成都列五中学七年级上学期 压轴题 期末复习数学试题

成都列五中学七年级上学期 压轴题 期末复习数学试题
一、压轴题
1．已知数轴上，点A 和点B 分别位于原点O 两侧，AB=14，点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b.
(1) 若b ＝－4，则a 的值为__________. (2) 若OA ＝3OB ，求a 的值.
(3) 点C 为数轴上一点，对应的数为c ．若O 为AC 的中点，OB ＝3BC ，直接写出所有满足条件的c 的值.
2．如图，已知数轴上有三点 A ，B ，C ，若用 AB 表示 A ，B 两点的距离，AC 表示 A ，C 两点的 距离，且 BC = 2 AB ，点 A 、点C 对应的数分别是a 、c ，且| a - 20 | + | c +10 |= 0 .
（1）若点 P ，Q 分别从 A ，C 两点同时出发向右运动，速度分别为 2 个单位长度/秒、5个单位长度/ 秒，则运动了多少秒时，Q 到 B 的距离与 P 到 B 的距离相等？
（2）若点 P ，Q 仍然以（1）中的速度分别从 A ，C 两点同时出发向右运动，2 秒后，动点 R 从 A 点出发向左运动，点 R 的速度为1个单位长度/秒，点 M 为线段 PR 的中点，点 N 为线段 RQ 的中点，点R 运动了x 秒时恰好满足 MN + AQ = 25，请直接写出x 的值. 3．已知AOD α∠=，OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线．
(1)如图1，当160α=︒，若OM 平分AOB ∠，ON 平分BOD ∠，求MON ∠的大小； (2)如图2，若OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，20BOC ∠=︒，60MON ∠=︒，求
α．
4．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB =22，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．
（1）出数轴上点B 表示的数 ；点P 表示的数 （用含t 的代数式表示） （2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问多少秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2？
（3）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q ？
（4）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．
5．如图，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数
之和都相等．
6a b x-1-2...
（1）可求得x =______，第 2021 个格子中的数为______；
（2）若前k 个格子中所填数之和为 2019，求k 的值；
（3）如果m ，n为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|m-n | 的和可以通过计算
|6-a|+|6-b|+|a-b|+|a-6| +|b-6|+|b-a| 得到．若m ，n为前8个格子中的任意两个数，
求所有的|m-n|的和.
6．已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为-2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点
C，使得AC+BC=n，则称点C叫做点A、B的“n节点”．例如图1所示：若点C表示的数为
0，有AC+BC=2+2=4，则称点C为点A、B的“4节点”．
请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为-4，求n的值；
（2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为______；
（3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足BE=1
2
AE，且此时点E为点A、B的“n节
点”，求n的值．
7．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后．再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为8？请说明理由．
8．已知，如图，A、B、C分别为数轴上的三点，A点对应的数为60，B点在A点的左侧，并且与A点的距离为30，C点在B点左侧，C点到A点距离是B点到A点距离的4倍．
（1）求出数轴上B点对应的数及AC的距离．
（2）点P从A点出发，以3单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒．
①当P点在AB之间运动时，则BP＝．（用含t的代数式表示）
②P点自A点向C点运动过程中，何时P，A，B三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t．
③当P点运动到B点时，另一点Q以5单位/秒的速度从A点出发，也向C点运动，点Q到达C点后立即原速返回到A点，那么Q点在往返过程中与P点相遇几次？直．接．写．出．相遇时P点在数轴上对应的数
9．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数.
（分析思路）
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．
如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)
（解决问题）
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数.
10．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ
AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有
1
CD AB
2
，此时C点停止运动，
D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；②MN
AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并
求值．
11．已知：A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为度；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时，时间t的值为（直接写结果）．12．点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝1
2
x﹣5的解，在数轴上是否存在
点P使PA+PB＝1
2
BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣3
4
BN的值不变；②
13
PM
24
BN的值不
变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
13．如图，数轴上有A、B两点，且AB=12，点P从B点出发沿数轴以3个单位长度/s的速度向左运动，到达A点后立即按原速折返，回到B点后点P停止运动，点M始终为线段BP的中点
(1)若AP=2时，PM=____；
(2)若点A表示的数是-5，点P运动3秒时，在数轴上有一点F满足FM=2PM，请求出点F 表示的数；
(3)若点P从B点出发时，点Q同时从A点出发沿数轴以2.5个单位长度/s的速度一直
．．向右运动，当点Q的运动时间为多少时，满足QM=2PM.
