江苏省海安县南莫中学高一数学上学期期末考试【会员独享】

江苏省海安县（南莫中学）10—1高一上学期期末调研考试（数学）
(满分160分，考试时间1)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1． 已知向量
()()
2413AB AC ==，，，，则向量BC 的坐标是 ▲ .
2． 已知全集{12345}U =，
，，，，集合{134}{23}A B ==，，，，，则()U A B =
ð ▲ .
3． 已知
()ππ
2θ∈，，
3
sin 5θ=
，则tan θ= ▲ .
4． 8120()log x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，，已知函数，≥0，若001()4f x x =，则的值为 ▲ .
5． 函数
()
2π
()sin 3f x x =+的最小正周期为 ▲ . 6． 设函数1
122
123()()()f x x f x x f x x -===，，，则()321
(2011)f f f ⎡⎤⎣⎦= ▲ . 7. 在边长为1的正三角形ABC 中，AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= ▲ . 8. 若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则()()
3πsin 5πsin 2θθ-⋅-=
▲ .
9． 若函数()y f x =的定义域为R ，值域为[a ，b ]，则函数()y f x a =+的最大值与最小值
之和为 ▲ .
10．已知△ABC 所在平面上一点M 满足MA MB MC AB AC mAM ⎧++=⎪⎨
+=⎪
⎩0，
，则m = ▲ ． 11. 用
{}
min a b ，表示a ，b 两数中的较小数. 设函数
{}
()min f x x x t =+，的图象关于直线
1
2x =-对称，则t 的值为 ▲ .
12．若a ，b 为实数，集合{}1{0}
b M P a a ==，，，，:f x x →是集合M 到集合P 的一个映射，
则a +b = ▲ .
13．设函数
e ()1e x
x a f x a -=
+(a 为常数)在定义域上是奇函数，则a = ▲ . 14．对于函数
()(
)
ππ
()sin 022f x x ωϕωϕ=+>-<<，，有下列论断： ①函数()y f x =的图象关于直线π12x =对称； ②函数()y f x =的图象关于点()π0
3
，对称； ③函数()y f x =的最小正周期为π；
④函数()y f x =在区间π06⎡⎤-⎢
⎥⎣⎦，上是单调增函数. 以其中两个论断作为条件，其余两个作为结论，写出你认为正确一个命题： ▲ . （填序号即可，形式：⊗⊗⇒⊗⊗）
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设集合
{
}24(4)A x x a a x a =+=+∈R
，,{}2
45B x x
x
=+=．
（1）若A B A =，求实数a 的值； （2）求A B ，A B ． 16．（本小题满分14分）
已知向量()
()
3sin cos 12x x ==-，，，a b .
（1）当a // b 时，求cos2x 的值；
（2）设函数()
()f x =+⋅a b b ，问：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得函数
()y f x =的图象？
17. （本小题满分14分）
设函数()
2()2sin sin .
2x f x a k x b =++
（1）当1a k ==，()f x 的单调减区间；
（2）当01a k <=，
时，函数()f x 在[]0π，上的值域是[2，3]，求a ，b 的值.
18．（本小题满分16分）
已知函数
2
()()()2f x x bx c b c g x x b =++∈=+R ，，，且对于任意x ∈R ，恒有()().g x f x ≤ （1）证明：
1c c b
≥，≥；
（2）设函数()h x 满足：2
()()()f x h x x c +=+，证明：函数()h x 在
()0+∞，内没有零点.
19. （本小题满分16分）
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在 40分钟的一节课中，注意力指数p 与听课时间t （单位：分钟）之间的关系满足如图
所示的曲线．当(014]t ∈，
时，曲线是二次函数图象的一部分，当[1440]t ∈，时，曲线 是函数
()log 583a y x =-+(0a >，1a ≠)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时学
习效果最佳．
（1）试求()p f t =的函数关系式； （2）教师在什么时段内安排核心内容，能使
得学生
学习效果最佳？请说明理由．
本小题满分16分）
设t ∈R ，m ，n 都是不为1的正数，函数
().x x
f x m t n =+⋅ （1）若m ，n 满足1mn =，请判断函数()y f x =是否具有奇偶性. 如果具有，求出相
应的t 的值；如果不具有，请说明理由；
（2）若
1
22m n ==，，且0t ≠，请判断函数()y f x =的图象是否具有对称性. 如果具 有，请求出对称轴方程或对称中心坐标；若不具有，请说明理由.
