数列的求和 复习2
数列的求和(精华版) 适合高三复习用 可直接打印
数列的求和例1．求和：①个n n S 111111111++++=②22222)1()1()1(n nn xx x x x x S ++++++=③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a 个)101010[(91)]110()110()110[(9122nS nn n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=n nn xx x x x x Snxx x x x x n n2)111()(242242++++++++=（1）当1±≠x时，（2）n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时③)]1()12[()12(2)12(-+-+++++-=k k k k k a kkk k k k 23252)]23()12[(2-=-+-=)21(23)21(2522221n n a a a S n n +++-+++=+++=2)1(236)12)(1(25+-++⋅=n n n n n )25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
2．错位相减法求和例2．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a an a a n ，求前n 项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,-n aa a a对应项积，可用错位相减法求和。
解：()1)12(53112--++++=n na n a a S ()2)12(5332nnan a a a aS -++++=()()nn n a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---当nn n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+当2,1nS a n ==时3.裂项相消法求和例3.求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: )12)(12(11)2()12)(12()2(22+-+-=+-=k k k k k k a k)121121(211)12)(12(11+--+=+-+=k k k k )]121121()5131()311[(2121+--++-+-+=+++=n n n a a a S n n 12)1(2)1211(21++=+-+=n n n n n练习:求n n an a a a S ++++= 32321答案: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=)1()1()1()1()1(2)1(2a a a a n a a a n n S n nn4.倒序相加法求和 例4求证：nn nnnnn C n C C C 2)1()12(53210+=+++++思路分析：由m n nm n C C -=可用倒序相加法求和。
高考数学二轮复习数列求和及其综合应用
(2)在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0，Sn 是数列 {an}的前 n 项和，若对 n∈N*，不等式 an(λ－2Sn)≤27 恒成立，则实数 λ 的 取值范围为_(－__∞__，__1_7_]_.
∵a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1， Sn＝11－－33n＝32n－12， ∴不等式 an(λ－2Sn)≤27 即 λ≤2Sn＋2a7n＝3n＋32n－71－1 对 n∈N*恒成立，
所以 2an1
2an
＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以 a24＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)， 解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4， 因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项， 所以Sn＋1＝2bn， 当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1， 两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1， 当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1， 所以b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝ log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋ an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
数列求和的常用方法专题复习
专题复习数列求和的常用方法．1．公式法(1) 如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接用等差、等比数列的前项和公式，注意等比数列公比的取值情况要分或.① 等差数列前项和：② 等比数列前项和：(2) 一些常见数列的前项和公式：①②③④⑶常见类型及方法① 利用等差数列前项和公式直接求解；② 利用等比数列前项和公式直接求解；③ 数列是等比数列或等差数列，采用分组求和法求的前项和. 2．倒序相加法例题：已知函数点是函数图象上的任意两点,且线段的中点的横坐标①点的纵坐标为定植；②在数列中,若求数列的前项和．练习：⑴若函数对任意都有．①，数列是等差数列吗？是证明你的结论；②求数列的前项和．⑵已知>①求的值；②记求．③设求数列的前项和．3．分组转化求和法例题：求数列的前项和.练习：⑴已知函数点在的图象上的前项和为.①求使<0的的最大值．②求.⑵求和：．⑶数列中≥2).① 求的值；② 证明：数列是等比数列，并求的通项公式；③ 求数列的前项和.