【数学】广西省柳州市柳城高中2013-2014学年高二上学期期末考试(理)

柳城高中2013-2014学年度上学期期末考试
高二数学试题（理）
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（请把正确选项填到答题卡对应题号下面。

共12题，每题5分，共60分） 1.命题：“对任意的x ∈R ，2x -2x-30≤”的否定是（ ） A.不存在x ∈R ，2x -2x-30≥ B.存在x ∈R ，x 2
-2x-3≤0
C.存在x ∈R ，x 2-2x-3＞0
D.对任意的x ∈R ，x 2
-2x-3＞0
2. “0<mn ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3、如果抛物线y 2
= ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ） A ．（1, 0） B ．（2, 0） C ．（3, 0） D ．（－1, 0）
4. 过点P （2，-2）且与2
2x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．14222=-x y
B ．12422=-y x
C ．12422=-x y
D ．14
22
2=-y x 5.过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8 B ．10 C ．6 D ．4
6、双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3 B ．
26 C ．36 D ．3
3 7.已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）
A. －3或1
B.3或－1
C. －3
D.1
8. 椭圆13122
2=+y x 焦点F1，F2，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么|1PF |
是|2PF |的( )
A. 5倍
B. 7倍
C. 4倍
D. 3倍
9. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =，
AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量（ ）
A.1122a b c -++
B.1122
a b c ++
C.1122a b c --+
D.
c b a +-2121
10、试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-
1,41 B.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,41 C.()22,2-- D.()
22,2- 11. 已知非零向量21,e e
不共线，如果,33,822121,21e e AD e e C A e e B A -=+=+=则四
点，，，A B C D （ ）
Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面
12、已知双曲线 和椭圆 (a>0, m>b>0)的离心率互为倒数，那
么以a 、b 、m 为边长的三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形 二、填空题(把答案填在题中横线上。

本大题共4小题，每题5分，共20分) 13、斜率为1的直线与椭圆2244x y +=交于A,B 两点，则|AB|的最大值为
.
14、若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和
S n ＞0成立的最大自然数n 是
．
15、若过双曲线2
2
1
3y x -=的右焦点2F 作直线l ，与双曲线的两支都相交，则直线l 的倾斜
角α的取值范围是
.
16、将直线20x y b -+=左移1个单位，再向下移2个单位后，它与抛物线
2
4y x =仅有一个公共点，则实数b 值等于 .
三、解答题(本大题共6小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分） 在△ABC 中，已知（a+b+c ）（b+c －a ）=3bc,且sinA=2sinBcosC 。

若a=1，求此三角形面积。

18．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 各项均为正数，且622
3219,132a a a a a ==+
C1
1
2
222=-b y a x 122
22=+b y m x
（1）求数列{}n a 通项公式；
（2）设+⋯++=2313log log a a b n 项和前，求n b a n n ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧1log ,3 19．（本小题满分12分）
已知椭圆焦点在X 轴，短轴长为6，离心率为
2
3。