参考答案
【填空题答案】
1. （－1，1）
2. {2}
3. 3
4- 4. 3 5. π 6. 12011 7. 3
2- 8. 3
10
9. a ＋b 10. 3 11. 1 12. 1 13. 1± 14. ①③⇒②④（或②③⇒①④，①②⇒③④）
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
设集合
{
}24(4)A x x a a x a =+=+∈R
，,{}2
45B x x
x
=+=．
（1）若A B A =，求实数a 的值； （2）求A B ，A B ． 解：
{}{}
414A x x x a B ====或，，. ……4分
(1) 因为A B A =，所以A B ⊆，由此得1a =或4a =；……8分 (2) 若1a =，则{}
14A B ==，，所以
{}
14A
B =，，
{}
14A
B =，；………10分
若4a =，则
{}
4A =，所以{14}A B =，, {4}A B =； ……………………12分
若14a a ≠≠且，则{}
4A a =，，所以{14}A B a =，，, {4}A B =. ………14分
16．（本小题满分14分）
已知向量()
()
3sin cos 12x x ==-，，，a b .
（1）当a // b 时，求cos2x 的值；
（2）设函数()
()f x =+⋅a b b ，问：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得函数
()y f x =的图象？
解：（1）当a // b 时，有3sin cos 0
2x x +=， ………2分
于是229sin cos 4x x
=，从而229cos cos 14x x +=，解得
24cos 13x =，所以29sin 13x =. ………………………4分
所以cos2x
22495cos sin .
131313x x =-=-=- …………6分 （2）()()
()2
12sin cos 2cos 1()sin cos cos 122x x x f x x x x +-=+⋅=+⋅-=，，a b b
()
sin 2cos2π
224x x x +=+. ………8分 由函数sin y x =的图象经过下列三步可得()y f x =的图象：
①将函数sin y x =的图象上所有点向左平移π4个单位，得函数
()
π
sin 4y x =+的图象；
②将函数()
π
sin 4y x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得函数()
π
sin 24y x =+的图象；
③将函数()
π
sin 24y x =+的图象上每一点的纵坐标
变为原来的倍（横坐标不变），得函
数
()
π
24y x =+即()y f x =的图象. ……14分
17. （本小题满分14分）
设函数()
2()2sin sin .
2x f x a k x b =++
（1
）当1a k ==，()f x 的单调减区间；
（2）当01a k <=，
时，函数()f x 在[]0π，上的值域是[2，3]，求a ，b 的值. 【解】()
()2()2sin sin 1cos sin .2x f x a k x b a x k x b =++=-++…………2分
（1
）当
1a k ==，
()()
π()1cos 2sin 1.
6f x x x b x b =-+=-++……4分
因为函数sin y x =的单调减区间是π3π2π2π()
22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，
所以当ππ3π2π2π262k x k ++≤-≤即2π5π2π2π()
33k x k k ++∈Z ≤≤时，()f x 是单调减函数，
故函数()f x 的单调减区间是2π5π2π2π().33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， ………………………7分
（2）当01a k <=，时，(
)()
π()1cos sin sin .
4f x a x x b x a b =-++=-++……9分
因为[]0πx ∈，，所以ππ3π444x --≤≤
，所以()πsin 1.4x -≤
又因为0a <
()πsin 4x a
--≤，
().a b f x b ++≤≤ ………12分 因为()f x 的值域是[2，3]
，所以23a b b ++==⎪⎩，，
解得1 3.a b == ………14分
18．（本小题满分16分）
已知函数
2
()()()2f x x bx c b c g x x b =++∈=+R ，，，且对于任意x ∈R ，恒有()().g x f x ≤ （1）证明：
1c c b
≥，≥；
（2）设函数()h x 满足：2
()()()f x h x x c +=+，证明：函数()h x 在
()0+∞，内没有零点.
