2020届高考数学(理)大一轮复习：专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型

15.[2017·云南玉溪一中月考]已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{ }都是等差数列，且公差相等，设bn＝ ，则数列{bn}的前n项和为________.
答案
解析设{an}和{ }的公差均为d，依题得 ＝ ＋d，即 ＝ ＋d，化简得2a1＋d＝a1＋2 d＋d2，同理可得3a1＋3d＝a1＋4 d＋4d2，则可消去a1得d(2d－1)＝0，故d＝0或d＝ ，当d＝0时，a1＝0，不合题意，故d＝ .所以a1＝ ，an＝a1＋(n－1)d＝ ＋ (n－1)＝ ，所以Sn＝ ＝ ＝ .所以 ＝ ＝ ，bn＝ ＝ ＝4 － .所以b1＋b2＋…＋bn＝4 － ＋ － ＋…＋ － ＝41－ ＝ .
(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；
(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；
(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车的月销售量的20%？并说明理由.
参考数据： ≈1.09， ≈8.66
解(1)易知Q型车每月的销量构成一个等比数列，记为{an}，其中首项a1＝a，公比q＝1＋1%＝1.01，
专题突破练(4)数列中的典型题型与创新题型
一、选择题
1.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于()
A.14B．21C．28D．35
答案C
解析∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
∴其前n个月的销售总量
Sn＝ ＝100a(1.01n－1)(n∈N*且n≤24).
(2)Sn－Tn＝100a(1.01n－1)－228a(1.012n－1)
＝100a(1.01n－1)－228a(1.01n－1)(1.01n＋1)
(2)证明：依题有an＝f(0)＋f ＋…＋f ＋f(1)，n∈N*，
同理有an＝f(1)＋f ＋…＋f ＋f(0)，n∈N*，
上述两式对应相加得2an＝[f(0)＋f(1)]＋f ＋f ＋…＋f ＋f ＋[f(0)＋f(1)]＝2(n＋1)，从而an＝n＋1，n∈N*，而an＋1－an＝1，故{an}为等差数列.
∴(3＋d)2＝(3－2d)(3＋13d).
∵d≠0，∴d＝1，∴an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)＝n.
(2)由(1)得bn＝ ＝
＝
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝
＝ － .
21.随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，1.1升排量的Q型车和R型车的销量引起了市场的关注．已知某年1月Q型车的销量为a，通过分析预测，若以该年1月为第1个月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn＝228a(1.012n－1)(n≤24，n∈N*).
＝ ＝(21－n)n；
n>11时，Sn＝S11＋2＋4＋…＋(2n－22)
＝110＋
＝n2－21n＋220.
综上所述，Sn＝
18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝ ，an＋1＝Sn＋ (n∈N*，t>－4)，令bn＝lgan＋1.
(1)若{an}成等比数列，求t的值；
(2)若t＝－3，设数列{bn}前n项和为Tn，n为何值时Tn取最小值.
A.a10B．a11C．a20D．a21
答案B
解析在等差数列{an}中，S21＝ ＝
＝21a11，类比等差数列的性质有S21＝21a11，故与S21一定平行的是a11.
11.已知数列{an}满足：an＝ 且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()
A. ，3B. ，3C．(1,3)D．(2,3)
答案D
三、解答题
17.已知等差数列{an}中，a5＝12，a20＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.
解(1)设{an}的公差为d，依题意
∴a1＝20，d＝－2.
∴an＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22.
(2)易知|an|＝|－2n＋22|＝
∴n≤11时，Sn＝20＋18＋…＋(－2n＋22)
20.[2018·江西五市八校联考]已知公差不为零的等差数列{an}，满足a1＋a3＋a5＝9，且a1，a4，a16成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn.
解(1)∵a1＋a3＋a5＝9，∴3a3＝9，∴a3＝3.
∵a1，a4，a16成等比数列，∴a ＝a1a16.
解析根据题意，an＝ 要使{an}是递增数列，必有 解得2<a<3.
12.已知数列{an}为等比数列，a1∈(0,1)，a2∈(1,2)，a3∈(B．(2 ，4)C．(2,9)D．(2 ，9)
答案D
解析设等比数列{an}的公比为q，
由已知得
由①②得q＝ > ＝1；由①③得q2＝ > ＝2；由②③得q＝ >1且q＝ <3，故 <q<3.因为a4＝a1q3＝(a1q2)·q，所以2 <a4<9.
8.约瑟夫规则：将1,2,3，…，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1,3,5,7，….当n＝65时，剩余的一个数为()
A.1B．2C．4D．8
答案B
解析将1,2,3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1,3,5,7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16,8,4,2,1，最后剩余2，故选B.
