2020_2021学年高中数学模块综合评估二习题含解析北师大版选修2_1

模块综合评估(二)
时限：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1
4>0，则綈p 为( B )
A ．任意x ∈R ，x 2－x ＋1
4≤0
B ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1
4≤0
C ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1
4>0
D ．任意x ∈R ，x 2－x ＋1
4
≥0
解析：全称命题的否定是特称命题．
2．双曲线x 2m 2＋12－y 2
4－m 2＝1的焦距是( C )
A ．4
B ．2 2
C ．8
D ．与m 有关
解析：依题意，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.
3．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇒p ，故选A. 4．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 2
9＝1有( D )
A ．相同的短轴
B ．相同的长轴
C ．相同的离心率
D ．以上都不对
解析：对于x 2a 2＋y 2
9＝1，因为a 2>9或a 2<9，所以这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴
相同，离心率的关系是不确定的，
因此A ，B ，C 均不正确，故选D.
5．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 2
16＝1的渐近线相切的圆的方
程是( A )
A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0
B ．x 2＋y 2－10x －9＝0
C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0
D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0
解析：椭圆右焦点F (5,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，则焦点F 到y ＝4
3x 的距离为
4，
所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.
6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A ，B 两点，
则||F A |－|FB ||的值为( A )
A.83
B.163
C.833
D.823
解析：直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝3(x －1)，
得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1
＝3，x 2＝1
3
，
所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝8
3
，故选A.
7．如图，在空间直角坐标系中有三棱柱ABC -A 1B 1C 1，已知CA ＝CC 1＝2CB ，则直线AB 1与直线BC 1的夹角的余弦值为( A )
A.55
B.53
C.255
D.35
解析：设CB ＝a ，则CA ＝CC 1＝2a ，∴A (2a,0,0)，B (0,0，a )，C 1(0,2a,0)，B 1(0,2a ，a )，∴AB 1→＝(－2a,2a ，a )，BC 1→＝(0,2a ，－a )，∴cos 〈AB 1→，BC 1→
〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→
|
＝55，故选A.
8．若命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( B ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2 D ．－2<a <2
解析：依题意ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a >－2，a 2
＋a －6≥0
⇔a ≥2.
9.在三棱锥P -ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是( A )
A ．(1,1，1
2)
B ．(1，2，1)
C ．(1,1,1)
D ．(2，－2,1)
解析：P A →＝(1,0，－2)，AB →
＝(－1,1,0)，设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝2，
∴n ＝(2,2,1)．又(1,1，12)＝12
n ，∴A 正确．
10．过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若
∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( B )
A.
52 B.33 C.12 D.1
3
解析：由题意得，点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a )，因为∠F 1PF 2＝60°，所以2c b
2a ＝3，
即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝
3
3
或e ＝－3(舍去)． 11．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( A )
A.23
B.33
C.23
D.13 解析：
设AB ＝1，则AA 1＝2，分别以D 1A 1→、D 1C 1→、D 1D →
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则D (0,0,2)，C 1(0,1,0)，B (1,1,2)，C (0,1,2)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1，－2)，DC →
＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DB →＝0，n ·
DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，y －2z ＝0，取n ＝(－
2,2,1)，
设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ＝|n ·DC →|n ||DC →
|
|＝2
3.
12．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2AD ，设∠DAB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，若以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则( B )
A ．当θ增大时，e 1增大，e 1·e 2为定值
B ．当θ增大时，e 1减小，e 1·e 2为定值
C ．当θ增大时，e 1增大，e 1·e 2增大
D ．当θ增大时，e 1减小，e 1·e 2减小
解析：连接DB ，AC ，由题意，可知双曲线的离心率e 1＝|AB |
|DB |－|DA |，椭圆的离心率e 2
＝
|CD |
|AD |＋|AC |
.
设|AD |＝|BC |＝t ，则|AB |＝2t ，|CD |＝2t －2t cos θ，|AC |＝|BD |＝t 5－4cos θ，
所以e 1＝
25－4cos θ－1
，e 2＝
2－2cos θ5－4cos θ＋1
，所以e 1e 2＝1.又θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，故当θ增大时，cos θ减小，e 1减小，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．“a ，G ，b 三个数成等比数列”是“G ＝ab ”的既不充分也不必要条件． 解析：若a ，G ，b 三个数成等比数列可得G ＝±ab ，因此充分性不成立；而如果G ＝ab ，
则当a ＝G ＝0，b ＝1时，a ，G ，b 三个数不成等比数列，必要性不成立．
14．已知空间三点的坐标为A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝5.
解析：由已知得AC →＝kAB →
，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1,3)，得到p ＝3，q ＝2，所以p ＋q ＝5.
15．设F 1、F 2是椭圆x 23＋y 2
4＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则
cos ∠F 1PF 2＝3
5
.
解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1，又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，
所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝3
2
，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以cos ∠F 1PF 2＝
⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－4
2×52×32
＝3
5
. 16．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于±1.
解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋1)，
y 2＝4x ，
消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x
＋k 2＝0，由根与系数的关系得，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2
k
2－1，把x Q 代入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2
k
，根据|FQ |＝
(2k 2－2)2＋(2
k
)2＝2，解出k ＝±1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．
解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1.又由于f (x )＝－(5－2m )x
是减函数，所以5－2m >1，m <2.
即命题p ：m <1，命题q ：m <2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一
假．当p 真q 假时应有⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，
m ≥2，
无解；
当p 假q 真时应有⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥1，
m <2，
得1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.
18．(本小题12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，且a 2＝2b .
