广东省湛江一中2022-2022学年高二数学上学期期末考试 理 【会员独享】

湛江一中2022——2022学年度第一学期期末考试高二级〔理科〕数学
科试卷
考试时间：120分钟 总分值：150分
一．选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.点A )4,1,3(--，那么点A 关于x 轴对称的点的坐标为〔 〕 A. )4,1,3(-- B.)4,1,3(--- C. )4,1,3(-- D. )4,1,3(
2．椭圆
22
13649
x y +=上的一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，那么P 点到另一个焦点的距离〔 〕
A . 3
B . 4 C. 9 D . 11
3．假设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
4.曲线
221259x y +=与曲线22
1259x y k k
+=--(9)k <的〔 〕 A. 长轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相等 D. 短轴长相等
5.给出以下命题：①对空间任意两个向量,a b 〔b ≠0〕，那么a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得b a λ=; ②假设0a b •=，那么00a b ==或; ③假设,,OA OB OC 不能构成空间的一个基底，那么O,A,B,C 四点共面; ④对于非零向量c b a ,,，那么)()(c b a c b a •=•一定成立. 正确命题的个数为〔 〕
A ．1 B.2 C. 3 D. 4
6．正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,BB CC 的中点，那么异面直线AE 与BF 所成角的余弦为〔 〕 A ．
25 B ．15- C ．15 D ．25
- 7．过椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假
设1260F PF ∠=，那么椭圆的离心率为〔 〕
A
．
2 B
．3 C ．12 D ．
1
3
8．假设点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右
支上的任意一点,那么OP FP ⋅的取值范围为 ( )
A
．)+∞ B
．[3)++∞ C ．7[-,)4+∞ D ．7[,)4
+∞ 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．
9.(,4,3),(3,2,)a x b z ==假设a ∥b ，那么x z ⋅=
10.假设抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
163
x y -=的右焦点重合，那么p 的值为 ． 11.双曲线2
2
1y x a
-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，那么a =_________ 12．抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

假设
AB 的中点为〔2，2〕，那么直线l 的方程为_____________.
13. ()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=，那么b a -的最小值是______________ 14.两点A )2,1(-、B )2,4(--及以下四条曲线：①423x y +=； ②2
2
3x y +=；
③2
2
23x y +=；④2
2
23x y -= 其中存在点P ，使PA PB =的曲线有 〔填上所有正确的序号〕
三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15．(本小题总分值12分〕如下图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点。

〔1〕化简：AD AB O A 2
1
211--
; (2)设E 是棱DD 1上的点，且13
2
DD DE =
,假设1AA z AD y AB x EO ++=,试求实数z y x ,,的值。

G
F
D
E
C
B
A
P
A B
C
D
E
16. (本小题总分值12分〕设点A 、B 的坐标分别为)0,5(-，〔5,0〕.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4
9
-
，求点M 的轨迹方程。

17. (本小题总分值14分〕
如图：底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， //EC PD ，且2PD EC =， 〔1〕求证：BE//平面PDA ；
〔2〕假设N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；
18. (本小题总分值14分〕
抛物线C ：2
2(0)y px p =>过点A )2,1(-
〔I 〕求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
〔II 〕是否存在平行于OA 〔O 为坐标原点〕的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l
l 的方程；假设不存在，说明理由. 19〔本小题总分值14分〕
梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =
2
π
，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。

沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) . (1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ；
(2) 假设以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值.
20〔本小题总分值14分〕
设),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 上的两点，向量),,(),,(
2211a
y b x n a y b x m ==且0=•n m ，椭圆的离心率,23
=e 短轴长为2，O 为坐标原点。

〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕假设直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F 〔0，c 〕，〔c 为半焦距〕，求直线AB 的斜率k 的值；
〔3〕试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
湛江一中2022——2022学年度第一学期期中考试
高二级〔理科〕数学科答题卡
一．选择题。