【证明】（1）任意x ∈R ，恒有()()g x f x ≤，即2
(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，
所以2
(2)4()0b c b ---≤，化简得2
14b c +≥. 于是1c ≥
. ……4分 而()
()
2
2
22
2
2
211044b b c b b -+-=-≥≥，所以22c b ≥，故c b ≥.………8分
（2）
2
()()()(2)(1)h x x c f x c b x c c =+-=-+-. ……10分 由（1）知2()0c b c c b -=+->，(1)0c c -≥. ………13分 于是当
()
0x ∈+∞，时，
2
()()()(2)(1)0h x x c f x c b x c c =+-=-+->， 故函数()h x 在
()0+∞，内没有零点. ……16分
19. （本小题满分16分）
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在 40分钟的一节课中，注意力指数p 与听课时间t （单位：分钟）之间的关系满足如图
所示的曲线．当(014]t ∈，
时，曲线是二次函数图象的一部分，当[1440]t ∈，时，曲线 是函数
()log 583a y x =-+(0a >，1a ≠)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时学
习效果最佳．
（1）试求()p f t =的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得
学生
学习效果最佳？请说明理由． 【解】（1）当[014]t ∈，
时， 设2
()(12)82(0)p f t c t c ==-+<， (2)
分
将(14，81)代入得
1.
4c =- 所以当[014]t ∈，时，21
()(12)82
4p f t t ==--+. ……4分
当[1440]t ∈，时，将(14，81)代入()log 583a y x =-+，得
1.3a =……6分 于是213
1(12)82(014)4
()log (5)83(1440).t t p f t t t ⎧--+<⎪
==⎨-+⎪⎩，≤，，≤≤ ……8分
（2）解不等式组20141
(12)82804t t <⎧⎪⎨--+>⎪
⎩≤，
得1214.t -< ……11分
解不等式组1
31440log (5)8380t t ⎧⎪⎨-+>⎪⎩≤≤，
得1432.t <≤……14分
故当1232t -<时，()80p t >，
答：老师在
()
1232t ∈-时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．…16分
本小题满分16分）
设t ∈R ，m ，n 都是不为1的正数，函数
().x x
f x m t n =+⋅ （1）若m ，n 满足1mn =，请判断函数()y f x =是否具有奇偶性. 如果具有，求出相
应的t 的值；如果不具有，请说明理由；
（2）若
1
22m n ==，，且0t ≠，请判断函数()y f x =的图象是否具有对称性. 如果具 有，请求出对称轴方程或对称中心坐标；若不具有，请说明理由.
【解】（1）因为1mn =，所以
().x x x x
f x m t n n t m ---=+⋅=+⋅………2分 ()y f x =是偶函数()()0f x f x ⇔--=恒成立()()10x x n m t ⇔--=恒成立. ………4分 ()y f x =是奇函数()()0f x f x ⇔+-=恒成立()()10x x n m t ⇔++=恒成立. ………6分
因为m ，n 都是不为1的正数，且1mn =，所以
00x x x x
n m n m -=+≠不恒成立，， 故当且仅当t =1时，()y f x =是偶函数；当且仅当1t =-时，()y f x =是奇函数.
………8分
（2）当
1
22m n ==，时，()22x x f x t -=+⋅. 如果0t <，那么22log ()log ()()222()222222t t x x x x x x x x f x t t ------=+⋅=--⋅=-⋅=-，
于是有
()2log ()()
f t x f x --=-，
所以函数()y f x =的图象是关于点()2
1log ()0
2
t -，对称的中心对称图形. …………12分 如果0t >，那么22log log ()2222222t t x x x x x x
f x t ---=+⋅=+⋅=+，
于是有
()2log ()
f t x f x -=，
所以函数()y f x =的图象是关于直线
21log 2x t =
对称的轴对称图形. ……16分。