巧算和速算方法

校本课程数学计算方法
目录
第一讲生活中几十乘以几十巧算方法
1.十几乘十几：
口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。

例：12×14=？
解: 1 ×1 = 1
２＋４＝６
２×４＝８
12×14=168
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

２.头相同，尾互补(尾相加等于10)：
口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。

例：23×27=？
解：２＋１＝３
２×３＝６
３×７＝21
23×27=621
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。

例：37×44=？
解：3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

４.几十一乘几十一：
口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。

例：21×41=？
解：2×4=8
2+4=6
1×1=1
21×41=861
５.11乘任意数：
口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。

例：11×23125=？
解：2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11×23125=254375
注：和满十要进一。

６.十几乘任意数：
口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。

例：13×326=？
解：13个位是3
3×3+2=11
3×2+6=12
3×6=18
13×326=4238
注：和满十要进一。

第二讲常用巧算速算中的思维与方法（1）
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。

例如着名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为
1+2 +……+99+100
所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
=101×100÷2
=5050
“3+5+7+………＋97+99=？
3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。

这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。

张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。

初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。

问织几何？”
题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。

她第一天织了5 尺布，最后一天织了1 尺，一共织了30 天。

问她一共织了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。

”“答曰：二匹一丈”。

这一解法，用现代的算式表达，就是
1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，
90 尺=9 丈=2 匹1 丈。

张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来，算式就是：5＋…………＋1
在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。

若把这个式子反过来，则算式便是：1+………………＋5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。

同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。

假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：
所以，加得的结果是6×30=180（尺）
但这妇女用30 天织的布没有180 尺，而只有180 尺布的一半。

所以，这妇女30 天织的布是
180÷2=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。

第三讲常用巧算速算中的思维与方法（2）
方法一：分组计算
一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。

例如：
求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。

这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“10 亿个自然数之和”。

什么是“数字之和”？例如，求1 到12 这12 个自然数的数字之和，算式是
1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1＋2=5l。

显然，10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。

怎么办呢？我们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。

然后，将它们分组：
0 和999，999，999；1 和999，999，998；
2 和999，999，997；
3 和999，999，996；
4 和999，999，995；
5 和999，999，994；
……… ………
依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他的自然数与添上的0 共10 亿个数，共可以分为5 亿组，各组数字之和都是81，如
0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
2+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋7=81
………………
最后的一个数1，000，000，000 不成对，它的数字之和是1。

所以，此题的计算结果是
（81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
方法二：由小推大
计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。

例如：
（1）计算下面方阵中所有的数的和。

这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。

不妨先化大为小，再由小推大。

先观察“5×5”的方阵，如下图（图）所示。

容易看到，对角线上五个“5”之和为25。

这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。

所以，“5×5”方阵的所有数之和为
25×5=125，即53=125。

于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。

（2）把自然数中的偶数，像图那样排成五列。

最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。

那么2002 出现在哪一列：
图
因为从2 到2002，共有偶数2002÷2=1001（个）。

从前到后，是每8 个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。

所以，由1001÷8=125…………1，可知这1001 个偶数可以分为125 组，还余1 个。

故2002 应排在第二列。

方法三：凑整巧算
用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。

例如
（1）+=（90＋10）+（9+1）＋（+）=111
（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
=125×8-5
=1000-5
=995
第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）
方法一：巧妙试商
除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。

（1）用“商五法”试商。

当除数（两位数）的10 倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。

如70÷14=5，125÷25=5。

当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。

“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“ 5”。

例如1248÷24=52，2385÷45=53
（2）同头无除商八、九。

“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。

“无除”仍指被除数前两位不够除。

这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8 或商9。

5742÷58=99，4176÷48=87。

（3）用“商九法”试商。

当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10 倍时，可以一次定商为“9”。

一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n 时，n 除m 的商才是9。

同样地，10n≤m＋n＜11n。

这就是我们上述做法的根据。

例如4508÷49=92，6480÷72=90。

（4）用差数试商。

当除数是11、12、13…………18 和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。

若差数是1 或2，则初商为9；差数是3 或4，则初商为8；差数是5 或6，则初商为7；差数是7 或8，则初商是6；差数是9 时，则初商为5。

若不准确，只要调小1 就行了。

例如
1476÷18=82（18 与14 差4，初商为8，经试除，商8正确）；
1278÷17=75（17 与12 的差为5，初商为7，经试除，商7 正确）。

为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。

方法二：恒等变形
恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。

它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。

例如
（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）
=1800＋100
=1900
（2）（+）-（+）
=
=
第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）
方法一：拆数加减
在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。