二、填空题
9 10 11 12
13 14
三、解答题: 〔解答必须写出文字说明、运算过程或推理步骤〕 15．
班级_______________学号________________姓名___________ __________
P
A B
C
D
E
G
F
D
E
C
B
A
17． 18. 19.
N
E
D
C
B
A
P
F
9． 9 10. 6 11. 4 12. y=x 13.
5
14.①②③ 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 15．(本小题总分值12分〕 〔1〕11
A O (AB+AD)2
-
=1A O AO -=1A A ----------------------------------------------6分 (2) EO=AO AE -
=
112
(AB+AD)AD AA 23-- ------------------------------------------------8分 =1112
AB AD AA 223-- --------------------------------------------------10分 ∴12x = 12y =- 2
3
z =- --------------------------------------------------12分
16. (本小题总分值12分〕
设点M 的坐标为(,)x y ，---------------------------------------------------2分 因为点A 的坐标是(5,0)-， 所以，直线AM 的斜率5AM y
k x =+〔x ≠-5〕； --------------------------------------5分 同理直线BM 的斜率5
BM y
k x =
-〔x ≠5〕. -------------------------------------------8分 由有
4
559
y y x x ⨯=-+-〔x ≠±5〕
，--------------------------------------------11分 化简，得M 的轨迹方程为
22
1100
259
x y += 〔x ≠±5〕. ----------------------------------12分 17．(本小题总分值14分〕
解：〔1〕证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA
∴EC//平面PDA ,
同理可得BC//平面PDA --------------------------------------------------------------------3分
∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA ------------------------------------------------------------------5分 又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------6分 〔2〕证法1：连结AC 与BD 交于点F, 连结NF ， ---------------------------------7分 ∵F 为BD 的中点，
∴//NF PD 且1
2NF PD =
,---------------------8分 又//EC PD 且1
2
EC PD =
x
∴//NF EC 且NF EC =------------------------------9分 ∴四边形NFCE 为平行四边形----------------------10分 ∴//NE FC --------------------------------------11分
∵
DB AC ⊥,PD ⊥平面ABCD ,
AC ⊂面ABCD ∴AC PD ⊥， --------------------------------------------12分 又PD BD D =
∴AC ⊥面PBD ---------------------------------------------------13分 ∴NE ⊥面PDB ----------------------------------------------14分
[证法2：如图以点D 为坐标原点，
以AD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示：
设底面ABCD 边长为1，PD a =--------------------------------------------------7分 那么(1,1,0),(0,1,0),(0,0,),B C P a
(0,1,)2a E ,11(,,)222a
N --------------------------------9分
∴11
(,,0)22
EN =-,(1,1,)PB a =-,(1,1,0)DB =--------10分
∵11
110022
EN PB a ⋅=⨯-⨯-⨯=,
11
1100022
EN DB ⋅=⨯-⨯+⨯=----------------------11∴DB EN PB EN ⊥⊥, ------------------------------12 ∵B DB PB PDB,,=⋂⊂且面DB PB
∴PDB NE 面⊥- --------------------------------------------14分 18. (本小题总分值14分〕
解：〔I 〕抛物线过点A 〔1 , -2〕，∴4=12⋅p
∴2=p ---------------------------------------------3分
∴抛物线C 的标准方程为x y 42
=,其准线方程是1-=x -------------------------------6分 〔II 〕假设存在满足题意的直线l ，其方程为t x y +-=2-------------------------------7分
①⎩⎨
⎧=+-=x
y t x y 422
得0222
=-+t y y 。

---------------------------------------------9分 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以084≥+=∆t
解得2
1
-
≥t ---------------------------------------------10分 又因为直线OA 与l 的距离55=
d 可得555
=t -------------------------------12分 ∴1±=t ，其中1-=t 舍去---------------------------------------------13分
存在满足题意的直线l ，其方程为012=-+y x ---------------------------------------14分
19．〔本小题总分值14分〕
解:〔1〕〔法一〕∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z 。

………………………………… 1分 那么A 〔0，0，2〕，B 〔2，0，0〕，G 〔2，2，0〕，D 〔0，2，2〕，E 〔0，0，0〕
BD =〔－2，2，2〕
，EG =〔2，2，0〕……………………………………………3分 BD EG ⋅=〔－2，2，2〕·〔2，2，0〕＝0，∴BD EG ⊥………………………4分
〔法二〕作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，……………1分
由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH 。

又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ，
BH ⋂DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，………………… 3分 而BD ⊂平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。

………………… 4分
〔或者直接利用三垂线定理得出结果〕 〔2〕∵AD ∥面BFC ，
所以 ()f x =V A-BFC ＝AE S BFC ⋅∆3
1
＝13·12·4·(4-x)·x
2288
(2)333
x =--+≤………………………………………………………………7分
即2x =时()f x 有最大值为8
3。

…………………………………………………8分
〔3〕〔法一〕设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =， ∵AE=2, B 〔2，0，0〕，D 〔0，2，2〕，
F 〔0，3，0〕,∴(2,3,0),BF =-BD =〔－2，2，2〕,…………………………9分
F
E D C
B A
y G
F
D
E
C
B
A H
那么 1100
n BD n BF ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，
即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z •-=⎧⎨
•-=⎩，2220
230
x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩
取x ＝3，那么y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n =
面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n =……………12分 那么cos<12,n n >=
121214
14||||
n n n n •
= …………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角， 所以此二面角的余弦值为－
14
……………………………14分 〔法二〕作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM 。

由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角。

…………9分 由△HMF
∽△EBF ，知
HM
HF ＝BE BF
，而HF=1，BE=2，
BF ， ∴HM 2 又
DH ＝2，
∴在Rt △HMD 中，tan ∠
DMH=-
DH
HM
因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH ＝
14
， ………………………………13分 而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角， 故二面角D-BF-C 的余弦值为－
14
………………………………14分 20.解：〔1〕,22=b 那么1=b ， ………………………………1分
∵2
3
==
a c e ，解得3,2==c a ………………………………3分 椭圆的方程为14
22
=+x y …………………….〔4分〕
〔2〕设AB 的方程为3+=kx y 由0132)4(14
32222
=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k x y kx y ，①
那么1224x x k -+=
+，12214
x x k -⋅=+………………………………6分 由得，
121212122210(4
x x y y m n x x kx kx b a =⋅=+=++
22413()444
k k +=⋅-+++
解得k = ………………………………8分
经验证，k =0∆>，符合题意，
因此k = ………………………………9分 〔3〕根据题意，当直线AB 的斜率不存在，即12x x =，12y y =-时，
由0m n ⋅=得22
11
04y x -=，即22114y x =， 有11(,)A x y 在椭圆上，所以22
11
14y x +=，
所以12
x =
，1y = 所以11211112122
AOB s x y y x y ∆=-=⋅=………………………………10分 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由2
214
y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(4)240k x kmx m ⇒+++-=， 那么12224
mk x x k -+=+，212244m x x k -=+………………………………12分
又0m n ⋅=，即12121()()04
x x kx m kx m +++=，那么2224m k -=，……………13分
121122AOB s m x x m ∆=⋅-=22212m m ==， AOB ∴∆的面积为定值1………………………………14分。