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．
解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22
，a 2＝2b ，
b 2
＝a 2
－c 2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
c ＝1，
b ＝1，
故椭圆的方程为x 2
＋y 2
2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
2＝1，x －y ＋m ＝0，
即
3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以
x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m
3
，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3， 又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m
32＝5，解得m ＝±3. 19．(本小题12分)已知直线l ：y ＝2x －16，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)． (1)若抛物线C 的焦点F 在直线l 上，试确定抛物线C 的方程；
(2)若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标为8，△ABC 的重心恰为抛物线C 的焦点F ，求直线BC 的斜率．
解：(1)直线l 与x 轴的交点为(8,0)，因此抛物线C 的焦点为F (8,0)，所以a ＝32，所求抛物线的方程为y 2＝32x .
(2)因为点A 的纵坐标为8，所以A (2,8)．又F (8,0)为△ABC 的重心，设B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有2＋x 2＋x 33＝8，8＋y 2＋y 3
3
＝0，
则y 2＋y 3＝－8，k BC ＝y 3－y 2x 3－x 2＝y 3－y 2y 2332－y 2
232＝32
y 3＋y 2＝－4，即直线BC 的斜率为－4. 20．(本小题12分)如图，在平面内直线EF 与线段AB 相交于点C ，∠BCF ＝30°，且AC ＝CB ＝4，将此平面沿直线EF 折成60°的二面角α-EF -β.又BP ⊥平面α，点P 为垂足．
(1)求∠ACP 的正弦值；
(2)求异面直线AB 与EF 所成角的正切值．
解：如图，在平面α内，过点P 作PM ⊥EF ，点M 为垂足，连接BM ，则∠BMP 为二面角α-EF -β的平面角．以点P 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系P -xyz .
(1)在Rt △BMC 中，由∠BCM ＝30°，CB ＝4，得CM ＝23，BM ＝2.在Rt △BMP 中，由∠BMP ＝60°，BM ＝2，得MP ＝1，BP ＝ 3.
故P (0,0,0)，B (0,0，3)，C (－1，－23，0)，M (－1,0,0)．由∠ACM ＝150°，AC ＝4，得A (1，－43，0)．
所以CP →＝(1,23，0)，CA →
＝(2，－23，0)，则cos ∠ACP ＝CP →·CA →
|CP →|·|CA →|＝－5213，所以sin
∠ACP ＝339
26
.
(2)AB 与EF 所成的角即AB 与CM 所成的角．又BA →＝(1，－43，－3)，MC →
＝(0，－23，0)，所以cos 〈BA →，MC →
〉＝23913
，
所以sin 〈BA →，MC →〉＝1313，tan 〈BA →，MC →
〉＝36.即AB 与EF 所成角的正切值为36.
21．(本小题12分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°. (1)若异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，求棱柱的高；
(2)设D 是BB 1的中点，DC 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．
解：
建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设AA 1＝h (h >0)，
则有B (1,0,0)，B 1(1,0，h )，C 1(0,1，h )，A 1(0,0，h )，B 1C 1→＝(－1,1,0)，A 1C 1→＝(0,1,0)，A 1B →
＝(1,0，－h )．
(1)因为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，所以cos60°＝|B 1C 1→·A 1B →||B 1C 1→|·|A 1B →|，即
1
2·h 2＋1＝1
2
，得1＋h 2＝2，
解得h ＝1，所以棱柱的高为1.
(2)由D 是BB 1的中点，得D ⎝⎛⎭⎫1，0，h 2，于是DC 1→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，h 2.设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由n ⊥A 1B →，n ⊥A 1C 1→
，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
n ·A 1B →＝0，n ·
A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x －hz ＝0，
y ＝0，令z ＝1，则x ＝h ，y ＝0，所以可取n ＝(h,0,1)，
于是sin θ＝|cos 〈DC 1→
，n 〉|＝|DC 1→
·n ||DC 1→||n |＝
⎪
⎪⎪⎪
－h ＋h 214
h 2
＋2·h 2＋1＝
h
h 4＋9h 2＋8
.
令f (h )＝
h
h 4＋9h 2
＋8
＝
1
h 2＋8
h
2＋9
.因为h 2＋8h 2＋9≥28＋9，当且仅当h 2＝8
h 2，即h
＝4
8时，等号成立，
所以f (h )≤
1
9＋28＝1
8＋1＝22－17，故当h ＝4
8时，sin θ取最大值为22－17.
22．(本小题12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，椭圆短轴的一个端点
与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若线段AB 中点的横坐标为m
2
，求k 的值；
(3)若以弦AB 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点M ，则直线l 是否经过定点(除右顶点外)？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)依题意，有c a ＝2
2，即a ＝2c ，所以b ＝c .又椭圆短轴的一个端点与两个焦点构
成的三角形的面积为2，即bc ＝2，
故b ＝c ＝2，a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)联立直线l 的方程与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
2＝1，
y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx
＋2m 2－4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，可得x 1＋x 2＝－4km
2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－4
2k 2＋1
.由
题意x 1＋x 2＝－4km
2k 2＋1
＝m ，
因为m ≠0，所以－4k 2k 2＋1＝1，即2k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1－22或k ＝－1＋2
2.
(3)椭圆的右顶点为M (2,0)．若以弦AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点M ，则MA ⊥MB .则MA →·MB →
＝0，所以(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0，
即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 故x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2＋4＝1
2k 2
＋1(4k 2＋8km ＋
3m 2)＝0，
所以4k 2＋8km ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，解得m ＝－2k 或m ＝－2k
3.所以直线l
经过定点(2,0)，⎝⎛⎭⎫
23，0，
又点(2,0)为椭圆的右顶点，不合题意，故直线l 恒过定点⎝⎛⎭⎫
23，0.。