小学数学概念的结构化建构—以苏教版《数学》五年级下册“圆的认识”一课为例精读

小学数学概念的结构化建构—以苏教版《数学》五年级下册“圆的认识”一课为例精读
美国现代著名教育家布鲁纳认为：“学习一门学科，就是掌握这门学科的基本结构。

”学科知识不是简单的知识点的排列和堆砌，而是一个有结构的有机整体，学科之间存在着不可割裂的内在联系，尤其是数学学科，更是一门结构性很强的学科，所有知识都存在着千丝万缕的联系和内在结构。

只有我们掌握了学科知识的关系和结构，学生才能够从整体上把握学科知识。

一、立序：由“教材的续”走向“儿童的序”
数学学科知识具有很强的逻辑性和严谨性，每一个知识点就像散落在棋盘上的一粒棋子，它们并非杂乱无章、相互割裂的，相反存在着时间的先后、主次的逻辑关系且在运动中相互关联。

也就是说教材知识的呈现存在序列结构，教材的编排序列更多是从知识体系的层面考虑，当然也会结合儿童的认知结构。

而实际教学时，更需要教师进行学情调查和分析，尤其是对学生认知基础和最近发展区的分析。

同时，对数学概念教师要引导学生进行序列化思考，让数学概念最大程度地与儿童认知序列进行匹配，实现概念的理解和内化。

教学时，教师不仅要关注知识的逻辑顺序，研究教材，理清知识发展脉络，更要关注儿童的认知规律，并将两者有效联结。

教师在研读教材时，要关注知识的生长点和连续性，建构能让儿童思维自然生长的知识序列，促进其主动探究，达到知识自主建构的目的。

儿童的序列或源自知识经验，或源自生活体验，或源自活动经验，抑或是数
学知识、方法和思想的迁移。

只有关注儿童的经验基础才能理清儿童认知序列，找到适合儿童学习的“最佳通道”，激发他们学习的兴趣和欲望。

在“圆的认识”一课中，儿童遵循着“整体－部分－整体”的认知序列。

首先是整体感知。

一是从生活出发感知圆，生活中有许多圆形的物体，学生常常和这些圆形物体“打交道”，势必积累丰富的感性认识，可能之前的认识是散点状的，而本节课就会聚焦到圆的特征的理解上来，上升到概念的层面进行思考和研究。

二是圆与长方形、平行四边形等平面图形的对比，整体上感知圆的特征（圆是由曲线围成的平面图形）。

其次是各部分元素认识。

先通过各种画圆活动分别认识圆心、半径、直径等元素的含义、表示方法、性质等等，再通过折圆理解圆有无数条半径和直径，并且同一个圆内每一条半径（或直径）都相等，每条直径是半径的2倍等特征。

最后再整体感受圆的应用价值。

通过大量生活中圆形事物的研究，组织学生讨论：车轮为什么做成圆形的？为什么许多窨井盖都是圆形的？套圈比赛站成圆形还是一字排开公平？……学生在讨论这些问题的过程中，再次从整体上感受圆的特征和应用价值。

二、关联：由“碎片的点”走向“关联的类”
数学是一门研究“关系”的学科。

认知心理学家布鲁纳认为：“学习就是认知结构的组织和重新组织，学习结构就是学习事物是如何联系的。

反之，只有抓住联系，才能更好地把握结构、理解结构、生成意义。

”元素关联即事物的内在本质联系，数学知识的内在关联，直
接触及数学知识的内在本质、关系和变化规律，有利于学生对知识本质的探索和理解。

一是画圆活动中体现元素关联。

圆的各个元素（圆心、半径、直径、对称轴……）的学习应该融合在学生观圆、画圆、折圆等活动中，并感受到它们之间的关联性。

比如画圆，在组织学生用各种方法进行画圆的同时，还要让学生体会并感受圆心、半径、直径、对称轴等要素之间的联系，进而从整体上感知圆的特征。

教学中，笔者尝试让学生分别用圆形物体画圆、用图钉和线画圆、用圆规画圆、到运动场用绳子和体育器材画圆等等，并思考：能从不同的画圆方法中找到共同的地方吗？学生发现：第一，虽然画圆的方法不同，但都有固定一个点（圆心），并且圆心能确定圆的位置；第二，无论是线的长度，还是圆规两脚之间的距离都能够决定圆的大小（半径）,并且同一个圆内半径都相等（一中同长）。

