高等代数§7.4特征值与特征向量

A)X 0
的非零解也就
称为A的属于这个特征值的特征向量.
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
i) 在V中任取一组基 , , , , 写出 在这组基下
1 2 n
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E 就是 的全部特征值. iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A ) X 0
5
代入齐次方程组 ( E
A ) X 0,
得
4 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 4 x3 0
解得它的一个基础解系为： (1, 1, 1 ) 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
又 B ( )的元素是 E
A
的各个代数余子式，它们
都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.
B 因此， ( ) 可写成
B ( )
n1
B0
n2
B1 B n 2 B n1
其中，B 0 , B 1 , , B n 1 都是
再设 则， 而
B ( )( E A ) B 0
x 01 A x 0n ,
则 ( )在基 1 , 2 , , n 下的坐标为
而 0 的坐标是
x 01 A x 0n
x 01 0 x 0n
,
又 ( ) 0
x 01 从而 ( 0 E A ) x 0n
A)X 0
于是
x 01 0 x 0n
,
0.
即 又
x 01 x 0n

是线性方程组 ( 0 E
0,
的解， 有非零解.
x 01 0, x 0n
设
A P
n n
,
f ( ) E A
为A的特征多项式, 则
n1
f ( A ) A ( a 11 a 22 a nn ) A
n
( 1)
n
A E 0.
证: 设
B ( ) 是 E A
的伴随矩阵，则
零矩阵
B ( )( E A ) E A E f ( ) E
( ) 0
,
则称 0 为 的一个特征值，称 为 的属于特征值
0 的特征向量.
注：① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 ( 0
0 ) 或相反 ( 0 0 ). 0 0
时 , ( )
0.
② 若 是 的属于特征值 0 的特征向量，则
它的一个基础解系为：(1, 0 , 1 ),
( 0 , 1, 1 )
因此，属于 1 的两个线性无关的特征向量为
1 1 3 , 2 2 3
而属于 1 的全部特征向量为
k 1 1 k 2 2 , ( k 1 , k 2 P 不全为零 )
把
则 i

c ij j ,
j1
n
i 1, 2 , , r
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而
k 1 1 k 2 2 k r r , P
（其中， k 1 , k 2 , , k r
不全为零）
就是 的属于 0 的全部特征向量.
称为A的特征多项式. （
f A ( )是数域P上的一个n次多项式）
注： 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵， ①
而 0 是 的一个特征值，则 0 是特征多项式 的根，即
f A (0 ) 0.
f A ( )
反之，若 0 是A的特征多项式的根，则 0 就是 的一个特征值. （所以，特征值也称特征根.） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 而相应的线性方程组 ( E
A
在P上的全部根它们
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量在基 ,
1 2
, , 下的坐标.) n
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
( c 1 1 , c 1 2 , , c 1 n ), ( c 2 1 , c 2 2 , , c 2 n ), , ( c r 1 , c r 2 , , c r n )
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为
k 3 3 , (k3 P , k3 0 )
三、特征子空间 定义：设 为n维线性空间V的线性变换， 0 为
的一个特征值，令 V 为 的属于 0 的全部特征向量
0
再添上零向量所成的集合，即 V
0
0
0
1 2 2 A 2 1 2, 2 2 1
1
, 2 , 3 下的矩阵是
求 特征值与特征向量. 解：A的特征多项式
E A 1
2 2 2 2 1 2 ( 1)2 ( 5 ) 2 1
1（二重） 2 5 ,
A)X 0
0
有非零解. 一个非零解，
E A)X 0
x 0 1 1 x 0 n n
就是 的属于 0 的一个
特征向量.
1. 特征多项式的定义
设A
P
n n
,
是一个文字，矩阵 E
A
称为
A的特征矩阵，它的行列式
a 11 E A
a 21 ... a n1 a 1 2 ... a 1 n a 2 2 ... a 2 n f A ( ) ... a n 2 ... a n n
故 的特征值为： 1
把
1
代入齐次方程组 ( E 即
A ) X 0,
得
2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0
x1 x2 x 3 0
多项式；而线性变换 的特征值与特征向量有时也说 成是矩阵A的特征值与特征向量. ② 有相同特征多项式的矩阵未必相似. 如
A

