2018届重庆市三峡联盟高三3月联考文科数学试题及答案

重庆三峡名校联盟高2018级3月联考
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题，50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2，3}，则（U ðA ）
∩B 等于 A ．{3}
B ．{l,2}
C ．{1,3}
D ．{l,2,3}
2．设数列{}n a 是等差数列，且15432=++a a a ，则这个数列的前5项和5S = A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
3
Ａ．3
1
Ｂ．
Ｃ．2
Ｄ．2
4. 下列关于命题的说法正确的是
A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：”若2
1x =，则1x ≠”
B ．“A ≠∅”是“A B ≠∅”的充分不必要条件
C ．命题“∃ x R ∈，使得210x x +-<”的否定是“∀ x R ∈，均有210x x +->”
D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
正视图
侧视图
1
2
5. 函数22()cos ()cos ()()4
4
f x x x x R ππ
=--+∈是
A 周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C,周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 6.已知向量a ，b 满足||=2，|b |=3，|2a +b |=37，则a
与b 的夹角为
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
7.设不等式组⎩⎨
⎧≤≤≤≤2
02
0y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，则
此点到坐标原点的距离大于1的概率为
A.2
1 B. 41π-
C.41
D.16
1π- 8.已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题： ①若α∥β，
则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．已知点P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>和圆2222x y a b +=+的一个交点，
12,F F 是双曲线的两个焦点，21122PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率为
A
1 B 。

1
2
C ．2 D. 12
10.设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 上的导
函数为()f x ''，若在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间
(,)a b 上的“凸函数”。

已知432
113()1262
f x x mx x =
--，若对任意的实数m 满足2m ≤时，函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则b a -的最大值为
Ａ.4 B.3 C. 2 D.1
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25
分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．复数
512i
i
-的虚部为
13.对于有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：
根据上表得它们的回归直线方程为a x y
ˆ52.10ˆ+=，据此模型来预
测当x=20时，y 的估计值为 14．已知函数
5(6),
()(4)4(6),2
x a x f x a
x x -⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取
值
范围是
15.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率为,A B 两点，且AF BF >，则
AF
BF
= . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
16. （本小题满分13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
在数列{}n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）设1
1
+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S
17. （本小题满分13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110
分以上的同学中各随机抽取8人，将这16人的数
学成绩编成如下茎叶图.
（Ⅰ）茎叶图中有一个数据污损不清（用△表
示），若甲班抽出来的同学平均成绩为122分，试
推算这个污损的数据是多少？
（Ⅱ）现要从成绩在130分以上的5位同学中
选2位作数学学 习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率.
18. （本小题满分13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
已知函数21()cos cos ,2
f x x x x x R =--∈．
17题图 1
521386400△7822814131211乙甲
(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，
sin 2sin B A =求a b 、的值．
19. （本小题满分12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问4分，第Ⅲ问4分）
如图所示，已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC , ECD ∆为
等边三角形，F 为ED 边上的中点,且22CD BD AC ===，
（Ⅰ）求证：CF ∥面ABE ； （Ⅱ）求证：面ABE ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求该几何体ABECD 的体积。

20．（本小题满分12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分） 已知函数x x a x f ln )(+=
,且x
x
x x g x f ln )1()()(+=+。

（1）若函数)(x f 在()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求()f x 的极值。

（2）若函数)(x g 在[]2
3
,1上的最小值为e ，求实数a 的值。

21．（本小题满分12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分）
如图，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的右焦点2F 与抛
物线x y 42=的焦点重合，过2F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于T S ,，而与抛物线交于D C ,两点，
B
A E
D
C F
且
22=ST
CD .
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若过)0,2(m 的直线与椭圆E 相交于两点A 和B ，
设P 为椭圆E 上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.
数学参考答案与评分标准（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B
D
D
D
A
C
D
C
A
C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.
11. 1 12. -3 13. 211.8 14. [)7,8 15.3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12-=n a n . ………………………………………………7分
∴)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-=+=n n n n a a b n n n (10)
分
∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--++-+-=+++=)121
121()5131()311(2121n n b b b S n n 1
2)1211(21+=
+-=
n n
n …………………………………………13分
17（Ⅰ）设污损的数据为x ，则甲班抽出来的同学的平均成绩为
1
8
[(110312031302)2280713]122x ⨯+⨯+⨯++++++++= 解得3x = 所以这个污损的数据是3 ……………………6分
（Ⅱ）依据题意，甲班130分以上的有2人，编号为A ，B ，乙班130分以上
的有3人，编号为c 、d 、e ，从5位同学中任选2人，所有的情况列举如下：AB ,Ac ,Ad ,Ae ,Bc ,
Bd ,Be ,cd ,ce ,de 共10种结果 ……………………………10分 其中两位同学不在同一班的有Ac ,Ad ,Ae ,Bc ,Bd ,Be 共6
种.。

12
所以所求概率为63
105= ………………………………13分
19解：（1）证明：取BE 的中点G ，连FG ∥BD 2
1,AC ∥BD 2
1,故CF ∥AG ⇒CF ∥面ABE (4分)
（2）证明：△ECD 为等边三角形⇒CF ⊥ED 又CF ⊥BD ⇒CF ⊥面BDE
CF ∥AG
故AG ⊥面BDE ⇒面ABE ⊥平面BDE （8分）
（3）几何体ABECD 是四棱锥E-ABCD,EH ⊥CD ⇒EH ⊥面ABCD
332)21(2
1
31=∙∙+∙=
-ABCD E V （12分）
20.解:（1）2
1(ln )
()a x f x x
-+'=
由(1)0f '=得1a =
2ln ()x
f x x
'∴=
得()()()0,11+f x ∞在单减，在，单增 ()(1)1,f x f ∴==极小值无极大值。

（5分） （2）x
a
x x a x x x x a x x x x g -=-=+-+=
ln ln ln ln )1()( [][][]e
a a a g x g a e e a e
a e a e g x g e x g e x g a a a a x g a ii a a g e x g a i x
a
x x a x x g -=⇒=+-=--≤≤-≤-≤-=⇒=-=↓-<>=⇒==↑<<-<-↑
+∞-↓-<-=⇒=-=+∞≥+=+='2
3
1)ln()()(113)
(2
231)()(1)(a e a -22
3
-a 23-a 1g x g e 1)(01,11),(,)0)(0)
(2
3
23)1(1),0)(0)(1)(2
2最小值为时，即、舍去的最小值为
，上，在时，即、（舍去）
）（）的最小值为
（，上，在时，即、，在（时，）当（舍去为上单调递增，最小值
，上单调递增，在在（时，当
综上所述，e a -= （12分） 21． 解：
⑴焦点)0,1(2F ,22=ST
CD
,22,1,2,422
2222===+==a b ST b y a x ST CD
1,2,1==∴=b a c 12
22
=+y x
⑵⎩⎨⎧-==+)
2(2222x k y y x 即 0288)21(2222=-+-+k x k x k 设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A
⎩⎨⎧=+=+021021ty y y tx x x 得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-⋅=-+-⨯=+=+⋅=+=22
212102
22102141]22[1)(12181)(1k k
t k kx k kx t y y t y k k t x x t x
])
21(32)218[(1222
22
222220
2
k k k k t y x +++=+= 即22242)21(2481k k k t ++= 1200)28)(21(4)8(22222<≤>-+-=∆k k k k 即 )
21(1
1)21(2)2(812
222222k k k k t +-=++= ()2,2-∈∴t .。