14．（阅读理解）
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是（A，B）的优点．
例如，如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的优点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的优点，但点D是（B，A）的优点．（知识运用）
如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数所表示的点是（M，N）的优点；
（2）如图③，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点？
15．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，-4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是______；（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
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一、压轴题
1．(1)10；(2)
21
2
±；(3)
28
8.
5
±±，
【解析】
【分析】
(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.
(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.
(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.
【详解】
(1)解：若b＝－4，则a的值为 10
(2)解：当A在原点O的右侧时（如图）：
设OB=m,列方程得：m+3m=14，
解这个方程得，
7
m
2 =，
所以，OA=21
2
，点A在原点O的右侧，a的值为
21
2
.
当A在原点的左侧时（如图)，
a=－21 2
综上，a的值为±21
2
.
(3)解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－28 5
.
当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.
当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c=28 5
.
当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.
综上，点c的值为：±8，±28 5
.
【点睛】
本题考查的知识点是通过画数轴,找出数轴上各线段间的数量关系并用一元一次方程来求解,需要注意的是分情况讨论时要考虑全面,此题充分锻炼了学生动手操作能力以及利用数行结合解决问题的能力.
2．（1）10
7
秒或10秒；（2）
14
13
或
114
13
．
【解析】
【分析】
（1）由绝对值的非负性可求出a，c的值，设点B对应的数为b，结合BC 2 AB，求出b 的值，当运动时间为t秒时，分别表示出点P、点Q对应的数，根据“Q到B的距离与P 到B的距离相等”列方程求解即可；
（2）当点R运动了x秒时，分别表示出点P、点Q、点R对应的数为，得出AQ的长，
由中点的定义表示出点M、点N对应的数，求出MN的长．根据MN+AQ=25列方程，分三种情况讨论即可．
【详解】
（1）∵|a-20|+|c+10|=0，
∴a-20=0，c+10=0，
∴a=20，c=﹣10．
设点B对应的数为b．
∵BC=2AB，∴b﹣（﹣10）=2（20﹣b）．
解得：b=10．
当运动时间为t秒时，点P对应的数为20+2t，点Q对应的数为﹣10+5t．
∵Q到B的距离与P到B的距离相等，
∴|﹣10+5t﹣10|=|20+2t﹣10|，
即5t﹣20=10+2t或20﹣5t=10+2t，
解得：t=10或t=10
7
．
答：运动了
10
7
秒或10秒时，Q 到B 的距离与P 到B 的距离相等．
（2）当点R 运动了x 秒时，点P 对应的数为20+2（x +2）=2x +24，点Q 对应的数为﹣10+5（x +2）=5x ，点R 对应的数为20﹣x ，∴AQ =|5x ﹣20|． ∵点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点， ∴点M 对应的数为224202x x ++-=442
x
+，
点N 对应的数为2052
x x
-+=2x +10， ∴MN =|
442
x
+﹣（2x +10）|=|12﹣1.5x |． ∵MN +AQ =25，∴|12﹣1.5x |+|5x ﹣20|=25． 分三种情况讨论：
①当0＜x ＜4时，12﹣1.5x +20﹣5x =25，
解得：x =14
13
；
当4≤x ≤8时，12﹣1.5x +5x ﹣20=25， 解得：x =
66
7＞8，不合题意，舍去； 当x ＞8时，1.5x ﹣12+5x ﹣20=25， 解得：x 3
114
1=
． 综上所述：x 的值为1413或11413
． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（1）80°；（2）140° 【解析】 【分析】
（1）根据角平分线的定义得∠BOM=
12∠AOB ，∠BON=1
2
∠BOD ，再根据角的和差得∠AOD=∠AOB+∠BOD ，∠MON=∠BOM+∠BON ，结合三式求解；（2）根据角平分线的定
义∠MOC=
12∠AOC ，∠BON=1
2
∠BOD ，再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC ，∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC 结合三式求解. 【详解】
解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，
∴∠BOM=1
2
∠AOB，∠BON=
1
2
∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=1
2
∠AOB+
1
2
∠BOD=
1
2
(∠AOB+∠BOD).