学生的这些发现离不开动手操作，更离不开关联性的思考。

从画圆中，这些概念和元素自然生长，自主建构。

二是工具创造中感受元素关联。

为了看清数学这门学科的本来面目，我们有必要回到起始点，在这条曲折的道路上再走一遍，让学生经历知识“再创造”的过程。

教学时，从学生最熟悉的作图工具“直尺”出发，思考：这个工具能画圆吗？一番讨论以后，大家达成共识，直尺不能画圆，因为圆是曲线图形。

追问：如何改造，这把直尺就能画圆了？有同学提出，在直尺上打上两个小孔，加上两支粉笔就可以画圆了。

一支粉笔固定，另一支粉笔旋转一周（圆弧）,就可以画出
圆了。

学生还发现，两支粉笔之间的距离能够决定圆的大小（半径）, 还可以根据需求改变两支粉笔之间的距离画出大小不同的圆。

最后再引导学生把创造的画圆工具和圆规进行对比，发现无论哪种工具，都必须有“固定点”“两点间的距离”“旋转一周的笔尖”，而这些分别是圆心、半径、直径、曲线等元素的直接体现。

三是折圆活动中感悟元素关联。

课始，出示一个正方形和一个圆形纸片，让学生通过折一折、比一比、画一画等活动，研究这两个图形有什么相同点和不同点。

经过研究，学生有这样一些发现：第一，正方形和圆都是平面图形，但正方形与圆形最大的区别是正方形有角，而圆没有；第二，通过折一折，学生发现圆和正方形一样都是轴对称图形，但圆的对称轴有无数条，而正方形只有四条，感受圆的特殊性和对称美；第三，圆和正方形一样对称轴都相交于一个点，这个点位于它们的正中心，在圆中，这个点可以取名叫作“圆心”；第四，学生还发现圆有无数条折痕，进而得出圆有无数条对称轴，他们还发现这些折痕不仅是圆里面最长的线段，而且每一条的长度都相等，直径的认识水到渠成；第五，每条直径都可以分成两条相等的线段，这些都是连接圆心和圆上任意一点的线段，和直径一样也有无数条，并且每一条的长度也相等，在直径的基础上认识半径更加自然、通透。

三、循环：由“固化的知”走向“循环的智”
数学概念的学习是一个循序渐进、循环上升、螺旋递进的过程，循环既是对当前知识的再度认知，也是对未来学习的心理准备。

循环包括知识本身的循环、学习方法的循环、实践运用的循环、情感价值
的循环……通过循环让学生对所学知识解释与应用，对知识进行归类与概括，对方法与思想进行提炼与内化，对元素与文化进行感悟与理解，建立完善的知识结构，在儿童心中形成稳定的认知结构，为未来的学习作铺垫和准备。

一是学习方法的循环。

每个知识点的学习都会有“近邻”，尤其是学习方法的迁移和循环。

在认识圆之前，学生已经有了丰富的平面图形探究的方法和活动经验。

所以，教学“圆的认识”时，教师先引导学生比较圆和学过图形的异同，并不失时机地追问：正方形有哪些特征？当初是怎样研究出这些特征的？正方形的这些关键特征都是“看得见”的，圆还有很多“看不见”的元素和特征，你能用量、比、折、画等方法研究圆吗显然，从“看得见”到“看不见”特征的探索又成为新的生长点。

二是实际运用的循环。

数学知识源自生活原型，人们从生活中抽象出数学概念、知识，形成数学模型，最终回到生活，解释生活中的真实情境，并在这个过程中感受数学的价值。

教学中，教师组织学生讨论圆从哪里来，体会圆与自然、各种事物、立体图形、平面图形的密切联系。

早期圆来源于物的描画，如最自然的是太阳、月亮的描画，钻木取火的洞口，盛开的鲜花的外形。

圆还源自生活中物体，如生活的球、帽、车轮，他们的切面都是圆形，让学生感悟面与体的关系等等。

我们的教学还需要回归生活，让生活、科学与数学本质相遇，拓展学生探究空间，引发思考。

比如组织学生讨论为什么车轮要做成圆形的？在三种车轮（圆形、椭圆形、正方形）的动画演示中，让学
生在轻松愉悦的氛围中再一次聚焦到圆的本质，体会到圆的“一中同长”的深刻内涵。

这体现了数学源自生活而又服务于生活的循环往复。

三是情感价值的循环。

教学中，教师要重视儿童的情感体验，重视创设有趣的数学情境，激发儿童学习的外部动机和内在需求。

课末，组织学生交流：通过圆的探究，你还想对它说些什么？有人说：“那么多平面图形中，圆是最特别的，因为它是曲线图形。

”有人说：“圆在生活中的应用真广泛啊！”有人说：“圆是最美的图形！”还有人提出：“和其他图形一样，圆的周长和面积如何计算呢？”这些问题不仅回顾了所学知识，还能有效激发学生进一步运用所学知识探索未知的欲望，实现学习的价值循环。

总之，结构化学习是指向学生有方向、自主性结构地学习，能够培养学生反思与选择判断的综合能力。

我们追求的不是某一知识点的“精耕细作”，更应该培养学生的整体思维和结构化思维的高阶能力，使得学生的学习成为数学知识与学科核心价值整体的关联、动态平衡、循环上升、协调一致。