（1）拆成两个分数相减。

例如
又如
（2）拆成两个分数相加。

例如
又如
方法二：同分子分数加减
同分子分数的加减法，有以下的计算规律：
分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。

分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。

例如
（注意：分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。

）
由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，
根据这一关系，我们也可以简化运算过程。

例如
方法三：先借后还
“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。

例如
做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。

现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。

第六讲常用巧算速算中的思维与方法（5）
方法一：个数折半
下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。

（1）分母相同的所有真分数相加。

求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。

这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。

（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。

比方
（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折
半法”求得数。

比方
方法二：带分数减法
带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。

（1）减数凑整。

例如
（2）交换位置。

例如
在这两种方法中，第（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。

例如
第七讲常用巧算速算中的思维与方法（6）
方法一：带分数乘法
有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。

（1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1，则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1 的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。

例如
（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。

例如
（注：这是根据“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出来的。

）
（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。

这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。

例如
读者自己去试一试，此处略）。

方法二：两分数相除
有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：
（1）分子、分母分别相除。

在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。

不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。

例如
（2）分母相除，一次得商。

在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。

例如
（注：用除法法则可以推出这种方法，此处略。

）
第八讲小数的速算与巧算
【知识精要】
凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。

用的时候主要看末位。

但是小数计算中“小数点”一定要对齐。

【例题精讲】
<一>凑整法
例1、计算+++。

【分析】与刚好凑成10，与刚好凑成3，这样先凑整运算起来会更加简便。

【解答】原式=（+）+（+）
=10+3
=13
【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”等，是加减法速算的重要方法。

例2、计算：+++1999。

【分析】因为小数计算起来容易出错。

刚好1999 接近整千数2000，其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。

再把多加的那部分减去。

【解答】+++1999
=2+20+200+【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。

“”刚好与“2”相差，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。

但是，一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。

“多减的”要“加上”！
第九讲乘法速算1
一．前数相同的：
.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)×10+A×B
方法：百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：13×17
13 + 7 = 2- - （“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
3 ×7 = 21
-----------------------
221
即13×17= 221
.十位是1,个位不互补,即A=C=1, B+D≠10,S=(10+B+D)×10+A×B
方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：15×17
15 + 7 = 22- （“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
5 ×7 = 35
-----------------------
255
即15×17 = 255
.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×(A+1)×10+A×B
方法:十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积
例：56 ×54
(5 + 1) × 5 = 30- -
6 × 4 = 24
----------------------
3024
.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×(A+1)×10+A×B
方法1:先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然
例：67 ×64
（6+1）×6=42
7×4=28
7+4=11
11-10=1
4228+60=4288
----------------------
4288
方法2：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例：67 ×64
6 ×6 = 36- -
（4 + 7）×6 = 66 -
4 ×7 = 28
----------------------
4288
第十讲乘法速算2
二、后数相同的：
. 个位是1，十位互补即B=D=1, A+C=10 S=10A×10C+101
方法：十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。

- -8 × 2 = 16- -
101
-----------------------
1701
. <不是很简便>个位是1，十位不互补即B=D=1, A+C≠10 S=10A×
10C+10C+10A +1
方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。

例：71 ×91
70 ×90 = 63 - -
70 + 90 = 16 -
1
----------------------
6461
个位是5，十位互补即B=D=5, A+C=10 S=10A×10C+25
方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。

例：35 ×75
3 ×7+ 5 = 26- -
25
----------------------
2625
<不是很简便>个位是5，十位不互补即B=D=5, A+C≠10 S=10A×10C+525
方法：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例: 75 ×95
7 ×9 = 63 - -
（7+ 9）×5= 80 -
25
----------------------------
7125
. 个位相同，十位互补即B=D, A+C=10 S=10A×10C+B100+B2
方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。

