特征：
☆三角形的中线①平分底边。

②分得两三角形面积相等并等于原三角形面积的一半。

③分得两三角形的周长差等于邻边差。

6. 直角三角形：①两角互余。

②30 度所的直角是斜的一半。

③三条高交于三角形的一个点。

④∠ A=∠ B＋∠C⑤ ∠ A=∠ B＋∠ C
7.相关命：
→ 1 三角形中最多有 1 个直角或角，最多有 3 个角，最少有 2 个角。

→ 2 角三角形中最大的角的取范是60≤ X<90 。

最大角不小于 60 度。

→3 任意一个三角形两角平分的角=90＋第三角的一半。

→4 角三角形有两条高在外部。

→5 全等形的大小（面、周）、形状都相同。

→6 面相等的两个三角形不一定是全等形。

→7 能完全重合的两个形是全等形。

→8 三角形具有定性。

→9 三条分相等的两个三角形全等。

→10 三个角相等的两个三角形不一定全等。

→11 两个等三角形不一定全等。

→12 两角及一相等的两个三角形全等。

两及一角相等的两个三角形不一定全等。

两及
它的角相等的两个三角形全等。

→15 两条直角相等的两个直角三角形全等。

一条斜和一直角相等的两个三角形全等。

一个角和一（直角或斜）相等的两个直角三角形全等。

一角和一相等的两个直角三角形不一定全等。

→ 18 有一个角是60 的等腰三角形是等三角形。

8. 直角 =90°，平角 =180 °，周角 =360°， 1° =60′， 1′ =60″
9. 直不能延；射不能正向延，但能反向延；段能双向延.
10 ．命可以写“如果⋯⋯⋯那么⋯⋯⋯”的形式，“如果⋯⋯⋯”是命的条件，“那么⋯⋯⋯”是命的.
11.方向角：
（ 1）
北
（ 2）
西北东北北偏西
30 °
30°
西东
60°
西南东南南偏东60 °
南
12．比例尺：比例尺1:m 中， 1 表示图上距离， m表示实际距离，若图上 1 厘米，表示实际距离m厘米 .
13.
1. 角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等 A
的部分，这条射线叫角的平分线.
C （如图）
O B 2．线段中点的定义：
点C 把线段AB 分成两条相等
的线段，点 C叫线段中点 .( 如图 )
A C
B 3．等量公理： ( 如图 ) 几何表达式举例：
(1)∵ OC平分∠ AOB
∴∠ AOC=∠BOC (2)∵∠ AOC=∠BOC
∴OC是∠ AOB的平分线几何表达式举例：
(1)∵ C 是 AB中点
∴AC = BC
(2)∵ AC = BC
∴C 是 AB中点
几何表达式举例：
（ 1）等量加等量和相等；（ 2）等量减等量差相等；(1) ∵ AC=DB
（ 3）等量的等倍量相等；（ 4）等量的等分量相等 . ∴ AC+CD=DB+CD
A
即 AD=BC
B (2) ∵∠ AOC=∠DOB
C ∴∠ AOC-∠ BOC=∠ DOB-∠BOC
A C D
B （ 1）O D （ 2）
即∠ AOB=∠DOC
A E (3) ∵∠ BOC=∠GFM
C
M
又∵∠ AOB=2∠BOC O B F G
∠ EFG=2∠GFM
（ 3）
∴∠ AOB=∠EFG
A C
B E G F（ 4）
(4) ∵ AC=
1
AB ， EG=
1
EF
2 2
又∵ AB=EF
∴ AC=EG
4．等量代：几何表达式例：几何表达式例：几何表达式例：∵a=c ∵ a=c b=d ∵a=c+d
b=c 又∵ c=d b=c+d
∴a=b ∴a=b ∴a=b
5．角重要性：几何表达式例：同角或等角的角相等.( 如 ) ∵∠ 1+∠ 3=180°
1 3
∠ 2+∠4=180°
又∵∠ 3=∠4
2 4 ∴∠ 1=∠ 2
6．余角重要性：几何表达式例：同角或等角的余角相等.( 如 ) ∵∠ 1+∠ 3=90°
1
∠ 2+∠4=90°
3
又∵∠ 3=∠4
2
∴∠ 1=∠ 2
4
7．角性定理： A D 几何表达式例：
角相等 .( 如 )
O
∵∠ AOC=∠DOB C B
∴ ⋯⋯⋯⋯⋯
8．两条直垂直的定：几何表达式例：两条直相交成四个角，有一个角是(1) ∵ AB、CD互相垂直直角，两条直互相垂直.( 如 ) C ∴∠ COB=90°
AO B (2) ∵∠ COB=90°
D
∴ AB、CD互相垂直9．三直平行定理：几何表达式例：两条直都和第三条直平行，那么， A B ∵ AB∥ EF
两条直也平行.( 如 ) C D
又∵ CD∥ EF E F
10．平行线判定定理：
两条直线被第三条直线所截：
（1）若同位角相等，两条直线平行； ( 如图 )
（ 2）若内错角相等，两条直线平行；( 如G
图 )
A E B
C F
D （ 3）若同旁内角互补，两条直线平行.( 如
H
图 )
∴AB∥ CD
几何表达式举例：
(1)∵∠ GEB=∠ EFD
∴AB∥ CD
(2)∵∠ AEF=∠ DFE
∴AB∥ CD
(3)∵∠ BEF+∠ DFE=180°
∴AB∥ CD
11．平行线性质定理：
（ 1）两条平行线被第三条直线所截，同位
角相等； ( 如图 ) G
A E
B （ 2）两条平行线被第三条直线所截，内错
F D
C
角相等； ( 如图 )
H
（ 3）两条平行线被第三条直线所截，同旁
内角互补 .( 如图 ) 几何表达式举例：
(1)∵ AB∥CD
∴∠ GEB=∠ EFD (2)∵ AB∥CD
∴∠ AEF=∠ DFE (3)∵ AB∥CD
∴∠ BEF+∠ DFE=180°
第八章《二元一次方程组》
代数部分
一、知识点
8.1 二元一次方程组
含有两个未知数，并且未知数的指数都是 1 的方程叫做二元一次方程
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

