第一章量子力学基础例题与习题

第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题
第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题
⼀、练习题
1．⽴⽅势箱中的粒⼦，具有的状态量⼦数，是
A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。

解：(C)。

2．处于状态的⼀维势箱中的粒⼦，出现在处的概率是多少？
A．B．C．D．
E．题⽬提法不妥，以上四个答案都不对。

解：(E)。

3．计算能量为100eV光⼦、⾃由电⼦、质量为300g⼩球的波长。

( )
解：光⼦波长
⾃由电⼦
300g⼩球。

4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的⼀维势箱中粒⼦的零点能效应。

解：。

5．链状共轭分⼦在波长⽅向460nm处出现第⼀个强吸收峰，试按⼀维势箱模型估计该分⼦的长度。

解：
6．设体系处于状态中，⾓动量和有⽆定值。

其值是多少？若⽆，求其平均值。

解：⾓动量⾓动量平均值
7．函数是不是⼀维势箱中粒⼦的⼀种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？
解：可能存在状态，能量没有确定值，
8．求下列体系基态的多重性。

(2s+1) (1)⼆维⽅势箱中的9个电⼦。

(2)⼆维势箱中的10个电⼦。

(3)三维⽅势箱中的11个电⼦。

解：(1)2，(2)3，(3)4。

9．在0－a间运动的⼀维势箱中粒⼦，证明它在区域内出现的⼏率。

当，⼏率P怎样变？
解：
10．在长度l的⼀维势箱中运动的粒⼦，处于量⼦数n的状态。

求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒⼦的⼏率？(2)n为何值，上述的⼏率最⼤？(3)，此⼏率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？
解：
11．⼀含K个碳原⼦的直链共轭烯烃，相邻两碳原⼦的距离为a，其中⼤π键上的电⼦可视为位于两端碳原⼦间的⼀维箱中运动。

取l＝(K－1)a，若处于基组态中⼀个π电⼦跃迁到⾼能级，求伴随这⼀跃迁所吸收到光⼦的最长波长是多少？
解：
12．写出⼀个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒⼦的薛定锷⽅程，求其解。

解：
13．在什么条件下?
解：
14．已知⼀维运动的薛定锷⽅程为：。

和是属于同⼀本征
值得本征函数，证明常数。

解：
15．对⽴⽅箱中的粒⼦，考虑的能量范围。

(1)在此范围有多少个态？(2)在此范围有多少个能级？
解： (1) 17 (2) 6。

例题与习题
⼆、思考题
1.微观粒⼦运动服从Schr?dinger⽅程，宏观物体可⽤⽜顿定律描述它们的运动规律，请问如何界定微观粒⼦与宏观物体的界限?
答：我们可⽤Heisenberg测不准关系来区分，即坐标与动量不确定量的乘积要⼤于普朗克常数的数量级△x·△p≥h
例如质量为0.008kg⼦弹，运动速度为500ms－1，若速度不确定度为1％，则位置的不确定度为
⼦弹弹孔10－32数量级的偏差对任何靶场来说，都是测不出来的，可以忽略。

⽽对原⼦、分⼦中的电⼦质量为9.1×10－31kg 运动速度取2000ms－1，速度不确定度也是1％，则位置不确定度
原⼦间距在10－10m数量级，所以10－5m数量级说明电⼦根本⽆法测定。

2.量⼦⼒学中如何描述微观粒⼦的运动状态
答：由于微观粒⼦的波粒⼆象性，量⼦⼒学中⽤状态波函数ψ来描述粒⼦的运动状态，在原⼦、分⼦体系中ψ就是我们常说的电⼦的原⼦轨道或分⼦轨道，ψ*ψ称为⼏率密度，也是通常说的电⼦云。

ψ*ψdτ是电⼦在空间某微体积元dτ出现的⼏率。

3.试从势箱中⾃由粒⼦的Schr?dinger⽅程求解归纳⼀下简单体系的Schr?dinger⽅程解法。

答：Schr?dinger⽅程是⼀个本征⽅程。

势箱中粒⼦的⽅程是⼆阶常系数微分⽅程。

求解具体步骤如下：
①写出的具体形式（）
②写出微分⽅程的通解
③根据边界条件，得到能量本征值E
④能量E代⼊ψ，再⽤ψ的正交归⼀性，求出ψ的具体形式。