南京市2008届高三年级考前保温汇总

px 南京市2008届高三年级考前保温
数学试题
一、填空题
1. 集合A={x| x 2
+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ⊆A ，则a=__________
2. 已知复数z 满足2z z i +=+，则z =
3. 已知)(156
2
*
∈+=
N n n n a n ，则数列{}n a 的最大项是 4. 已知x 、y ∈R ，则不等式组|1|||20y x y x x ≥-⎧⎪
≤-+⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域的面积是
5. 已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且
|1k a b c ++>｜，则实数k 的取值范围是
6. 如图所示,棱长为1cm
表面积是
7. 已知圆C 1：0276:0762
2
22
2
=--+=--+y y x C x y x 与圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 。

8.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的"基本量".设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和。

下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列"基本量"的是第_____组 (写出所有符合要求的组号).①1S 与2S ；②2a 与3S ;③1a 与n a ;④q 与n a .其中n 为大于1的整数。

9. 若函数213ln(
)1x
y x x
+=+-的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m= 10. 如图所示,已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆
122
22=+b
y a x 的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，
则该椭圆的离心率为
11. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入
12. 数列}{n a 是正项等差数列，若n
na a a a b n
n ++++++++=
32132321，则数列}{n b 也为等差
数列. 类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = 则数列{n d }也为等比数列。

13. 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数”.在实数轴R （箭头向右）上[x]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+…+[log 21024]= 14. 给出下列命题：
（1）在△ABC 中，“A ＜B ”是”sinA ＜sinB ”的充要条件；
（2）在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；
（3）在△ABC 中, 若AB=2,AC=3,∠ABC=
3
π
,则△ABC 必为锐角三角形; ( 4 )将函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移 3
π
个单位，得到函数y=sin2x 的图象，
其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)
二．解答题
15. 已知函数2
()(2cos sin )2
x
f x a x b =++ ⑴ 当1a =时，求()f x 的单调递增区间；
⑵ 当0a >，且[0,]x π∈时，()f x 的值域是[3,4]，求a b 、的值．
16. 已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．
（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的
1
4
，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；
（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．
17. 已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，使DB ＝O 、H 分别为AE 、AB 的中点．
（1）求证：直线OH//面BDE ； （2）求证：面ADE ⊥面ABCE ；
18. 已知按A 设计方案，建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部分造价组成，若建造一栋面积为M 的房子，地面部分的造价M M K Q 1＝，基础部分的 造价M K P 2=（其中21,K K 为正实数），又知按A 设计方案建造一栋面积为 16002
m 的住房，共造价是176.8万元，且地面部分的造价是基础部分的36％， 求：（1）求2K
（2）现要按A 设计方案，建造总面积为400002
m 的住房若干栋，试问：建造多少栋可
使其总造价最少？
19. 已知函数1
)(++=
x c
bx x f 的图象过原点，且关于点)1,1(-成中心对称. (1) 求函数)(x f 的解析式；
(2) 若数列}{n a 满足：2110,1,[n n a a a f +>==，求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列}{n a 的通项公式n a ，并证明你的结论；
(3) 若数列}{n a 的前n 项和为n S ，判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论.
20. 设函数b a x x x f +-=||)(
(Ⅰ) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是02
2
=+b a ；
(Ⅱ) 设常数322-<b ，且对任意0)(],1,0[<∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围。

理科加试题
1．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点，
（1）求;
（2）求;,cos 11的值><CB （3）.:11M C B A ⊥求证
2. 求曲线2
49y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积
3. 假定某射手每次射击命中的概率为
4
3
，且只有3发子弹。

该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完。

设耗用子弹数为X ，求： （Ⅰ）目标被击中的概率； （Ⅱ）X 的概率分布； （Ⅲ）均值E(X)
C 11
4. 求出矩阵A=⎢⎣⎡01 ⎥⎦
⎤
-10的特征值和特征向量。

5. 求直线⎩⎨⎧--=+=t
y t x 3141 （为参数t ）被曲线)4cos(2π
θρ+=所截的弦长。

6. 已知)0,()1()(*21
2≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含x n 项的系数相等，求实数m
的取值范围.
南京市2008届高三年级考前保温
数学试题答案
一、填空题
1、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ⊆A ，则a=___0,2
1
,31-_______
px 2、已知复数z 满足2z z i +=+，则z = 3
4
i + 3、已知)(156
2
*
∈+=
N n n n a n ，则数列{}n a 的最大项是 第12项和第13项 4、已知x 、y ∈R ，则不等式组|1|
||20
y x y x x ≥-⎧⎪
≤-+⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域的面积是 54
5、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且
|1k a b c ++>｜，则实数k 的取值范围是 K>2或K<0
6. 如图所示,棱长为1cm
表面积是 362cm
7. 已知圆C 1：0276:07622222=--+=--+y y x C x y x 与圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 x+y-3=0 。