⑷在数列中设.①求证：数列是等比数列；②求数列的前项和．4．错位相减法例题：设数列的前项和为为等比数列，且.(1)求数列和的通项公式；(2)设,求数列的前项和.练习：⑴已知单调递增的等比数列满足：且是的等差中项．① 求数列的通项公式；② 若对任意正整数<0恒成立，试求的取值范围．⑵等比数列的前项和为，已知对任意的点均在函数＞0且均为常数)的图象上.①求的值；②当时，记求数列的前项和.⑶设数列满足.①求数列的通项公式；②令求数列的前项和.5．裂项相消法常用拆分公式：例题:等差数列的各项均为正数前项和为为等比数列且.(1)求与；(2)求.练习：已知数列的前项和为，点在函数的图象上，①求数列的通项公式；② 设求数列的前项和．达标训练：1．设数列{是等差数列,是它的前项的和，已知=7,=75,为数列的前项的和,求．2．已知数列中,，且，求．3．设正数数列{}的前项和满足．.求：（I）求数列{}的通项公式；（II）设的前项和为，求．4．已知数列满足,它的前项和为，且，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知等比数列满足,,设数列的前项和为，求．5.设数列前项和为且其中为常数,(1) 求证: 是等比数列;(2) 数列的公比,数列满足求证:为等差数列,求.6.已知函数的图象过原点,且关于点成中心对称.（1）求函数的解析式；（2）若数列满足：＞求数列的通项公式；（3）若数列的前项的和为,判断与2的大小关系,并证明你的结论. 7．数列的前项和是，数列满足：．(1)求证：数列是等比数列，并写出其通项公式； (2)求的通项公式．8.设函数的定义域为,当＜0时,＞1，且对有（Ⅰ）求,判断并证明函数的单调性；（Ⅱ）数列满足,且.①求通项公式;(3) ②当时,不等式对不小于2的正整数恒成立,求取值范围.9.已知,是函数图象上两点，且线段中点的横坐标是.（1）求证：点的纵坐标是定值；（2）若数列的通项公式是…，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.10.已知函数是图象上两点，横坐标为的点满足是坐标原点（1）求证：为定值.（2）若（3）已知其中为数列的前项和，若<对一切都成立，试求的取值范围.。
高考数学《数列求和及综合应用》复习
C. 2019
2020
√D. 2020 2021
由
a1
1 2
，an1
1 2 an
，得 a2
1 2 a1
2 3
，a3
3 4
，归纳可得
an
n
n
1
.当
n
1
时，a1
1 2
满足
an
n.
n 1
假设当 n k 时满足，即 ak
k
k 1
，当
n
k
1 时，
ak 1
1 2 ak
1 2 k
k 1 ，满足该式，故
an
SS1n,
n
1 Sn1, n
2, n N
只有 a1 S1 ，满足 n 2 的情形，通项公式才可以统一写成 an Sn . Sn1
1.已知数列an
满足
a1
1 2
，
an1
2
1 an
n N*
，则 a1
a2 22
a3 32
a2020 的值是(
20202
)
A. 2018
2019
B. 1009
3.以等差（比）数列为命题背景，考查等差（比）的前n项和公式、 分组求和 4.以递推数列、等差（比）数列为命题背景， 考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
考点解读
5.等差（比）数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和 6.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、 不等式的性质等
2.已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2n1 2 ，
则数列
log
2
an
1 log2
an1
数列综合复习二数列求和
数列求和教学目标 ：进一步理解数列求和的常用方法，培养学生运用各种方法解决简单的数列求和问题。
教学过程： 活动一：【自主梳理】 1．求数列前n 项和n S 主要方法： 2．等差数列求和公式： 或 推导方法： 等比数列求和公式： 推导方法： ３．常见的裂项公式有： （1）=+)1(1n n （2）=+)2(1n n （3）=++11n n活动二： 【例1】数列 ,21,813,412,211n n +的前n 项和为n s ，求n s ； 练习：(1)求和：=-++++)12(531n (2)求和：=+++10022221(3) ,5555,555,55,5的前n 项和为【例2】数列{n a }的前n 项和为S n ，若1(1)n a n n =+错误！未找到引用源。
，求n s ；练习：（1）求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n 。
（2）．数列 11,,321,211++⋅⋅⋅++n n 的前n 项和为【例3】(1)已知12-⋅=n n n a ，求数列｛a n ｝的前n 项和n s(2)已知函数()222x x f x =+， 128910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=练习：（1）()2122221-4-32-1n n -+++ 的值为（2）数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的前99项之和为【例4】已知数列12)12(,,5,3,1--n a n a a ，求前n 项和。