8.2 消元
由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

※一次方程组的应用：
（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难
列易解”；
（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；
（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未
知数的关系 .
第九章《不等式与不等式组》
一、知识点
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。

含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。

9.1.2 不等式的性质
不等式有以下性质：
不等式的性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

不等式的性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

9.2 实际问题与一元一次不等式
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x＝ a 的形式；
而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜ a（或 x ＞a）的形式。

9.3 一元一次不等式组
把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。

解不等式就是求它的解集。

对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。

解一元一次不等式组时。

一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

x a x a
x b x b
不等式组的解集是 x a 不等式的组解集是x b
>
b
> b a a
x a x a
x b x b
不等式组的解集是 a x b 不等式组解集是空集
>
b
> b a a
注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点.
注意： ab＞ 0 a 0 a 0 或 a 0 ；
b b 0 b 0
ab＜ 0 a 0 a 0 或 a 0 ；
b b 0 b 0
ab=0 a=0 或 b=0；
a m
a=m .
a m
注意：x
y 0
x、 y是正
数 ,
xy 0
x y 0
x、 y是负
数 ,
xy 0
x y 0
x、 y异号且正数绝对值大， xy 0
x y0
x、y异号且负数绝对值大. xy 0
列方程解应用题的常用公式：
（ 1）行程问题：距离=速度·时间
速度距离时间
时间距离
；速度
（ 2）工程问题：工作量 =工效·工时
工效工作量工时
工时工作量
；
工效
（ 3）比率问题：部分 =全体·比率
比率部分全体
全体部分
；比率
（ 4）顺逆流问题：顺流速度 =静水速度 +水流速度，
逆流速度 =静水速度 - 水流速度；
（ 5）商品价格问题：售价 =定价·折·
1 ，
10
利润 =售价 - 成本，
售价成本
100% ；
利润率
成本
（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab，C正方形=4a，
S 正方形 =a2，S 环形 =π (R2-r 2),V 长方体 =abc ，V 正方体 =a3，V 圆柱 =πR2h ，V 圆锥 = 1π
3
R h.
第六章《平面直角坐标系》
一、知识点
6.1 平面直角坐标系
6.1.1 有序数对
有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有序数对。

6.1.2 平面直角坐标系
平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；
竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面上的任意一点都可以用一个有序数对来表示。

建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分为了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、
第二象限、第三象限和第四象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