9.已知数列{an}中，an＋1＝3Sn，则下列关于{an}的说法正确的是()
A.一定为等差数列
B.一定为等比数列
C.可能为等差数列，但不会为等比数列
D.可能为等比数列，但不会为等差数列
答案C
解析若数列{an}中所有的项都为0，则满足an＋1＝3Sn，所以数列{an}可能为等差数列，故B，D不正确；由an＋1＝3Sn，得an＋2＝3Sn＋1，则an＋2－an＋1＝3(Sn＋1－Sn)＝3an＋1，所以an＋2＝4an＋1，当a1≠0时，易知an＋1≠0，所以 ＝4，由an＋1＝3Sn，得a2＝3a1，即 ＝3，此时数列{an}既不是等比数列又不是等差数列，故A不正确，C正确.
3.在递减等差数列{an}中，若a1＋a5＝0，则Sn取最大值时n等于()
A.2B．3C．4D．2或3
答案D
解析∵a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0.
∵d<0，∴{an}的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故Sn取最大值时n等于2或3.故选D.
4.[2017·重庆巴蜀中学二诊]中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为()
16.已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x的最大整数，则 ＋ ＋…＋ ＝________.
答案2017
解析由已知条件an＋2－2an＋1＋an＝2，可得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，从而{an＋1－an}是公差为2，首项为a2－a1＝4的等差数列，故{an＋1－an}的通项公式为an＋1－an＝2n＋2，由累加法可得{an}的通项公式为an＝ ＋2＝n2＋n＝n(n＋1)，从而 的前n项和为 ＋ ＋…＋ ＝2018· ＋ ＋…＋ ，而 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝ ，从而所求值为 ＋ ＋…＋ ＝2018－ ＝2017.
A.(2n－1)2B.
C.4n－1D.
答案D
解析记Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，当n＝1时也满足，所以{a }是首项为1，公比为4的等比数列，所以a ＋a ＋…＋a ＝ ＝ .故选D.
7.已知数列{an}的通项为an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优数”，则在(0,2018]内的所有“优数”的和为()
解(1)∵an＋1＝Sn＋ ，①
an＝Sn－1＋ ，②
①－②得an＋1＝2an(n≥2).
故{an}是公比为2的等比数列，
则a2＝S1＋ ＝ ＝2a1＝ .
解得t＝4>－4成立，∴t＝4.
(2)a2＝ ，b1＝lg ＝－4lg2，
n≥1时，bn＝b1＋(n－1)lg2＝(n－5)lg2，
n≤4时，bn<0，b5＝0，n≥6时bn>0.
A.496B．469C．4914D．4915
答案D
解析因为数列{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d，因为ak＝a10＋a11＋…＋a100，所以ak＝100a1＋ d－9a1＋ d＝4914d，又ak＝(k－1)d，所以(k－1)d＝4914d，所以k＝4915.
6.在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a ＋a ＋…＋a ＝()
10.[2018·湖北启东质检]将向量a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，…，an＝(xn，yn)组成的系列称为向量列{an}，并定义向量列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．若向量列{an}是等差向量列，则下面四个向量中，与S21一定平行的向量是()
∴n＝4和n＝5时Tn取最小值.
19.[2017·宁夏六盘山高级中学期末]已知函数y＝f(x)．对任意x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝2.
(1)求f 和f ＋f (n∈N*)的值；
(2)数列{an}满足an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)(n∈N*)，求证：数列{an}是等差数列.
解(1)由题设条件知f ＋f ＝2，故f ＝1.而 ＋ ＝1，故f ＋f ＝2.
14.[2017·贵州毕节适应性检测]等比数列{an}的各项均为正数，且a4＝a2·a5,3a5＋2a4＝1，则Tn＝a1a2…an的最大值为________.
答案27
解析设该等比数列的公比为q，则依题有1＝ ＝a3，从而有3q2＋2q＝1，解得q＝ 或q＝－1，而{an}是正项数列，从而q＝ .进而有a1＝9，Tn＝a q ＝3 ，n∈N*，易知当n＝2或3时，Tn有最大值27.
A.200B．300C. D．400
答案B
解析由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝500.由等差数列的性质可得5a3＝500，即a3＝100，所以a2＋a3＋a4＝3a3＝300.
5.在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a10＋a11＋…＋a100，则k＝()
A.1024B．2012C．2026D．2036
答案C
解析设a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·logn＋1(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k∈Z，则0<n＝2k－2≤2018,2<2k≤2020,1<k≤10，∴所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝ －18＝211－22＝2026.
二、填空题
13.设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有向量PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案n2
解析∵Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)，∴PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，∴an＋1－an＝2，∴{an}是公差d为2的等差数列．又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，∴Sn＝n＋ ×2＝n2.
2.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()
A.9B．10C．11D．12
答案C
解析am＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝a ·
a ·a3＝a ＝a ·q10.因为a1＝1，|q|≠1，
所以am＝a ·q10＝a1q10，所以m＝11.