三、课后作业:1．设{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，则数列}12{-n a 的前n 项和为 2．数列11×3，13×5，15×7，…，1n －n ＋…的前n 项和为4．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是5．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列}1{1+n n b b 的前n 项和S n ＝___ ____6．已知f (x )＝4x4x ＋2，则=+++)1110()112()111(f f f7．已知数列{a n }，a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，且数列{a n }的前n 项和S n ＝9，那么n 的值为8．,212,,25,23,2132n n -的前n 项和为 9．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．10．在等差数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，b 1＝1，且 b 2＋S 2＝12，{b n }的公比q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.学案36 数列求和一、课前准备： 【自主梳理】1．求数列前n 项和n S 主要方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法2．等差数列求和公式：2)(1n a a S n n +=或 d n n na S n 2)1(1-+= 推导方法：倒序相加法 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 推导方法：错位相减法３．常见的裂项公式有： （1）=+)1(1n n 111+-n n（2）=+)2(1n n )211(21+-n n （3）=++11n n n n -+1【自我检测】１．求和：=-++++)12(531n 2n ２．求和：=+++10022221 12101-３．数列11,,321,211++⋅⋅⋅++n n 的前n 项和为11-+n4．数列 ,21,813,412,211n n +的前n 项和为n n n 21232-++ 5．已知函数()222xx f x =+，则=-+)1()(x f x f 1128910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=296． ,5555,555,55,5的前n 项和为n n 95)110(8150-- 二、课堂活动：【例1】填空题：（1）数列{n a }的前n 项和为S n ，若1(1)n a n n =+错误！未找到引用源。
高中数学《数列》复习专题
1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解：
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解： 设 为待定系数， an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则 令 ， 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项， 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和： 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和： + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾：求等差数列的通 项公式：— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知， a2 a1 d 当n 2时， a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d
高考数学 数列专题复习二 数列求和素材(教师版)
数列专题复习二 数列求和（教师版）1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()3* ()()2221121216n n n n +++=++ ；()4* ()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦ ； 2.错位相消法：给12n n S a a a =+++ 各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和n S .一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()3* ()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；()41a b=--；()5*1k=；5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
6导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答. 7.递推法.8.奇偶分析法.一． 基本公式法例1． =+++++13742222n 练1．=++++98852 练2.123232323232-++++n =二．错位相消法例).0()12(531:112≠⋅-++++=-a an a a S n n ：求和.)1()1(21)12(1,1)1(2)12(1)12()(21)(1② ①②)12()32(53①)12(53101.2)]12(1[)12(531121112132122a aa aan S a aa an an aaa S a a n an a a a aSan a a S a a n nn n S a n nn n nnn n nn nn n n --+-⋅--=∴--+--=--++++=---+-++++=-++++=≠≠=⋅-+=-++++==----- 得时，，当时，解：当例2．已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=. 解．当),12(22)52(2)32()12(,21-=⋅--⋅-=⋅-≥+n n n a n n nnn n 时;14,2.4)2(2,4;2111-=-=≥⎩⎨⎧-=≥=-==∴-n S S b n a n a a a n n n n n nn 时当得而 而.)2(141,111⎩⎨⎧≥-===n n b b b n得 )14(215211272)],14(211272[443232-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+-=∴n s n W nnn 记)14(2)54(2112722143-+-++⨯+⨯=∴+n n s n n ②， ①－②得)14(2)222(428143--++++=-+n s n n).54(2),54(24),45(24)14(2)12(322811112-=-+=∴-+-=---+=++++-n W n s n n n n n n n n 得练1. 