8、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的"基本量".设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和。

下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列"基本量"的是第___①_④__组 (写出所有符合要求的组号).①1S 与2S ；②2a 与3S ;③1a 与n a ;④q 与n a .其中n 为大于1的整数。

9. 若函数213ln(
)1x
y x x
+=+-的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m= 6 10. 如图所示,已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆
12
2
22=+b y a x 的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ， 则该椭圆的离心率为 12-=e
11. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入 11?k ≤
12. 数列}{n a 是正项等差数列，若n
na a a a b n
n ++++++++=
32132321，则数列}{n b 也为等差
数列. 类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d =
n n n
c c c c ++++⋅⋅⋅⋅⋅ 3211
3
3221)
(
则数列{n d }也为等比数列。

13. 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数”.在实数轴R （箭头向右）上[x]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+…+[log 21024]= 8204 14. 给出下列命题：
（1）在△ABC 中，“A ＜B ”是”sinA ＜sinB ”的充要条件；
（2）在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；
（3）在△ABC 中, 若AB=2,AC=3,∠ABC=
3
π
,则△ABC 必为锐角三角形; ( 4 )将函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移 3
π
个单位，得到函数y=sin2x 的图象，
其中真命题的序号是 (1)(3) (写出所有正确命题的序号)
二、 解答题
15. 已知函数2
()(2cos sin )2
x
f x a x b =++ ⑴ 当1a =时，求()f x 的单调递增区间；
⑵ 当0a >，且[0,]x π∈时，()f x 的值域是[3,4]，求a b 、的值． 解：（1）1)4
sin(2sin cos 1)(+++
=+++=b x b x x x f π
所以递增区间为Z k k k ∈+-
],4
2,432[π
πππ （2）3
,123
)2
2
(2,42]1,2
2
[)4sin(],45,4[4],,0[)4
sin(2)cos (sin )(=-=∴=++-=++∴-∈+∈+∈+++
=+++=b a b a a b a a x x x b
a x a
b a x x a x f ππππππ
又 16. 已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．
（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的
1
4
，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；
（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．
解：（I ）PQ 为圆周的1,.42
POQ π
∴∠= O ∴点到直线1
l
的距离为2
设
1l 的方程为21(2),.7
y k x k =+∴=
1l ∴的方程为2).y x =+ （II ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则
2
2.a c
= 椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b =
当1a =时，222
13,,24
c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=； 当1b =时，2
2
2
2
2
2,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+= ∴所求椭圆方程为2
2 1.2
x y += （III ）设切点为N ，则由题意得，椭圆方程为2
21,2
x y += 在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，
2l ∴的方程为2)y x =
+，代入椭圆2212x y +=中，整理得25820.x x ++= 设1122(,),(,)C x y D x y ，则121282
,.55
x x x x +=-=
CD ∴=
17. 已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，使DB ＝O 、H 分别为AE 、AB 的中点．
（1）求证：直线OH//面BDE ； （2）求证：面ADE ⊥面ABCE ；
(1)证明∵O 、H 分别为AE 、AB 的中点
∴OH//BE ，又OH 不在面BDE 内 ∴直线OH//面BDE ……………………6分
(2) O 为AE 的中点AD ＝DE ，∴DQ ⊥AE ∵
BO 2
＝32
+12
=10∴222
DB DO BO =+ ∴DO OB ⊥又因为AE 和BO 是相交直线
所以，DO ⊥面ABCE ， 又OD 在面ADE 内 ∴面ADE ⊥面ABCE
18. 已知按A 设计方案，建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部分造价组成，若建造一栋面积为M 的房子，地面部分的造价M M K Q 1＝，基础部分的
造价M K P 2=（其中21,K K 为正实数），又知按A 设计方案建造一栋面积为 16002
m 的住房，共造价是176.8万元，且地面部分的造价是基础部分的36％， 求：（1）求2K
（2）现要按A 设计方案，建造总面积为400002
m 的住房若干栋，试问：建造多少栋可
使其总造价最少？
解：（1）由题意：413 3 %
361600160016001600
160016008.17622121=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧⨯=⋅⋅+⋅K K K K K 分）（＝ （5分） （2）设建造n 栋房子，可使总造价最低，则n
M 40000
= （6分）
设面积为M 的一栋房子造价为M K M M K y 21+=
n
K n n K 200
2004000021⋅+⋅⋅
= 总造价212140020040000200K K K n n K y n W ⨯≥⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+=⋅= （10分） 当且仅当时916000036
4000040000400002112=⨯==⇒=K K n n
K n K
取等号 即n=9时 w 最小 （14分）
19. 已知函数1