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，
∴∠MON=1
2
×160°=80°；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=1
2
∠AOC，∠BON=
1
2
∠BOD，
∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC，
∴∠MON=1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD -∠BOC=
1
2
(∠AOC+∠BOD )-∠BOC.
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠AOC=∠AOB+∠BOC,
∴∠MON=1
2
(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=
1
2
(∠AOD+∠BOC )-∠BOC，
∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°,
∴60°=1
2
(α+20°)-20°,
∴α=140°.
【点睛】
本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键. 4．（1）﹣14，8﹣5t；（2）2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（3）点P运动11秒时追上点Q；（4）线段MN的长度不发生变化，其值为11，见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；（2）设t秒时P、Q 之间的距离恰好等于2．分①点P、Q相遇之前和②点P、Q相遇之后两种情况求t值即可；（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．
【详解】
（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，
∴点B表示的数是8﹣22=﹣14，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．
故答案为：﹣14，8﹣5t；
（2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；
②点P、Q相遇之后，
由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3．
答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC=5x，BC=3x，
∵AC﹣BC=AB，
∴5x﹣3x=22，
解得：x=11，
∴点P运动11秒时追上点Q；
（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP=1
2
AP+
1
2
BP=
1
2
（AP+BP）=
1
2
AB=
1
2
×22=11；
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP﹣NP=1
2
AP﹣
1
2
BP=
1
2
（AP﹣BP）=
1
2
AB=11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
5．（1）6，-1；（2）2019或2014；（3）234
【解析】
【分析】
（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、x的值，再根据第9个数是-2可得
b=-2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．
（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．
【详解】
（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴6+a+b=a+b+x，解得x=6，a+b+x=b+x-1，∴a=-1，所以数据从左到右依次为6、-1、b、6、-1、b，第9个数与第三个数相同，即b=-2，所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环．
∵2021÷3=673…2，∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为-1．
故答案为：6，-1．
（2）∵6+（-1）+（-2）=3，∴2019÷3=673．
∵前k个格子中所填数之和可能为2019，2019=673×3或2019=671×3+6，∴k的值为：673×3=2019或671×3+1=2014．
故答案为：2019或2014．
（3）由于是三个数重复出现，那么前8个格子中，这三个数中，6和-1都出现了3次，-2出现了2次．
故代入式子可得：（|6+2|×2+|6+1|×3）×3+（|-1-6|×3+|-1+2|×2）×3+（|-2-6|×3+|-2+1|×3）×2=234．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，规律推导的运用，此类题的关键是找出是按什么规律变化的，然后再按规律找出字母所代表的数，再进行进一步的计算．
6．（1）n= 8；（2）-2.5或2.5；（3）n=4或n=12．
【解析】
【分析】
（1）根据“n节点”的概念解答；
（2）设点D表示的数为x，根据“5节点”的定义列出方程分情况，并解答；
（3）需要分类讨论：①当点E在BA延长线上时，②当点E在线段AB上时，③当点E在
AB延长线上时，根据BE=1
2
AE，先求点E表示的数，再根据AC+BC=n，列方程可得结论．
【详解】
（1）∵A表示的数为-2，B表示的数为2，点C在数轴上表示的数为-4，∴AC=2，BC=6，
∴n=AC+BC=2+6=8．
（2）如图所示：
∵点D是数轴上点A、B的“5节点”，
∴AC+BC=5，
∵AB=4，
∴C在点A的左侧或在点A的右侧，