已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+=解. nn n b n a )109(,1=+=为等差数列 为等比数列，∴应运用错位求和方法：.)109()10(999),10()109(1099)109()1(])109(1[108159)109()1(])109()109()109[(59101:,)109()1()109(3)109(2109;)109()1()109(31092111321322nn n n nn nn n n nn n S n n n S n S n S ⨯+-=∴+-=⨯+--⨯+=⨯+-++++=⨯+++⨯+⨯=∴⨯+++⨯+⨯=++++ 两式相减得①练2. 已知数列nn n b 4249⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
必修五第二章 数列 复习课【2】求数列前N项和的常用方法【原创】
例1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的 ：设等差数列 ，公差为 ，求证： 的 项和S 前n项和 n=n(a1+an)/2 项和 解：Sn=a1+a2+a3+...+an ① 倒序得： 倒序得： Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ② ①+②得： ② 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 ∴2Sn=n(a2+an源自 Sn=n(a1+an)/2
6
类型三、用裂项相消法求数列的前 项和 类型三、用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和 项和。 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 项和。
例3 求数列 的前n项和 的前 项和Sn 项和
点拨：由推导过程可看出， 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法是借助 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，即与首末项等距的两项 ， 之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实 现的。 现的。
类型二、用公式法求数列的前n项和 类型二、用公式法求数列的前 项和
对等差数列、等比数列，求前 项和 项和S 对等差数列、等比数列，求前n项和 n，可直接用 等差、等比数列的前n项和公式进行求解 项和公式进行求解。 等差、等比数列的前 项和公式进行求解。运用公式求 注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 解时，要注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 例2：求数列 ： 和 Sn 的前n项 的前 项
等差数列求和(2)
等差数列的前n 项的和（2）教学目标：（1）能熟练地应用等差数列前n 项和公式解决有关问题； （2）能利用“公式法”、“裂项相消法”等常用方法求一些特殊数列的和；教学重点，难点1．等差数列前n 项和公式的应用；2．数列通项公式与前n 项和之间的关系的应用。
教学过程一．复习回顾1、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+2、等差数列{}n a 中，2519a a +=，540S =，则10____________a =；3、数列n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩二．应用例1、已知数列}{n a 中，128,2a a ==且满足212n n n a a a ++=-,求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S例2、数列{}n a 的通项公式为*)()1(1N n n n a n ∈+=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，求10S ．例3、等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且723n nS n T n +=+，求77a b 的值。
例4、数列{}n a 是首项为22，公差为整数的等差数列，且50a >，60a <， （1）求公差d ；（2）设前n 项和为n S ，求n S 的最大值；（3）当n S 为正数时，求n 的最大值。
备选练习： 1、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.2、在等差数列{}n a 中,已知848S =，12168S =，求1a 和d 。
3、教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？（说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。
第四章 数列(数列求和)典型例题复习 附答案