例：86 ×26
8 ×2+6 = 22- -
36
-----------------------
2236
.个位相同，十位非互补
方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然
例：73×43
7×4+3=31
9
7+4=11
3109 +30=3139
-----------------------
3139
第十一讲乘法速算3
.个位相同，十位非互补速算法2
方法：头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10
例：73×43
7×4=28
9
2809+（7+4）×3×10=2809+11×30=2809+330=3139
-----------------------
3139
三、特殊类型的：
、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。

方法：互补的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：66 ×37
（3 + 1）× 6 = 24- -
6 ×
7 = 42
----------------------
2442
第十二讲乘法速算4
、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。

方法：杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然
例：38×44
（3+1）×4=16
8*4=32
1632
3+8=11
11-10=1
1632+40=1672
----------------------
1672
第十三讲乘法速算5
、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。

方法：乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然
例：46×75
（4+1）*7=35
6*5=30
5-7=-2
2*4=8
3530-80=3450
----------------------
3450
、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。

方法：凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。

例：56×36
10-6=4，3+1=4，36÷9也等于4
5*（10-6）=20
4*（10-6）=16
“注：（10-6）也可以写作（3+1）和（36÷9）”
---------------
2016
、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。

方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。

被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。

再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然
例：74×56
（7+1）*5=40
4*6=24
7-5=2
2*6=12
12*10=120
4024+120=4144
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4144
第十四讲乘法速算6
、两因数首尾差一，尾数互补的算法
方法：不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积
例：24×36
3>2
3*3-1=8
6^2=36
100-36=64
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864
、近100的两位数算法
方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。

再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）
例：93×91
100-91=9
93-9=84
100-93=7
7*9=63
---------------
8463
、头互补，尾不同的两位数乘法
方法：先确定乘数与被乘数，前两位为将被乘数的头和乘数的头相乘加上乘数的个位数。

后两位为被乘数与乘数尾数的积。

再看被乘数末尾的数比乘数末尾数字小几或大几，小几就减几个乘数的头乘十，反之亦然
例：22×81
2*8+1=17
2*1=2
2=1+1
1702+1*80=1782
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1782
Ｂ、平方速算
一、求11～19 的平方
同上，乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一
例：17 ×17
17 ＋7 = 24-
7 ×7 = 49
---------------
289
二、个位是5 的两位数的平方
同上，十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。

例：35 ×35
（3 + 1）× 3 = 12--
25
----------------------
1225
三、十位是5 的两位数的平方
同上，个位加25，在得数的后面接上个位平方。

例：53 ×53
25 + 3 = 28--
3× 3 = 9
----------------------
2809
四、21～50 的两位数的平方
求25～50之间的两数的平方时，记住1~25的平方就简单了, 11～19参照第一条,下面四个数据要牢记：
21 ×21 = 441
22 ×22 = 484
23 ×23 = 529
24 ×24 = 576
求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

例：37 ×37
37 - 25 = 12--
（50 - 37）^2 = 169
--------------------------------
1369
第十五讲乘法速算7
五、知道平方后的速算
相邻奇（偶）数的速算
方法，取平均数的平方减去1
例：21*23
22^2=484，484-1=483
--------------------------------
483
两数相加为100的速算（限用于小数为25-49）
方法：将大数减去50，再用2500减去差的平方
例：36*64
64-50=14
2500-14^2=2500-196=2304
--------------------------------
2304
两数相加为100的速算（限用于小数为1-25）
方法，将小数乘以100，减去小数的平方即可
例：11*89
1100-11^2=1100-121=979
--------------------------------
979
（三位乘三位）两因数第一位相同，后两位互补的乘法
方法：前两位为被乘数第一位加1和另一个被乘数第一位的积；后面四位为两个数字中每个数末尾两位的积
例：436*464
64-50=14
2500-14^2=2500-196=2304
4*5=20
--------------------------------
202304
和为200的两数乘法
方法：将大数百位上的1直接去掉，再用10000减去去掉后数的平方
例：127*73
27^2=729
10000-729=9271
--------------------------------
9271
两数字（三位数）后两位互补，百位数差一的乘法
方法：将大数百位上的数字直接去掉，再用大数平方减一作为前两位，后四位为10000减去去掉后数的平方
例：217*183
2^2=3
10000-17^2=10000=289=9711
--------------------------------
39711
十位数相差2，个位数相同的乘法
方法：取平均数的平方减去100
例：25*45
（25+45）÷2=35
35^2-100=1125
--------------------------------
1125
百位互补，后两位相同的乘法
方法：取两数的百位相乘加上并乘以10后加上后两位为前两位，后面三位为后两位的平方（位数不够用0补，满十进一）
例：323*723
3*7*10+23=233
23^2=529
--------------------------------
233529
第十六讲乘法速算8
六：多位数特殊算法
一数和为9，一数为顺子的算法
方法：凑9的数字按条的方法处理，再将此数乘以顺子的头和尾的补数，中间的数字全部替换为上一步处理完的数。