设点D表示的数为x，则AC+BC=5，
∴-2-x+2-x=5或x-2+x-（-2）=5，
x=-2.5或2.5，
∴点D表示的数为2.5或-2.5；
故答案为-2.5或2.5；
（3）分三种情况：
①当点E在BA延长线上时，
∵不能满足BE=1
2 AE，
∴该情况不符合题意，舍去；
②当点E在线段AB上时，可以满足BE=1
2
AE，如下图，
n=AE+BE=AB=4；
③当点E在AB延长线上时，
∵BE=1
2 AE，
∴BE=AB=4，
∴点E表示的数为6，
∴n=AE+BE=8+4=12，
综上所述：n=4或n=12．
【点睛】
本题考查数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“n节点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般．
7．(1) a=-24，b=-10，c=10；(2) 点P的对应的数是-44
3
或4；(3) 当Q点开始运动后第6、
21秒时，P、Q两点之间的距离为8，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24=0，b+10=0，c-10=0，解可得a、b、c的值；
（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；
（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P 点在Q点右侧时，根据两点间的距离是8，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）∵|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0，
∴a+24=0，b+10=0，c-10=0，
解得：a=-24，b=-10，c=10；
（2）-10-（-24）=14，
①点P在AB之间，AP=14×
2
21
=
28
3
，
-24+28
3
=-
44
3
，
点P的对应的数是-44
3
；
②点P在AB的延长线上，AP=14×2=28，
-24+28=4，
点P的对应的数是4；
（3）∵AB=14，BC=20，AC=34，
∴t P=20÷1=20（s），即点P运动时间0≤t≤20，
点Q到点C的时间t1=34÷2=17（s），点C回到终点A时间t2=68÷2=34（s），当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，2t+8=14+t，解得t=6；
当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，2t-8=14+t，解得t=22＞17（舍去）；
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+8+2t-34=34，t=46
3
＜17（舍去）；
当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t-8+2t-34=34，解得t=62
3
＞20（舍去），
当点P到达终点C时，点Q到达点D，点Q继续行驶（t-20）s后与点P的距离为8，此时2（t-20）+（2×20-34）=8，
解得t=21；
综上所述：当Q点开始运动后第6、21秒时，P、Q两点之间的距离为8．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．
8．（1）30，120（2）①30﹣3t②5或20③﹣15或﹣483 4
【解析】
【分析】
（1）根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB＝30求出B点对应的数；根据AC＝4AB求出AC的距离；
（2）①当P点在AB之间运动时，根据路程＝速度×时间求出AP＝3t，根据BP＝AB﹣AP 求解；
②分P点是A、B两个点的中点；B点是A、P两个点的中点两种情况讨论即可；
③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次．设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇．第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中．根据AQ ﹣BP＝AB列出方程；第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中．根据CQ+BP＝BC
列出方程，进而求出P点在数轴上对应的数．
【详解】
（1）∵A点对应的数为60，B点在A点的左侧，并且与A点的距离为30，
∴B点对应的数为60﹣30＝30；
∵C 点到A 点距离是B 点到A 点距离的4倍，
∴AC＝4AB ＝4×30＝120；
（2）①当P 点在AB 之间运动时，
∵AP＝3t ，
∴BP＝AB ﹣AP ＝30﹣3t ．
故答案为30﹣3t ；
②当P 点是A 、B 两个点的中点时，AP ＝
12AB ＝15， ∴3t＝15，解得t ＝5；
当B 点是A 、P 两个点的中点时，AP ＝2AB ＝60，
∴3t＝60，解得t ＝20．
故所求时间t 的值为5或20；
③相遇2次．设Q 点在往返过程中经过x 秒与P 点相遇．
第一次相遇是点Q 从A 点出发，向C 点运动的途中．
∵AQ﹣BP ＝AB ，
∴5x﹣3x ＝30，
解得x ＝15，
此时P 点在数轴上对应的数是：60﹣5×15＝﹣15；
第二次相遇是点Q 到达C 点后返回到A 点的途中．
∵CQ+BP＝BC ，
∴5（x ﹣24）+3x ＝90，
解得x ＝1054
， 此时P 点在数轴上对应的数是：30﹣3×
1054＝﹣4834． 综上，相遇时P 点在数轴上对应的数为﹣15或﹣48
34
． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类讨论是解题的关键．
9．（1）3456;45678S S =+++=++++ ;(2) 方法不唯一，见解析；（3）方法不唯一，见解析
【解析】
【分析】
先找出前几项的钢管数，在推出第n 项的钢管数.