)(++=
x c
bx x f 的图象过原点，且关于点)1,1(-成中心对称. (1) 求函数)(x f 的解析式；
(2) 若数列}{n a
满足：2110,1,[n n a a a f +>==，求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列}{n a 的通项公式n a ，并证明你的结论；
(3) 若数列}{n a 的前n 项和为n S ，判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论. 解：∵函数1
)(++=
x c
bx x f 的图象过原点， ∴0)0(=f 即0=c ，
∴1
)(+=
x bx
x f . 又函数x
b
b x
c bx x f +-=++=11)(的图象关于点()1,1-成中心对称， ∴1=b ，1
)(+=x x
x f .
(2)解：由题意有21)1
(
+=+n n n a a a 即1
1+=
+n n
n a a a ，
即
1111
+=+n
n a a ，即
1111
=-
+n
n a a .
∴数列{n
a 1}是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴
n n a n
=-+=)1(11，即n a n 1=
. ∴21n
a n =. ∴ 412=
a ，913=a ，161
4=a ，21n
a n =. (3)证明：当),,4,3,2(2n k k =≥时，k
k k k k a k 1
11)1(112--=-<=
21
2)111()3121()211(121<-=--++-+-+=+++=n
n n a a a S n n
故 2<n S
20. 设函数b a x x x f +-=||)(
(Ⅰ) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是02
2
=+b a ；
(Ⅱ) 设常数322-<b ，且对任意0)(],1,0[<∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：（I ）充分性：若.||)(,0,02
2
x x x f b a b a ====+所以即时
)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=- ，对一切x ∈R 恒成立， )(x f ∴是奇函数
必要性：若)(x f 是奇函数，则对一切x ∈R ，)()(x f x f -=-恒成立，即
.||||b a x x b a x x ---=+---
令.0,,0=-==b b b x 所以得
再令.0,0,0||2,2
2
=+=∴==b a a a a a x 即得
（II ）a x b ,0,0322时当=∴<-< 取任意实数不等式恒成立，
故考虑(]
.,||,1,0x
b
x a x b x x b a x x -<<+-<-∈即原不等式变为时
(]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-<+>∈∴)
2(.
)()
1(,)(,1,0min max x b x a x
b x a x 满足只需对
对（1）式，由b < 0时，在(]x
b
x x f +
=)(,1,0上为增函数， .1)1()(max b f x
b
x +==+∴
.1b a +>∴ （3）
对（2）式，当(].2,1,0,01b x
b
x x b x b -≥-+
=-<≤-上在时 当.62)(,2,min =-∴-=--=x
b
x b x b x b x 时
.2b a -<∴ （4）
由（3）、（4），要使a 存在，必须有.2231.
01,
21+-<≤-⎩⎨
⎧<≤--<+b b b b 即
∴当.21,2231b a b b -<<++-<≤-时 当(]x
b
x x f b -
=-<)(,1,0,1上在时为减函数，（证明略） .
11,1.
1)1()(min b a b b b f x
b
x -<<+-<∴-==-∴时当 综上所述，当a b ,3221时-<≤-的取值范围是)2,1(b b -+； 当a b ,1时-<的取值范围是).1,1(b b -+
解法二：.||,322],1,0[,0||)(b a x x b x b a x x x f -<--<∈<+-=即恒成立 由于b 是负数，故.,2
2
b ax x b ax x >--<-且
（1）b ax x x g b x b ax x +-=-<∈-<-22)(,322],1,0[设恒成立在，
则⎪⎩⎪⎨⎧><+-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
<-<<)3(.4)2(,01)1(,0.04
4,0)1(,0)0(22b a b a b a b g g 即 其中（1），（3）显然成立，由（2），得.1b a +>（*）
（2）b ax x x h b x b ax x --=-<∈>--22)(,322],1,0[0设恒成立在，
①.0,
0)0(,02<⎪⎩⎪⎨⎧><a h a
即 综合（*），得a b a b b ,3221;01,1时时-<≤-<<+-<值不存在
②.22,20.044,12
02
⎩⎨⎧-<<--≤≤⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>--≤≤b a b a a b a 即 综合（*），得.21,3221;20,1b a b b a b -<<+-<≤-≤<-<时时
③⎩⎨
⎧-<>⎪⎩⎪⎨⎧>>.1,2.
0)1(,
12b a a h a
即 综合（*），得a b b a b ,3221;12,1时时-<≤--<<-<不存在
综上，得.11,1;21,3221b a b b b a b b -<<+-<-<<+-<≤-时时
理科数学附加题答案
1．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点，
（1）求; （2）求;,cos 11的值><CB BA
（3）.:11M C B A ⊥求证（14分）
解：（1）以射线oz oy ox CC ,,,,1分别为建立坐标系， ……1分 则B （0，1，0）(1,0,1),N
||(1BN ∴=
……4分 C
11
1111(2)
(1,0,2)(0,1,2),(0,0,0)
(1,1,2),(0,1,2),A B C BA CB ∴=-=
111111cos ,||||
10
BA CB BA CB BA CB ⋅∴<>=⋅=
=
……7分
11111111111
(3)
(0,0,2),(,,2)(,,0),(1,1,2)
222211
(1)10(2)022
C M C M A B C M A B A B C M ∴==--⋅=⨯-+⨯+⨯-=∴⊥……10分
2．（本小题满分8分）求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．
解方程组2493y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得25x y =⎧⎨=⎩或3
6x y =⎧⎨=⎩
，
∴
面
积
3
3
2
3
22
2
151
(3
49)(6)326
S x x
x d x x
x x =+-+-=-+-=⎰22、已知[](]
⎩⎨⎧∈+-∈+=4,2,12,2,12)(2x x x x x f ，求k 的值，使340)(3=⎰dx x f k 3．（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为4
3
，且只有3发子弹。

