两个平面垂直的判定和性质习题课(立体几何--苏教版高中数学教案全部)

第25课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（一） 教学目标：
使学生在掌握定理的基础上，充分发挥空间想象能力，联系所学内容进行推理、论证，培养学生严密的推理能力。

教学重点、难点：
问题的分析、论证。

教学过程：
复习有关的定义、定理。

例1：已知两条异面直线a 、b 所成角为θ，其公垂线段AA 1＝d ，在a 、b 上分别取点E 、F ，设A 1E ＝m ，AF ＝n ，求EF 的长。

解析：设经b 而与a 平行的平面为α，线AA 1及线a 确定的平
面为β
α∩β＝c
∵a ∥α，∴a ∥c
那么b 、c 所成角就是异面直线a 、b 成角.
∵AA 1⊥a ，AA 1⊥c ，则AA 1⊥α
故α⊥β
经E 作EG ⊥C 于G ，则EG ⊥α
连GF 、EG ⊥GF ，EG ＝AA 1＝d
那么在△GAF 中，FG 2＝m 2＋n 2－2mn cos θ
在△EGF 中，EF 2＝EG 2＋FG 2＝d 2＋FG 2
故EF 2＝d 2＋m 2＋n 2－2mn cos θ
当F 在另一侧（AA 1另一侧）
EF 2＝d 2＋m 2＋n 2－2mn cos （180°－θ）
＝d 2＋m 2＋n 2＋2mn cos θ
故EF ＝θcos 2222mn n m d ±++.
评述：在该题解决过程中，从平面的性质，到面面垂直、线面垂直涉及多个知识点，求解过程体现等价转化思想，将空间两异面直线上任两点距离问题，通过平面α、平面β转化为平面问题.
公式说明两异面直线公垂线的存在性，且公垂线段长是异面直线上任两点连线最短的.
例2：已知α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ
求证：l ⊥γ
证明：在l 上取点P ，过P 作l ′⊥γ
∵α∩β＝l ∴P ∈α，P ∈β
又：α⊥γ，β⊥γ
∴l ′⊂α，l ′⊂β
∴l ′＝α∩β 而α∩β＝l
∴l ′与l 重合 ∴l ⊥γ
证法二：设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，分别在α、β内作a ⊥m ，b ⊥n ，且a 、b 都过所在平面
内l 外一点
∵α⊥γ，β⊥γ ∴a ⊥γ，b ⊥γ
∴a ∥b 又：a ⊂\β，b ⊂β
∴a ∥β 又：a ⊂α，α∩β＝l
∴a ∥l ∴l ⊥γ
证法三：证法二中过l 上一点P 作a 、b ，则可证a 、b 重合。

证法四：设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，
在γ内取一点P ，并在γ内过P 分别作m 、n 的垂线a 、b
∵α⊥γ，β⊥γ ∴a ⊥α，b ⊥β
∴l ⊥a ，l ⊥b
又：a ∩b ＝P ，a 、b ⊂γ ∴l ⊥γ
例3：如图，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD ＝AC ，
（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）求二面角C －BD －A 的余弦值。

（1）证法一：由题设知AD ＝CD ＝BD
作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，
则OA ＝OB ＝OC
∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点
∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD
∴OD ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面ABC
证法二：取AB 中点O ，连结OD ，OC
则有OD ⊥AB ，OC ⊥AB ，即∠COD 是二面角C －AB －D 的平面角。

设AC ＝a ，则：OC ＝OD ＝22a 又：CD ＝AD ＝AC ∴CD ＝a
∴△COD 是Rt △，即∠COD ＝900
∴二面角是直二面角，即面面垂直。

（2）取BD 中点E ，连结CE 、OE 、OC
∵△BCD 为正三角形， ∴CE ⊥BD
又△BOD 为等腰直角三角形 ∴OE ⊥BD
∴∠OEC 为二面角C －BD －A 的平面角
同（1）可证OC ⊥平面ABD
∴OC ⊥OE ∴△COE 为直角三角形
设BC ＝a ，则CE ＝32a ，OE ＝12
a ∴cos ∠OEC ＝OE CE ＝33
即为所求
课堂小结：
熟练运用定义、定理的内容，并由此进行分析、论证。

课后作业：
课本P4810，11，12。