【详解】
（1）3456;45678S S =+++=++++
（2）方法不唯一，例如：
12S =
+ 1233S =+++ 123444S =+++++ 12345555S =+++++++ （3）方法不唯一，例如：
()()12.....2S n n n n =++++++
()()
()()=.....12.. (1112)
n n n n n n n n +++++++=+++ ()312
n n =+ 【点睛】
此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律.
10．（1）点P 在线段AB 上的
13处；（2）13；（3）②MN AB 的值不变. 【解析】
【分析】
（1）根据C 、D 的运动速度知BD=2PC ，再由已知条件PD=2AC 求得PB=2AP ，所以点P 在线段AB 上的13
处； （2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ 求得AQ=PQ+BQ ；然后求得AP=BQ ，从而求得PQ 与AB 的关系；
（3）当点C 停止运动时，有CD ＝12
AB ，从而求得CM 与AB 的数量关系；然后求得以AB 表示的PM 与PN 的值，所以MN ＝P N−PM ＝
112AB ． 【详解】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC ，
∴BD+PD=2（PC+AC ），即PB=2AP .
∴点P 在线段AB 上的
13
处； （2）如图：
∵AQ-BQ=PQ ，
∴AQ=PQ+BQ
，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，
∴PQ=1
3 AB，
∴
1
3 PQ AB
=
（3）②MN
AB
的值不变.理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=1
2 AB，
∴CM=1
4 AB，
∴PM=CM-CP=1
4
AB-5，
∵PD=2
3
AB-10，
∴PN=12
23
（AB-10）=
1
3
AB-5，
∴MN=PN-PM=
1
12
AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以
1
1
12
12
AB
MN
AB AB
==.
【点睛】
本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
11．（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．
【解析】
【分析】
（1）依据图形可知旋转角=∠NOB，从而可得到问题的答案；
（2）先求得∠AOC的度数，然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-
∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM与∠NOC的差即可；
（3）可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况，然后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可．
【详解】
（1）由旋转的定义可知：旋转角＝∠NOB＝90°．
故答案为：90°
（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．
理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°．
∴∠NOC＝60°﹣∠AON．
∵∠NOM＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
（3）如图1所示：当OM为∠BOC的平分线时，
∵OM为∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝∠BOC＝60°，
∴t＝60°÷5°＝12秒．
如图2所示：当OM的反向延长为∠BOC的平分线时，
∵ON为为∠BOC的平分线，
∴∠BON＝60°．
∴旋转的角度＝60°+180°＝240°．
∴t＝240°÷5°＝48秒．
故答案为：12秒或48秒．
【点睛】
本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算，求得三角板旋转的角度是解题的关键．
12．(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣9
2
和
7
2
；(2)正确的结论是：PM﹣
3
4
BN的值不
变，且值为2.5．【解析】
【分析】
（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的
点，由此求得1
2
BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a
＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根
据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣3
4
BN和②
1
2
PM+
3
4
BN求出其值即
可解答．
【详解】
(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝5．
解方程2x+1＝1
2
x﹣5得x＝﹣4．
所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．
所以．
设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，
①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，
PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，
解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；
②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；
③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，
所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．
(2)设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．
∵PA的中点为M，
∴PM＝1
2
PA＝．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BN＝PB＝×（n﹣2）．
∴PM﹣3
4
BN＝﹣
3
4
××（n﹣2），
＝（不变）．
②1
2
PM+
3
4
BN＝+
3
4
××（n﹣2）＝
3
4
n﹣（随P点的变化而变化）．
∴正确的结论是：PM ﹣BN 的值不变，且值为2.5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
13．(1)5 ；(2)点F 表示的数是11.5或者-6.5；(3)127
t =
或6t =. 【解析】
【分析】
（1）由AP=2可知PB=12-2=10，再由点M 是PB 中点可知PM 长度；
（2）点P 运动3秒是9个单位长度，M 为PB 的中点，则可求解出点M 表示的数是2.5，再由FM=2PM 可求解出FM=9，此时点F 可能在M 点左侧，也可能在其右侧；
（3）设Q 运动的时间为t 秒，由题可知t=4秒时，点P 到达点A ，再经过4秒点P 停止运动；则分04t ≤≤和48t <≤两种情况分别计算，由题可知即可QM=2PM=BP ，据此进行解答即可.