1 0 ,B 0 1

1 1 0 1
1 ) ，但A、B不相似.
2
它们的特征多项式都是 (
3. 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
则 V 是V的一个子空间, 称之为 的一个特征子空间.
( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( )
( k ) k ( ) k ( 0 ) 0 ( k )
V ,

n
( a 11 a 22 a nn )
( 1)
n
A
由多项式根与系数的关系还可得
① A的全体特征值的和＝ a a a
11 22 nn
.
② A的全体特征值的积＝
A .
称之为A的迹,
记作trA.
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式.
证:设 A
.
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设
d im V n , 1 , 2 , , n
是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1 , 2 , , n 下的坐标记为
x 01 x 0n ,
∴ (0 E
A)X 0
所以它的系数行列式 0 E
A 0.
以上分析说明：
若 0 是 的特征值，则 0 E
A 0.
反之，若 0
P
满足 0 E
A 0,
则齐次线性方程组 ( 0 E 若 ( x 0 1 , x 0 2 , , x 0 n ) 是 ( 则向量
0
四、特征多项式的有关性质 1. 设
A

a ij P
n n
,
则A的特征多项式
a 1 2 ... a 1 n a 2 2 ... a 2 n ... a n 2 ... a n n
n1
a 11 E A
a 21 ... a n1
0
k V
0
注：
若 在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则
d im V n 秩 ( 0 E A )
0
即特征子空间
V 的维数等于齐次线性方程组
0
(0 E A ) X 0
(*)
的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于 0 的 全部线性无关的特征向量就是 V 的一组基.
n n B0 A A B A n1 B A n a A n1 1 0 1 B A n 2 B A n1 a A n 2 1 2 2 2 B n1 A B n 2 A a n1 A B n1 A a n E
1一特征值与特征向量二特征值与特征向量的求法74特征值与特征向量三特征子空间四特征多项式的有关性质从本节开始我们主要讨论如何选择一组适当的基使v的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵
§7.4 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法
三、特征子空间
四、特征多项式的有关性质
②
比较①、②两式，得
B0 E B1 B 0 A a1 E B 2 B1 A a 2 E B n1 B n 2 A a n1 E B n1 A a n E
③
以 A n , A n 1 , , A , E 依次右乘③的第一式、第二式、 …、第n式、第n＋1式，得
B,
则存在可逆矩阵X，使得B X1 NhomakorabeaAX
1
于是， E
B E X X X X
1 1
AX
1
EX X
AX
( E A ) X
1
E A X
E A
注： 由定理6线性变换 的特征值与基的选择无关. ①
因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换 的特征
n
nn
的数字矩阵.
f ( )
n
a 1
n
n1
a n1 a n
n1
f ( ) E E a 1
E a n1 E a n E
①
n1
( B1 B 0 A )
n2
( B 2 B1 A )
( B n1 B n 2 A ) B n1 A
k (k P , k 0)
也是 的属于 0 的特征向量.

( k ) k ( ) k ( 0 ) 0 ( k )

由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若 ( ) 且 ( ) ，则
例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下
的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是
E kE ( k ) .
n
故数乘法变换K的特征值只有数k，且 对
V ( 0 ),
皆有
K ( ) k .
所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.
例2.设线性变换 在基
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当
的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是
一个对角矩阵?
一、特征值与特征向量
设 定义： 是数域P上线性空间V的一个线性变换， 若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 , 使得
④
把④的n＋1个式子加起来，即得
0 A a1 A
n n1
a2 A
n2
a n1 A a n E

f ( A ) 0.