1(n f n-+{}a n f n ⎛+ +⎝{}n a 是递增的等差数列，8n a ∴=-（2） 设82n b +=(02n S ∴=()()2121321242n n n n a b a a a b b b --++=+++++++()41n- ·山东·枣庄市第三中学高三期中）在①22n n S a =-；②314S =；③3S ，22S +，1S 成等差数列这三个条件是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =且______． 2，又∵，∴22q +2，∴n a 31S S =+，123a a a ++22q --=2，1(n f n-+n f n -⎛+ ⎝2n -⎫+⎪⎭()1f ++12n + ·全国·高二课时练习）已知函数()f x .2020122020202120212021b g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①20191202020191202120212021b b g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②)1=，20202020=， ·全国·高二课时练习）已知函数()21122f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为4951=a a 4915ln 2ln a a a ==98)(ln (ln f a f a +=399(ln )(ln )++a f a ①，97(ln )f a ＋…＋1(ln )f a ②，992=. 1122,),(,)x y B x y 是函数n f n ⎛+ +⎝的横坐标为12，故x 21log x x =+-1n n ⎛+- ⎝·河南信阳·高二期中（文））在等差数列{}n a ，求证：16n T <131n ⎛+ -⎝·贵州师大附中高二月考（理））数列的前n 项和）12n a a +=由此可得数列{a 2的等比数列，利用等比数列通项公式得：所以数列{}n a 的通项公式为：）由（1）得)121n c =++n c +1121n ⎛⎫++ +⎛⎝= ⎝题型四：错位相减法·宁夏·六盘山高级中学高二期中（理））已知数列{}n a 的首项 ，n n c a b =1}为等比数列；3n n ⋅，①13n n ++⋅，②3++-n n )113n n +-⋅=1n b -++()221n ++-()321n ++-322n n +++-)(1121n n n +-+⋅=·全国·高二课时练习）求数列2n + (n ∈N *). 2n n+，①4132n n+++，②231111122222nn n ，2或q =((20212,2021,nn n -()12222n n -++=1022021T =-).11≥ ·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前55n n > n b a +-)()155552n n n b a a b a b ++-+-++-=-12222,54294,5n n n n n n ++--+>. ·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前n 项和为214n S n n =-..n a ++3,4,n q a ==60. (k a pn =+n a +)n a +()323124nn n n ⎤+-+++-=⎦2n a a +++)345n a a a a +++++()1232n a a a a +-++()22111431121622n n n n ++++-⋅-=-·广东福田·高三月考）已知{}的通项公式；()2na =-)()(2124531n n -+-++++=-217422n n n n S +++-=-+； 12342n b b b b b S S --++++=-+2174,3,23.n n n ++++<.。
数列求和-高考复习
(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项
可以相互抵消,从而求得其和.
常见的裂项公式:
1
①
(+)
=
1 1
1
+
1
②(2-1)(2+1)
1
③(+1)(+2)
④
1
+ +
=
;
=
1
1
1
2 2-1 2+1
=
1
1
1
2 (+1) (+1)(+2)
1
(
;
+ − ).
;
常用结论
常用求和公式
n(n+1)
(1)1+2+3+4+…+n= 2 ;
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;
2
2
2
3
3
3
3
n(n+1)(2n+1)
=
;
6
2
(3)1 +2 +3 +…+n
(4)1 +2 +3 +…+n =
n(n+1) 2
.
2
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
2+1
考向 2 形如 an=
1
(+)+
α
【例 4】 已知函数 f(x)=x 的图像过点(4,2),令
{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2 020=(
高三数学数列求和
的前n项和.
数列求和的方法：
3. 分组法求和：
1 例4. 设正项等比数列{an}的首项 a1 , 2
前n项和为Sn，且
(1) 求{an}的通项;
210S30－(210＋1)S20＋S10 ＝0. (2) 求{nSn}的前n项和Tn.
数列求和的方法：
3. 分组法求和： 例5. 求数列
1, 1 a , 1 a a , ,1 a a a
2 2
n 1
,
的前n项和Sn.
数列求和的方法：
4. 裂项法求和： 例6. 求和:
1 1 1 1 . 1 2 1 2 3 1 2 n
数列求和的方法：
4. 裂项法求和： 例7. 求数列 1 1 , , , 1 2 2 3 的前n项和Sn.
1 n n1
湖南省长沙市一中卫星远程学校
,
课堂小结
常用数列求和方法有： (1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列 求和公式; (2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等 差数列、等比数列求和问题； (3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列 求和； (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组 合数列求和；
课堂小结
常用数列求和方法有： (5) 并项求和法: 将相邻n项合并为一项求 和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n部分 求和； (7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两 项之差，从而在求和时产生相消为零 的项的求和方法.
