2017_2018版高中数学第一章三角函数5_2正弦函数的性质学案北师大版必修4

当堂训练
1．D 2.D 3.D
4．解 ∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1， x＝2kπ－ ，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
现在自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1， x＝2kπ＋ ，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
现在自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
(k∈Z)．
跟踪训练1 ，
例2 解 (1)∵sin(－ )＝－sin ，
sin(－ )＝－sin(2π＋ )＝－sin ，
由于 < < < ，
且y＝sinx在( ， )上是减少的，
∴sin >sin ，
∴－sin <－sin ，
即sin(－ )<sin(－ )．
(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
(2)求使函数y＝－sin2x＋ sinx＋ 取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值．
反思与感悟 求正弦函数的值域一样有以下两种方式(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方式求值域，例如转化为y＝a(sinx＋b)2＋c型的值域问题．
(2)利用sinx的有界性求值域，如y＝asinx＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
5．解 ∵函数y＝2sin ＝－2sin ，
∴函数y＝2sin 的递增区间为y＝2sin 的递减区间．
由 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z.
∵x∈(0，π)，∴由k＝0，得 ≤x≤ .
∴函数y＝2sin ，x∈(0，π)的递增区间为 .
梳理
函数
正弦函数y＝sinx，x∈R
图像
定义域
值域
[－1,1]
最值
当________(k∈Z)时，ymax＝1；
当____________(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
是周期函数，周期为__________________，2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于________对称
单调性
在区间______________________________(k∈Z)上是增加的；
跟踪训练1 函数y＝sin ，x∈ 的递减区间为________________．
类型二 正弦函数单调性的应用
命题角度1 利用正弦函数单调性比较大小
例2 比较以下三角函数值的大小．
(1)sin(－ )与sin(－ )；
(2)sin 196°与cos 156°；
反思与感悟 (1)比较sinα与sinβ的大小时，可利用诱导公式把sinα与sinβ转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．
在区间______________________________(k∈Z)上是减少的
对称轴
________________，k∈Z
对称中心
________，k∈Z
类型一 求正弦函数的单调区间
例1 求函数y＝2sin 的递增区间．
反思与感悟 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若是式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变成正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
跟踪训练4 求f(x)＝2sin2x＋2sinx－ ，x∈[ ， ]的值域．
1．函数f(x)＝sin 的一个递减区间是( )
A． B．[－π，0]
C． D．
2．以下不等式中成立的是( )
A．sin >sin
B．sin 3>sin 2
C．sin π>sin
D．sin 2>cos 1
3．函数y＝sin ，x∈ 的值域是( )
∴函数y＝－2sinx＋1的值域为[－1,3]．
(2)令t＝sinx，那么－1≤t≤1，
y＝－t2＋ t＋
＝－(t－ )2＋2.
∴当t＝ 时，ymax＝2.
现在sinx＝ ，即x＝2kπ＋ 或x＝2kπ＋ (k∈Z)．
∴当t＝－1时，ymin＝ － .
现在sinx＝－1，即x＝2kπ＋ (k∈Z)．
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°
＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，
而y＝sinx在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 14°<sin 20°，
∴－sin 14°>－sin 20°，
即sin 194°>cos 110°.
例3 解 由－ ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ(k∈Z)，
试探2 关于正弦函数y＝sinx，x∈R有：
当且仅当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
试探3y＝sinx的递增区间为 ，k∈Z，递减区间为 ，k∈Z.
梳理Rx＝ ＋2kπx＝－ ＋2kπ 2kπ(k∈Z，k≠0) 原点 [－ ＋2kπ， ＋2kπ] [ ＋2kπ， ＋2kπ]x＝ ＋kπ (kπ，0)
反思与感悟 此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包括关系，然后列不等式组求出参数范围．
跟踪训练3 已知ω>0，函数f(x)＝sin 在 上是减少的，那么ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2]
类型三 正弦函数的值域或最值
例4 (1)求使函数y＝－2sinx＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；
跟踪训练4 解 令t＝sinx，
∵x∈[ ， ]，
∴ ≤sinx≤1，即 ≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝2(t＋ )2－1，
t∈[ ，1]且该函数在[ ，1]上是增加的．
∴f(x)min＝g( )＝1，
f(x)max＝g(1)＝ .
∴f(x)＝2sin2x＋2sinx－ ，x∈[ ， ]的值域为[1， ]．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判定．
3．求三角函数值域或最值的经常使用方式
将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确信y的范围．
问题导学
知识点
试探1 奇偶性．
得－ ＋ ≤x≤ ＋ ，
∴f(x)的递增区间是[－ ＋ ， ＋ ]，k∈Z.
依照题意，得[－ ， ]⊆[－ ＋ ， ＋ ](k∈Z)，
从而有 解得0<ω≤ .
故ω的取值范围是(0， ]．
跟踪训练3 A
例4 解 (1)当x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3，
当x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymin＝－2×1＋1＝－1，
题型探讨
例1 解y＝2sin
＝－2sin ，令z＝x－ ，
则y＝－2sinz.
因为z是x的一次函数，因此要求y＝－2sinz的递增区间，即求sinz的递减区间，即2kπ＋ ≤z≤2kπ＋ (k∈Z)．
因此2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，
因此函数y＝2sin 的递增区间为
5.2 正弦函数的性质
学习目标 1.明白得、把握正弦函数的性质.2.会求简单函数的概念域、值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小．
知识点 正弦函数的性质
试探1 关于x∈R，sin(－x)＝－sinx，这说明正弦函数具有如何的性质？
试探2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？
试探3 正弦函数的单调区间是什么？
(2)比较sinα与cosβ的大小，常把cosβ转化为sin( ±β)后，再依据单调性来进行比较．
(3)当不能将两角转到同一单调区间上时，还能够借助于图像或值的符号比较．
跟踪训练2 比较sin 194°与cos 110°的大小．
命题角度2 已知三角函数单调性求参数范围
例3 已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间[－ ， ]上是增加的，求ω的取值范围．
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°
＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sinx在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 16°<sin 66°，
从而－sin 16°>－sin 66°，
即sin 196°>cos 156°.
跟踪训 14°，
A． B．
C． D．
4．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
5．求函数y＝2sin( －2x)，x∈(0，π)的递增区间．
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方式
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为递增区间，由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为递减区间．假设ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．