（1）求椭圆标准方程。

(2)求椭圆中以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程. 20．（本小题满分12分）
如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， PA=AD=2，BD=22.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离.
21．（本小题满分12分）
已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程． 22．（本小题满分12分）
已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F ,点)7,3(P 在
双曲线C 上.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF
的面积为求直线l 的方程.
高二理数答案
1---5 C B A A A, 6---10 B A B A A , 11---12 C B 13、
5104 14、4006 15、⎥⎦
⎤
⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,323,0 16、7 17、解：（a+b+c ）（b+c －a ）=（b+c+a ）（b+c －a ）=
18、解:
（1）由622
3
219,132a a a a a ==+，
19、解：（1）b=3，a c
=
2
3
，所以a=6,b=3.所以椭圆标准方程
19
362
2=+y x （2）设以点)2,4(P 为中点的弦的两端点分别为),(11y x A 、),(22y x B ，
由点A 、B 在椭圆
19
362
2=+y x 上得 19362121=+y x ， 19362
2
22=+y x 两式相减得：
09
362
2
212221=-+-y y x x 0
222222602
1
cos 32=⇒=
⇒=-+⇒=+-+A A bc a c b bc bc a c b 4
31600
)sin(cos sin 2sin cos cos sin cos sin 2)sin(cos sin 2sin 0面积为
三角形为等边三角形△ABC c b a ABC C B A C B C B C
B C B C B C B C B C B A ⇒===⇒⇒===⇒=⇒=-⇒=+⇒=+⇒=1
2)111(211131212112111)111(2)1(212
)
1()321(221+-=+-
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+∙∙∙++∴+--=+-=∴+-
=+∙∙∙+++-=n n
n n n b b b n n n n b n n n b n n n ）
（n
n a a q 31,31,311===
即)()(42
2212221x x y y --=- ))(())((421212121x x x x y y y y -+-=-+∴
显然21x x =不合题意，21x x ≠∴ 由4,82121=+=+y y x x
2
1
448)(421212121-=⨯-=++-=--=
∴y y x x x x y y k AB
所以，直线AB 的方程为)4(2
1
2--
=-x y 即所求的以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程为082=-+y x
20、解：方法一：证：⑴在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2，ABCD 为正方形，因此
BD ⊥AC .
∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . （2）由PA ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ，
知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. 又∵PA =AD ，∴∠PDA=450
. （3）∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ，设C 到面PBD 的距离为d ， 由PBD C BCD P V V --=，有
d S PA S PBD BCD ∙∙=∙∙∆∆3
1
31
即
d ∙∙∙=⨯⨯⨯∙0260sin )22(21312222131，得=d 方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），
∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-===
∵0,0=∙=∙，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ， ∴BD ⊥平面PAC . …………4分 解：（2）由（1）得)0,0,2(),2,2,0(-=-=CD PD .
设平面PCD 的法向量为),,(1z y x n =，则0,011=∙=∙CD n PD n ，
即⎩⎨
⎧=++-=-+00020220x z y ，∴⎩⎨⎧==z
y x 0
故平面PCD 的法向量可取为)1,1,0(1=n
∵PA ⊥平面ABCD ，∴)01,0(=AP 为平面ABCD 的法向量.
设二面角P —CD —B 的大小为θ
，依题意可得2
2
cos =
=
θ . （3）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(-=-=，设平面PBD 的法向量为),,(2z y x n =，
则0,022=∙=∙n n ，即⎩
⎨⎧=-+=-+02200
202z y z x ，∴x =y =z ，故可取为)1,1,1(2=n .
∵)2,2,2(-=∴C 到面PBD
的距离为3
3
2=
=
d 21、解:设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）
∵M 是FQ 的中点，∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=22
12
2y y x x ⇒⎩⎨
⎧=-=y
y x x 21222，又Q 是OP 的中点∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==221
212y y x x ⇒⎩⎨
⎧==-==y y y x x x 422
4221
21， ∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为2
12-=x y .
22、解：(Ⅰ)由已知2=c 及点)7,3(P 在双曲线C 上得
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1)7(3
4
222
2
22b a b a 解得2,222==b a 所以，双曲线C 的方程为12
22
2=-y x . (Ⅱ)由题意直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2+=kx y
由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12
222
2y x kx y 得 064)1(22=---kx x k 设直线l 与双曲线C 交于),(11y x E 、),(22y x F ，则1x 、2x 是上方程的两不等实根，
012≠-∴k 且0)1(241622>-+=∆k k 即32<k 且12≠k ①
这时 22114k k x x -=
+，2
2116
k
x x --=⋅ 又2222
1
21212121=-=-⨯⨯⨯=-⋅=
∆x x x x x OQ S OEF 即 84)(21221=-+x x x x 8124
)14(
2
22=-+-∴k
k k 所以 222)1(3-=-∴k k 即022
4
=--k k
0)2)(1(22=-+∴k k
又012
>+k 022
=-∴k 2±=∴k 适合①式 所以，直线l 的方程为22+=
x y 与22+-=x y .
另解：求出EF 及原点O 到直线l 的距离2
12k d +=
,利用222
1
=⋅=
∆d EF S OEF 求解.
或求出直线2+=kx y 与x 轴的交点)2,0(k
M -，利用
22)(21
212121=-=-=-⋅=∆x x k
x x k y y OM S OEF
求解。