课后作业
《学案》P.62 单元检测题.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
思考题
1 1 1 1. 求数列： 2 , 4 , 6 , 前n项的和. 4 8 16 1 2 n 2. 在数列{a n }中： an , n1 n1 n1 2 又bn , 求数列{bn }的前n项的和. a n a n1
数列专项复习2-数列求和的方法-教师
数列求和的方法知识精要1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 热身练习 1. 已知：{}n a 是等比数列，且a a =1，公比是r ，n S 是{}n a 的前n 项的和，记nS S S M +++= 21，求M解：（1）当1=r 时，naS n =，所以a n n na a a M 2)1(2+=+++=（2）当1≠r 时，r r a S n n --=1)1(，所以()21211)(r r r nr n a S S S M n n -+--=+++=+2. 设等比数列{}n a 的前n 项的和n S ，积为n P ，倒数和为n T ，求证：nn n n T S P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2证法1： 设首项为a ，公比为q（1）当1=q 时，na S n =，n n a P =，a n T n =，于是n n a P 22=，n nn n a T S 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，故成立； （2）当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(，2)1(-=n n n n q a P ，)1(11--=-q aq q T n n n ，所以)1(22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n nn n n qa T S P ，故成立。
数列求和专项复习答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列 各项为正， ， ，记 ， ，则
A． B．
C． D．
2．已知数列 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
二、填空题
3．已知数列 中， ， ，前n项和为 .若 ，则数列 的前15项和为______.
①当 为偶数时， ；
由 得： ，又 ， ；
②当 为奇数时， ；
综上所述：满足 的最小正整数 的值为 .
10．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由题知 ，进而结合 得数列 是等差数列，进而得答案；
（2）结合（1）得 ，进而根据错位相减法求解即可.
（1）
解： （ ），
当 时， ，∴ ，
当 时，由 ，得 ①
（2）结合（1）写出 的表达式，利用裂项相消的方法求出 ，即可证明结论.
（1）
(i）证明：∵数列 均为正项数列，其中 ，
且满足 成等比数列， 成等差数列，
∴ ， ,
∴ ， ,
∴ ， ，即 ，
∴ ， ，
∴{ }是等差数列．
（ii）∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
．
（2）
证明：∵
，
∴
，
∴ ．
12．答案见解析
若补充条件②： ，
由 ，即 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
由于该数列 是递减数列，所以不存在k，使得 取最小值，故实数λ不存在．
若补充条件③： ，
由 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
由等差数列 的前n项和 存在最小值 ，则 ，
高三数学复习《数列的求和》导学提纲2
第10课《数列的求和2》导学提纲（学生用）班级: 姓名: 小组: 评价: 【学习目标】1．理解数列求和的常见求法．2．掌握数列求和的倒序相加法、分组求和法、裂项相消法【重点难点】重点：裂项相消法难点：裂项相消法【导学流程】一、【导入】回归教材1倒序相加法如果一个数列{a n}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．2分组求和法将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为分组求和，运用这种方法的关键是分组求和．3裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的．用裂项相消法求和的关键是将其通项公式准确进行裂项，求解时应注意两个方面：一要掌握一些常见的裂项，如1n（n＋1）＝________________．1n（n＋2）＝________________．1n＋1＋n＝_______________．二、【思】请认真消化回归教材部分并独立完成以下例题。
题型一倒序相加法例1设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．题型二通项分解法(分组求和)例2(2016·邯郸一中月考)数列32，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和S n的值等于()A．n2＋1－12n B．2n2－n＋1－12n C．n2＋1－12n－1D．n2－n＋1－12n题型三裂项相消法例3求和：(1)S n＝11×2＋12×3＋…＋1n（n＋1）；(2)S n＝11×3＋12×4＋…＋1n（n＋2）.三、【议】1学生两两对议，互教互学；2 学生组议，能者为师；四、【展】抽签确定上台展示同学五、【评】师生点评，课堂小结六、【堂测堂练】(2015·福建)等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值。