例：45*234567
步骤1：4+1=5，10-5=5，45÷9=5（任选一个即可）
步骤2：5*2=10；5*（10-7）=15
步骤3：将中间的3456替换为全部替换为5
--------------------------------
、一数和为9，一数为含890的顺的算法
方法：凑9的数字按条的方法处理，再将此数乘以顺子的头和尾的补数。

中间的数字除9以外全部替换为上一步处理完的数，9替换成0，若0为结尾则先约掉0按的方法算出答案后再补0。

例：36*6789012
步骤1：3+1=4，10-6=4，36÷9=4(任选一个即可)
步骤2：4*6=24；4*（10-2）=32
步骤3：将78901替换为44044
--------------------------------
、一数和为9，一数为缺八顺的算法（末尾可以是789）
方法：凑9的数字按条的方法处理，再将此数乘以顺子的头和尾的补数。

中间的数字全部替换为上一步处理完的数。

若0为结尾则先约掉0按的方法算出答案后再补0。

例：
步骤1：3+1=4，10-6=4，36÷9=4（任选一个即可）
步骤2：4*5=20；4*（10-4）=24
步骤3：将6790123全部替换为4
--------------------------------
、一数互补，一数为相同数的算法
方法：头加一和尾同时与相同数的任意一位数字相乘。

中间的数字位数为相同数的位数减2，数字不变
例：
步骤1：（4+1）*4=20，6*4=24
步骤2：有9个4，9-2=7，抄7个4
--------------------------------
、一数为相同数，一数位两位循环（相邻两位互补）的算法
方法：先将相同数的任意一位乘以循环节首位+1，再将相同数的任意一位乘以尾数，中间数字替换成相同数的任意一位数
例1：77*646464
步骤1：（6+1）*7=49，7*4=28
步骤2：将4646替换为7777
--------------------------------
例2：44*7373737
步骤1：（7+1）*4=32，7*4=28
步骤2：将37373替换为44444
--------------------------------
、多个9乘以任意数（位数要少于或等于前数的总位数）
方法：先将（任意数）－1，然后把（任意数）的位数和（多个9）比较位数的多少，少几位则在中间写几个9，写完9后写补数。

熟练者可以直接看出位数，写补数。

如果两个数位数相同，中间则没有9。

例：1536*999999
第一步：1536-1=1535
第二步：6（6个9）-4（1536是4位数）=2
第三步：10000-1536=8464
答案：
Ｃ、加减法
一、补数的概念与应用
补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。

例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。

补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。

例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

Ｄ、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、被除数÷ 5
= 被除数÷(10 ÷2)
= 被除数÷10 × 2
= 被除数× 2 ÷10
2、被除数÷25
= 被除数× 4 ÷100
= 被除数× 2 × 2 ÷100
3、被除数÷125
= 被除数×8 ÷1000
= 被除数× 2 × 2 × 2 ÷1000
注：《速算技巧》
Ａ、乘法速算一、十位数是1的两位数相乘
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：15×17
15?+?7?=?22
5?×?7?=?35
---------------
255
即15×17?=?255
解释：
15×17
=15?×（10?+?7）
=15?×?10?+?15?×?7
=150?+?（10?+?5）×?7
=150?+?70?+?5?×?7
=（150?+?70）+（5?×?7）
为了提高速度，熟练以后可以直接用“15?+?7”，而不用“150?+?70”。