6.2 坐标方法的简单应用
6.2.1 用坐标表示地理位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
⑴建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、 y 轴的正方向；⑵根
据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；⑶在坐标平面内画出
这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

6.2.2 用坐标表示平移
在平面直角坐标系中，将点（ x， y）向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x＋a ，y）（或（ x－a，y ））；将点（ x， y）向上（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点（ x，y＋ b）（或（ x ，y－ b））。

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度。

第十章《数据的收集、整理与描述》
一、知识点
收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程。

全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

总体：要考察的全体对象称为总体。

个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

频率：频数与数据总数的比为频率。

组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个
端点的差叫做组距。

4.1 喜爱哪种动物的同学最多——全面调查举例
用划记法记录数据，“正”字的每一划（笔画）代表一个数据。

考察全体对象的调查属于全面调查。

4.2 调查中小学生的视力情况——抽样调查举例
抽样调查是从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查。

统计调查是收集数据常用的方法，一般有全面调查和抽样调查两种，实际中常常采用抽样调查的方式。

调查时，可用不同的方法获得数据。

除问卷调查、访问调查等外，查阅文献资料和实验也是获得数据的有效方法。

利用表格整理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律。

利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律。

4.3 课题学习
调查活动主要包括以下五项步骤：
一、设计调查问卷
⑴设计调查问卷的步骤
①确定调查目的；
②选择调查对象；
③设计调查问题
⑵设计调查问卷时要注意：
①提问不能涉及提问者的个人观点；
②不要提问人们不愿意回答的问题；
③提供的选择答案要尽可能全面；
④问题应简明；
⑤问卷应简短。

二、实施调查
将调查问卷复制足够的份数，发给被调查对象。

实施调查时要注意：
⑴向被调查者讲明哪些人是被调查的对象，以及他为什么成为被调查者；
⑵告诉被调查者你收集数据的目的。

三、处理数据
根据收回的调查问卷，整理、描述和分析收集到的数据。

四、交流
根据调查结果，讨论你们小组有哪些发现和建议？
五、写一份简单的调查报告
整式的乘除
1．同底数幂的乘法：a m· a n=a m+n，底数不变，指数相加.
2．幂的乘方与积的乘方：(a m) n=a mn ，底数不变，指数相乘；
(ab) n=a n b n，积的乘方等于各因式乘方的积.
3．单项式的乘法：系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里.
4．单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 5．多项式的乘法：(a+b) ·(c+d)=ac+ad+bc+bd，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .
6．乘法公式：
（ 1）平方差公式： (a+b)(a-b)= a 2-b 2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；
（ 2）完全平方公式：
① (a+b) 2=a2+2ab+b2 , 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的 2 倍；
② (a-b) 2=a2-2ab+b 2 , 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的 2 倍；
※ ③ (a+b-c) 2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc.
7．配方：
2
（ 1）若二次三项式
2 p
q ；x +px+q 是完全平方式 , 则有关系式： 2
※（2）二次三项式 ax2+bx+c 经过配方，总可以变为 a(x-h) 2+k 的形式，利用 a(x-h) 2+k
①可以判断 ax2+bx+c 值的符号；②当 x=h 时，可求出 ax2+bx+c 的最大（或最小）值 k.
※（ 3）注意： x 2 1 1 2
x 2 .
x 2 x
8．同底数幂的除法： a m÷ a n=a m-n ，底数不变，指数相减 .
9．零指数与负指数公式:
（ 1） a0=1 (a ≠ 0) ；
a-n= 1 ,(a ≠ 0).
a n
注意： 00， 0-2无意义；
（ 2）有了负指数，可用科学记数法记录小于 1 的数，例如： 0.0000201=2.01 × 10-5 .
10．单项式除以单项式: 系数相除，相同字母相除，只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 11．多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
12．多项式除以多项式：先因式分解后约分或竖式相除；注意：被除式- 余式 =除式·商式 .
13．整式混合运算：先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内.
14.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
15．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“- ”号，括号里的各项都要变号.
16.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按
这个字母的升幂排列（或降幂排列）.
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.
17.移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.
18.单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式
叫单项式 .
单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
19．多项式：几个单项式的和叫多项式.
多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；
多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
20．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.
21.有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
注意：当n 为正奇数时 : (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n ,当n为正偶数时: (-a)n =an或(a-b)n=(b-a)n .。