【详解】
(1)5 ；
(2)∵点A 表示的数是5-
∴点B 表示的数是7
∵点P 运动3秒是9个单位长度，M 为PB 的中点 ∴PM=
12
PB=4.5，即点M 表示的数是2.5 ∵FM=2PM
∴FM=9
∴点F 表示的数是11.5或者-6.5
(3)设Q 运动的时间为t 秒， 当04t ≤≤时，由题可知QM=2PM=BP ，故点Q 位于点P 左侧，
则AB=AQ+QP+PB ，而QP=QM-PM=2PM-PM=
12BP ，则可得12=2.5t+12⨯3t+3t=7t ，解得t=127
； 当48t <≤时，由题可知QM=2PM=BP ，故点Q 位于点B 右侧，
则PB=2QB ，
则可得，()()123422.512t t --=-，整理得8t=48，解得6t =.
【点睛】
本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，第3问要根据题干条件分情况进
行讨论，作出图形更易理解.
14．（1）2或10；（2）当t为5秒、10秒或7.5秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．
【解析】
【分析】
（1）设所求数为x，根据优点的定义分优点在M、N之间和优点在点N右边，列出方程解方程即可；（2）根据优点的定义可知分三种情况：①P为（A，B）的优点；②P为（B，A）的优点；③B为（A，P）的优点．设点P表示的数为x，根据优点的定义列出方程，进而得出t的值．
【详解】
解：（1）设所求数为x，
当优点在M、N之间时，由题意得x﹣（﹣2）=2（4﹣x），解得x=2；
当优点在点N右边时，由题意得x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10；
故答案为：2或10；
（2）设点P表示的数为x，则PA=x+20，PB=40﹣x，AB=40﹣（﹣20）=60，
分三种情况：
①P为（A，B）的优点．
由题意，得PA=2PB，即x﹣（﹣20）=2（40﹣x），
解得x=20，
∴t=（40﹣20）÷4=5（秒）；
②P为（B，A）的优点．
由题意，得PB=2PA，即40﹣x=2（x+20），
解得x=0，
∴t=（40﹣0）÷4=10（秒）；
③B为（A，P）的优点．
由题意，得AB=2PA，即60=2（x+20）
解得x=10，
此时，点P为AB的中点，即A也为（B，P）的优点，
∴t=30÷4=7.5（秒）；
综上可知，当t为5秒、10秒或7.5秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解优点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
15．（1）1；（2）点P运动5秒时，追上点R；（3）线段MN的长度不发生变化，其长度为5.
【解析】
试题分析：（1）由已知条件得到AB=10，由PA=PB，于是得到结论；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC=6x BC=4x，AB=10，根据AC-BC=AB，列方程即可得到结论；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．
试题解析：解：（1）（1）∵A，B表示的数分别为6，-4，
∴AB=10，
∵PA=PB，
∴点P表示的数是1，
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R（如图）
则：AC＝6x BC＝4x AB＝10
∵AC－BC＝AB
∴ 6x－
4x＝10
解得，x＝5
∴点P运动5秒时，追上点R.
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下：
分两种情况：
点P在A、B之间运动时：
MN＝MP＋NP＝AP＋BP＝（AP＋BP）＝AB＝5
点P运动到点B左侧时：
MN＝MP－NP＝AP－BP＝（AP－BP）＝AB＝5
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5.
点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用、数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解．。