该射手
一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完。

设耗用子弹数为X ，求： （Ⅰ）目标被击中的概率； （Ⅱ）X 的概率分布； （Ⅲ）均值E(X) 解：①第一次击中4
31=
p 第二次击中1632=
p 第三次击中64
3
3=p ……………………………………………………………6分
②
4．求出矩阵A=⎢⎣⎡01 ⎥⎦
⎤
-10的特征值和特征向量。

.矩阵A 的特征多项式为
)1)(1(1
00
1
)(+-=+-=
λλλλλf …………………………3分 令0)(=λf 得A 的特征值为1或－1 将1代入二元一次方程组
⎩⎨
⎧=++⋅=⋅+-0
)1(0001
y x y x λλ）（ 解得：0=y
令R k k x ∈=,且0≠k
于是矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡01…………………………………………6分
同理可得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡10…………………………………8分
5．（本小题满分8分）求直线⎩⎨⎧--=+=t
y t x 3141 （为参数t ）被曲线)4cos(2π
θρ+=所截
的弦长。

解：把1413x t
y t =+⎧⎨=--⎩
化为普通方程为4310x y +-=， ……3分
把)4
π
ρθ=
+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=，……6分
∴圆心到直线的距离为1
10
， ……8分
∴弦长为75
． ……10分 由⎩⎨
⎧--=+=t
y t
x 3141
得直线方程为0143=++y x …………………………………………3分
)4
cos(2π
θ+=e
θθsin cos -=
∴θθsin cos 2
e e e -=
y x y x -=+22………………………………………………………6分
即2
1)2
1()2
1(2
2
=++-y x 圆心到直线的距离10
1=
d ∴弦长＝100
1
212-
⨯ ＝
5
7
…………………………………………………………8分 6．已知)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含x n
项的系数相等，求实数m
的取值范围.
解：设21()n x m ++的展开式为T r ＋1，则T r ＋1＝2121r n r r
n C x
m +-+，令2n ＋1－r ＝n 得r ＝n ＋1，所以x n
的系数为1121n n n C m
+++． 5分 由1121n n n C m +++＝2n n n
C m ，得m ＝121
n n ++是关于n 的减函数，∵n∈N ＋
，∴1223m <≤
所以的取值范围是12
23
m <≤。