指数与指数运算

2.1.1 指数与指数幂的运算
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.
2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.
重点难点
教学重点：
(1)分数指数幂和根式概念的理解.
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.
(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.
教学难点:
(1)分数指数幂及根式概念的理解.
(2)有理指数幂性质的灵活应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时指数与指数幂的运算(1)
导入新课
思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.
思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？
(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?
(4)可否用一个式子表达呢?
活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.
讨论结果：
(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.
(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.
(4)用一个式子表达是,若x n=a,则x叫a的n次方根.
教师板书n次方根的意义:
一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.
提出问题
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；
⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?
(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：
（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.
（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零. （3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.
（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.
类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:
①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用n a表示,如果是负数,
负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).
②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示:
a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.
,,
,n
n a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数
a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.
,,
,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n
零的n 次方根为零,记为n 0=0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.
思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.
解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-,而-27的4次方根不存在等.其中527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式. 根式的概念:
式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数. 思考
n
n a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.
〔如33)3(-=327-=-3,44
)8(-=|-8|=8〕.
解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n =a. 通过探究得到：n 为奇数,n
n
a =a. n 为偶数,n
n
a =|a|=⎩⎨
⎧<-≥.
0,,0,
a a a a
因此我们得到n 次方根的运算性质：
①(n a )n =a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.
②n 为奇数,n
n
a =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.
n 为偶数,n
n
a =|a|=a,⎩
⎨⎧<-≥.0,,0,
a a a a 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.
应用示例
思路1
例1求下列各式的值:
(1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2
)(b a -(a>b).
活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.
解：(1)33
)8(-=-8;
(2)2
)10(-=10;
(3)44
)3(π-=π-3;
(4)2
)(b a -=a-b(a>b).
点评：不注意n 的奇偶性对式子n n
a 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用. 变式训练
求出下列各式的值:
(1)77
)2(-;
(2)33
)33(-a (a≤1);
(3)44
)33(-a .
解：(1)77
)2(-=-2,
(2)33
)33(-a (a≤1)=3a -3,
(3)44
)33(-a =⎩⎨
⎧<-≥-.
1,33,
1,33a a a a
点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.
思路2
例1下列各式中正确的是( )
(1)4
4
a =a; (2)62
)2(-=32-;
(3)a 0=1;
(4)105
)12(-=)12(-.
活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.
解：(1)4
4a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n n
a =|a|,故本题错. (2)62
)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论
为62
)2(-=32,故本题错.
(3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.
(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).
点评：本题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.
例223++223-=_________
活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2
)2(221++=2
)21(+=2+1.
223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1.
所以223++223-=22.
点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是
B A 2±形式
的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 思考
上面的例2还有别的解法吗? 活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.
另解：利用整体思想,x=223++223-,
两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+22
2
)22(3-=6+2=8,所以x=22.
点评：对双重二次根式,特别是
B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子
化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对
B A B A 22-±+的式子,我们可以把它
们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解. 变式训练
若12a -a 2
+=a-1，求a 的取值范围.
解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2
+=2
)1(-a =|a-1|=a-1,
即a-1≥0, 所以a≥1.
点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键. 知能训练
(教师用多媒体显示在屏幕上) 1.以下说法正确的是( ) A.正数的n 次方根是一个正数 B.负数的n 次方根是一个负数 C.0的任何次方根都是零
D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n ∈N *). 答案：C
2.化简下列各式:
(1)664;(2)42)3(-;(3)4
8
x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .
答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.
3.计算407407-++=__________. 解：407407-++
=2
2
2
2
)2(252)5()2(252)5(+∙-++∙+ =22)25()25(-++
=5+2+5-2- =25.
答案：25 拓展提升
问题：n n
a =a 与(n a )n =a （n ＞1,n ∈N ）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.
活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.
通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论. 解答：①（n a ）n =a （n ＞1,n ∈N ）.
如果x n =a （n ＞1,且n ∈N ）有意义,则无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以（n a ）n =a 恒成立.
例如：（43）4=3,3
3)5(-=－5.
②n n
a =⎩⎨
⎧.
|,|,,为偶数当为奇数当n a n a
当n 为奇数时,a ∈R ,n
n
a =a 恒成立.
例如：55
2=2,55)2(-=－2.
当n 为偶数时,a ∈R ,a n ≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n n a =a.例如4
4
3=3,
4
0=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3.
即（n a na ）n =a （n ＞1,n ∈N ）是恒等式,n
n
a =a （n ＞1,n ∈N ）是有条件的. 点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解. 课堂小结
学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上. 1.如果x n =a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n ∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.
(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).
(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.
(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.
2.掌握两个公式：n 为奇数时,(n a )n =a,n 为偶数时,n n
a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.
0,,0,
a a a a
作业
课本P 59习题2.1A 组 1. 补充作业:
1.化简下列各式： (1)681;(2)1532-;(3)
4
8x ;(4)642b a .
解：(1)681=6
4
3=32
3=39;
(2)1532-=15
52-=32-;
(3)
4
8x =442)(x =x 2;
(4)6
4
2
b a =622)|(|b a ∙=32
||b a ∙.
2.若5<a<8,则式子2
2)8()5(---a a 的值为__________.
分析:因为5<a<8,所以2
2)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13.
答案：2a-13.
3.625625-++=__________.
分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式,
不难看出625+=2
2)(3+=3+2.