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5．并项求和（会用到奇偶讨论）：
例5．(1) 1 3 5 7 (1) n (2n 1)
(2)已知数列an ,
an 2[n (1) ], 求S n
n
例6、某教师购买安居工程集资房72m2，单价为 1000 元 / m2，1 次性国家财政补贴 28800 元，学 校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发 公司对教师实行分期付款，每期1年，等额付款， 签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款 1次等等，共付10次，10年后还清，如果按年利 率 7.5% ，每年复利 1 次计算，那么每年应付多 少元？ （计算结果精确到百元，下列数据供参考：）
四、作业
1 1 1 1 1. 求前n项的和:⑴1 ,3 ,5 ,... (2n 1) n 2 4 8 2 ⑵ 1 1 3 1 5 1 (2n 1) 1 2 4 8 2n
(3)
1 1 1 1 ⑷ , , ,... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... n
n个
(4) 1+(1+a)+(1+a+a2)+…+(1+a+a2+…+an-1) 抓住通项，具体化Sn
对于不同的类别，可采用分组求和的方法
2．错位相减法求和 例2．已知数列
1,3a,5a ,, (2n 1)a
2n1ຫໍສະໝຸດ (a 0)求前n项和。
1 2 3 n 练习:求 S n 2 3 n ( a 0) a a a a
1.075 1.921 ,1.075 2.065 ,1.075 2.221
2 10 11
三、小结 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）公比含字母时一定要讨论 q 1或q 1 （2）利用公式求和： 2．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转 化为等差或等比数列，再求和。 3．错位相减法求和： 4．裂项法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负 相消剩下首尾若干项。 5．倒序相加法求和 6．并项求和（会用到奇偶讨论）：
1．用公式求和及分组求和： 例1．求和： ① S n ( x 1 ) 2 ( x 2 12 ) 2 ( x n 1n ) 2
x x x
②求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，… 前n项和 S n ③ S 1 11 111 111
n
3.裂项法求和 例3
22 42 (2n) 2 (1)求和 S n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1)
1 1 1 (2)求和 Sn ..... 2 1 3 2 n 1 n
4.倒序相加法求和
例4：已知当x+y=n（ x, y R, n N ）时 f(x)+f(y)=5, 求f(0)+f(1)+f(2)+……+ f(n)的值
1 1 (1), ( , ), ( , , ), ( , , , ), , 2 4 8 16 32 64 128 256 512
问：⑴第一组到第k组共有几个数？ ⑵第k组的首数和尾数各是多少？ ⑶求第k组各数之和及前k组各数之和.
4. 数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2－2an+1+an=0 （n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式. （2）设bn=（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，是否存在 最大的整数m，使得任意的n均有Sn＞总成立？若存 在，求出m；若不存在，请说明理由.
公比含字母是一定要讨论
a1 S 0 q 1 无穷递缩等比数列时， 1 q n n ( n 1 ) （2）利用公式法求和 k 2 k 1 n n n(n 1) 2 n(n 1)(2n 1) 3 2 k [ ] k 6 2 k 1 k 1
2．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使 其转化为等差或等比数列，再求和。 3．错位相减法求和： an 等差, bn 等比, 求a1b1 a2b2 an bn的和. 如： 4 ．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项： 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n n(n 1) n n 1
1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 [ ] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
5．倒序相加法求和 6．并项求和（会用到奇偶讨论）：
如：1002 992 982 972 2 2 12 求的和
复习2:数列的求和
一、基本方法 1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。
n(a1 a n ) n(n 1) Sn na1 d 2 2 na1 (q 1) n a ( 1 q ) a1 a n q Sn 1 (q 0且q 1) 1 q 1 q
1 1 1 1 , , , ... 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6
⑸ 1·2·3+2·3·4+3·4·5+…+n(n+1)(n+2)
2.已知数列｛an｝的通项公式为 an=(－1) n－1· (4n－3),求它的前n项之和
1 n 1 3.将数列{( ) }按如下分组： 2 1 1 1 1 1 1 1