高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课后训练案巩固提升(含解析)新人教A

2.2.1 双曲线及其标准方程
课后训练案巩固提升
1.若点P (x ,y )满足√(x -5)2+x 2−√(x +5)2+x 2=6,则点P 的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的左支
C.双曲线的右支
,点P 到定点(5,0)的距离与到定点(-5,0)的距离之差等于6,且6<10,所以点P 的轨迹与(-5,0)为焦点的双曲线的左支.
2.方程x 2
sin x -3+x 2cos x +2=1(其中θ∈R )所表示的曲线是 (
) A.焦点在x 轴上的椭圆
B.焦点在y 轴上的椭圆
C.焦点在x 轴上的双曲线 y 轴上的双曲线
θ∈R ,所以sin θ-3<0,2+cos θ>0,
方程可化为x 2cos x +2−x 2
3-sin x =1,
y 轴上的双曲线.
(1+k )x 2-(1-k )y 2=1表示焦点在x 轴上的双曲线,则k 的取值范围为( )
A.(-1,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) ,-1)∪(1,+∞)
{1+x >0,1-x >0,解得{x >-1,
x <1,即-1<k<1.
y 2-5x 2=-m 的焦距等于12,则实数m 的值等于( )
A.30
B.-30
C.±30
D.±120
m>0时,方程化为x 2x 5−x 2x =1,焦点在x 轴上,a 2=x 5,b 2
=m ,所以x 5+m=(122)2
,解得m=30;
当m<0时,方程化为x 2-x −x 2-x 5=1,焦点在y 轴上,a 2=-m ,b 2=-
x 5,所以-x 5-m=(122)2
,解得m=-30,综
30.
5.椭圆x 24+x 2x 2=1与双曲线x 2x −x 2
2=1有相同的焦点,则a 的值是( ) A.1
B.1或-2
C.1或12
D.1
{x >0,
0<x 2<4,4-x 2=x +2,
解得a=1.
(-2,0)和(2,0),且b=1,则双曲线的标准方程是 .
,双曲线的焦点在x 轴上,且c=2,b=1,
a 2=c 2-
b 2=22-12=3,
故双曲线的标准方程为x 23-y 2=1.
2
=1
7.若方程x 2x 2+1+x 2
x 2-4=1表示双曲线,则实数m 的取值范围是 .
m 2+1>0,所以依题意有m 2-4<0,解得-2<m<2. 2<m<2
8.若双曲线与椭圆x 2
27+x 236=1有相同焦点,且经过点(√15,4),则该双曲线的标准方程
,知c=3,且焦点在y 轴上.
所以可设双曲线的方程为x 2x 2−x 29-x 2=1(0<a 2<9).
将点的坐标(√15,4)代入,得42x 2−
(√15)29-x 2=1,解得a 2=4(a 2=36舍去). 所以该双曲线的标准方程为
x 24−x 25=1.
x 25=1 ,试讨论方程kx 2+2y 2-8=0表示何种曲线.
k<0时,曲线方程化为x 2
4−
x 2-8x =1,表示焦点在y 轴的双曲线;
当k=0时,曲线方程化为2y 2-8=0,表示两条垂直于y 轴的直线; 当0<k<2时,曲线方程化为
x 28x +
x 2
4=1,表示焦点在x 轴的椭圆; 当k=2时,曲线方程化为x 2+y 2=4,表示一个圆; 当k>2时,曲线方程化为
x 24+x 2
8x =1,表示焦点在y 轴的椭圆. 10.导学号59254023双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)满足如下条件: ①ab=√3; ②过右焦点F ,斜率为
√212的直线l 交y 轴于点P ,线段PF 交双曲线于点Q ,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双
曲线的方程.
F (c ,0),点Q (x ,y ),直线
l :y=√212(x-c ). 令x=0,得P (0,-√212
x ). 又xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴Q (23x ,-
√21
6x ), 且Q 在双曲线上,
∴(23
x )2x 2−(-√216x )2x 2=1.
∵a 2+b 2=c 2,∴49(1+x 2x 2)−712(x 2x 2+1)=1,
解得x 2x 2=3或x 2x 2=-716
(舍去). 又由ab=√3,可得{x 2=1,x 2=3. ∴所求双曲线方程为x 2-x 23=1.。