同理625-=2
2)(3-=3-2.所以625++625-=23.
答案：23
设计感想
学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学. (设计者：路致芳)
第2课时 指数与指数幂的运算(2)
导入新课
思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳
后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.
思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题
(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①5
10
a
=352)(a =a 2
=a
5
10;
②8a =2
4)(a =a 4
=a 2
8; ③4
12
a =4
43)(a =a 3
=a
412; ④210
a
=22
5)(a =a 5=a
2
10.
(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？
4
35,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).
(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =
n a
1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n
. (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①5
10
a =a
5
10,②8
a =a 2
8,③4
12
a
=a
4
12,④210
a
=a
2
10结果的a 的指数是2,4,3,5
分别写成了
510,28,412,5
10,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,43
5=54
3,35
7=735,5
7
a =a 5
7,
n
m
x =x n
m .
(4)53的四次方根是54
3,75的三次方根是73
5,a 7的五次方根是a 5
7,x m 的n 次方根是x n
m .
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
(5)如果a>0,那么a m 的n 次方根可表示为n a m =a n m ,即a n
m =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a m
n =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).
提出问题
①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗?
③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?
⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?
⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?
活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =
n a
1(a≠0),n ∈N *
. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.
规定:正数的负分数指数幂的意义是a
m
n -=
m
n a
1=
n
m
a 1
(a>0,m,n ∈N *,n>1).
③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a m
n =n m
a (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是
a
m
n -=
m
n a
1=
n
m
a 1
(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?
如(-1)3
1=3-1=-1,(-1)6
2=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|3
2,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.
⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ),
（3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例
思路1 例1求值:①83
2;②25
2
1-③(21)-5;④(81
16)43
-.
活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,
21写成2-1,8116写成(3
2
)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①83
2=(23)3
2=23
23⨯=22=4; ②25
2
1
-=(52
)
2
1-
=5
)
2
1(2-⨯=5-1=
5
1; ③(
2
1)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43
-=(32))43
(4-⨯=(32)-3=8
27.
点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如83
2=32
8=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.
a 3·a ;a 2·3
2
a ;3a a (a>0).
活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3
·a 2
1=a 2
13+
=a 2
7;
a 2·32a =a 2
·a 3
2=a
2
32+
=a 3
8;
3a a =(a·a 3
1
)2
1=(a 3
4)2
1=a 3
2.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 3
2
b 2
1)(-6a 2
1b 3
1)÷(-3a 6
1b 6
5);
（2）(m 4
1n
83-
)8
.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.
解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 6
12132-+b
6
53121-+=4ab 0=4a;
（2）(m 4
1
n
83-)8
=(m 4
1)8
(n
83-
)8
=m
84
1⨯n
88
3⨯-=m 2n -3
=32
n
m .
点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:
(1)33·
33·63; (2)64
6
3)12527(n
m . 解：(1)33·33·6
3=3·32
1·33
1·36
1=3
6
131211+++=32=9；
(2)64
63)12527(n m =(6
4
63)12527(n m =(6
46333)53(n m =6
466436
436
43)()5()()3(n m =4
2
259n
m =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）
3
2
2a
a a ∙(a ＞0）.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(253
1-1252
1)÷254
1=(53
2-52
3)÷52
1 =5
2
1
32--5
2
123-=56
1-5=65-5;
（2）
32
2a a a ∙=
3
22
12a
a a ∙=a
3
2212--=a 6
5=65
a .
思路2
例1比较5,311,6123的大小.
活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.
解：因为5=6
3
5=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121. 所以5>6123>311.
点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:
(1)4
32981⨯; (2)23×35.1×612.
活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外4
3
2981⨯=4
2
1344
)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.
解：(1)43
2981⨯=［34×(33
4)2
1］4
1=(3
3
24+
)4
1=(3
3
14)4
1=36
7=633;
(2)6
3125.132⨯⨯=2×32
1
×(2
3)31
×(3×22)61
=23
1
311++·361
3121++=2×3=6.
例3计算下列各式的值: （1）［(a
2
3
-b 2)-1
·(ab -3)21(b 2
1)7
］3
1;
（2）
1
112
12
1-+-
++-
-a a a a
a
;
(3)14323
)(---÷a b b a
.
活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.
解：(1)原式=(a
2
3-
b 2
)
3
1-
(ab -3)61·(b 21)37=a 2
1b
3
2-
a 6
1b
2
1-
b 67=a
6
121+b
6
72132+--=a 3
2b 0
=a 3
2;
另解：原式=(a 23b -2a 2
1b 2
3-·b 2
7)3
1
=(a
2
123+b
2
7232+
--)31=(a 2b 0)3
1=a 3
2
;
（2）原式=
1
111
1-+
-
++
a a
a a a =
)
1(1-+a a a =
)
1(11-+-
a a a a
=
)1
1
1(1-+-
a a a
= )
1(2--a a =
)
1(2a a a
-;
（3）原式=（a 2
1b 3
2）-3
÷(b -4a -1)2
1
=a
2
3-
b -2÷b -2
a
2
1
-
=a
2
123+-b -2+2=a -1=
a
1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(
4a
r
能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？ 活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.
解：(a )8-r
·)1
(4a
r =a
2
8r -·a
4
r
-
=a
4
48r
r --=a
4
316r -.
16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂. 点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求
)
()
(y x g y x g -+的值.
活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求. 解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］ =（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x-e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4; (2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x-y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8,。