例：17?×?19
17?+?9?=?26
7?×?9?=?63
连在一起就是255，即260?+?63?=?323
二、个位是1的两位数相乘
方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

例：51?×?31
50?×?30?=?1500
50?+?30?=?80
------------------
1580
因为1?×?1?=?1?，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。

数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。

例：81?×?91
80?×?90?=?7200
80?+?90?=?170
------------------
7370
------------------
7371
原理大家自己理解就可以了。

三、十位相同个位不同的两位数相乘
被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。

例：43?×?46
（43?+?6）×?40?=?1960
3?×?6?=?18
----------------------
1978
例：89?×?87
（89?+?7）×?80?=?7680
9?×?7?=?63
----------------------
7743
四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘
十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：56?×?54
(5?+?1)?×?5?=?30--
6?×?4?=?24
----------------------
3024
例:?73?×?77
(7?+?1)?×?7?=?56--
3?×?7?=?21
----------------------
5621
例:?21?×?29
(2?+?1)?×?2?=?6--
1?×?9?=?9
----------------------
609
“--”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。

五、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例：56?×?58
5?×?5?=?25--
（6?+?8?）×?5?=?7--
6?×?8?=?48
----------------------
3248
得数的排序是右对齐，即向个位对齐。

这个原则很重要。

六、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘。

乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

例：?66?×?37
（3?+?1）×?6?=?24--
6?×?7?=?42
----------------------
2442
例：?99?×?19
（1?+?1）×?9?=?18--
9?×?9?=?81
----------------------
1881
七、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘
与帮助6的方法相似。

两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。

例：46?×?99
4?×?9?+?9?=?45--
6?×?9?=?54
-------------------
4554
例:82?×?33
8?×?3?+?3?=?27--
2?×?3?=?6
-------------------
2706
八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。

两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。

例：78?×?38
7?×?3?+?8?=?29--
8?×?8?=?64
-------------------
2964
例：23?×?83
2?×?8?+?3?=?19--
3?×?3?=?9
--------------------
1909
Ｂ、平方速算
一、求11～19?的平方
底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：17?×?17
17?＋?7?=?24-
7?×?7?=?49
---------------
289
参阅乘法速算中的“十位是1?的两位相乘”
二、个位是1?的两位数的平方
底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。

例：71?×?71
7?×?7?=?49--
7?×?2?=?14-
-----------------
5041
参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”
三、个位是5?的两位数的平方
十位加1?乘以十位，在得数的后面接上25。

例：35?×?35
（3?+?1）×?3?=?12--
25
----------------------
1225
四、21～50?的两位数的平方
在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。

它们是：
21?×?21?=?441
22?×?22?=?484
23?×?23?=?529
24?×?24?=?576
求25～50?的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

例：37?×?37
37?-?25?=?12--
（50?-?37）^2?=?169
----------------------
1369
注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。

例：26?×?26
26?-?25?=?1--
（50-26）^2?=?576
-------------------
676
Ｃ、加减法
一、补数的概念与应用
补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。

例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。

补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。

例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

Ｄ、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、?被除数?÷?5
=?被除数?÷?(10?÷?2)
=?被除数?÷?10?×?2
=?被除数?×?2?÷?10
2、?被除数?÷?25
=?被除数?×?4?÷100
=?被除数?×?2?×?2?÷100
3、?被除数?÷?125
=?被除数?×?8?÷100
=?被除数?×?2?×?2?×?2?÷100
一、“九几乘九几，左减右补数，后面空两格，写上补乘补。

”被乘数减去乘数的补数，后面写上两个数的补数的乘积。

如?93×95??????95的补数是5，93-5=88，93的补数是7，7×5=35，93×95=8835?????原理：93×95=93×（100-5）=9300-5×93=9300-5×（100-7）=9300-500+5×7=8800+35=8835?????00看作两个空格?
????????二、?任意数乘25，等于此数除以4，整除补00，余1补25，余2补50，余3补75.?如?24×25=24÷4=6补00=600，?25×25=25÷4=6--1补25=625
26×25=26÷4=6--2补50=650，?27×25=27÷4=6--3补75=675?。