河南省新乡市新誉佳高级中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年河南省新乡市新誉佳高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共12题）
1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形
2．如果a＜b，那么下列不等式一定成立的是( )
A．c﹣a＜c﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．a+c＞b+c D．a+d＞b+c
3．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为( )
A．B．C．0 D．1
4．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为( )
A．a n=2n﹣1 B．a n=（﹣1）n（1﹣2n）C．a n=（﹣1）n（2n﹣1）D．a n=（﹣1）n（2n+1）
5．已知{a n}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=( )
A．12 B．16 C．20 D．24
6．在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=( )
A．B．C．D．
7．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( ) A．0.5km B．1km C．1.5km D．km
8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a17=10，则S19的值是( )
A．55 B．95 C．100 D．不确定
9．设S n是等差数列的前n项和，若=，则=( )
A．B．C．D．
10．如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为( )
A．1 B．C．2 D．3
11．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为( )
A．B．C．1 D．
12．不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是( )
A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b≥﹣5
二、填空题（每题5分，共4题）
13．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是__________．
14．已知不等式x2+px﹣6＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则p=__________．
15．若m，n＞0，且m+2n=1，则的最小值为__________．
16．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=__________．
三、解答题（共6题，共70分）
17．锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足2sin（A+B）﹣=0，求：
（1）角C的度数；
（2）边c的长度及△ABC的面积．
18．某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
（Ⅰ）A处与D处之间的距离；
（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．
19．解不等式a2x2﹣ax﹣2＜0（a∈R）
20．数列{a n}是等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a2=0，a4=4．
（I）求数列{a n}的通项公式a n；
（n）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n（n∈N+）．
21．（1）当x＞3时，求函数y=的最小值．
（2）若x2﹣2ax+2≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
22．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S n．
2015-2016学年河南省新乡市新誉佳高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共12题）
1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题．
【分析】由三角形的三边判断出b为最大边，根据大边对大角可得B为最大角，利用余弦定理表示出cosB，将已知的三边长代入求出cosB的值，由cosB的值小于0及B为三角形的内角，可得B为钝角，即三角形为钝角三角形．
【解答】解：∵AB=c=5，BC=a=6，AC=b=8，
∴B为最大角，
∴由余弦定理得：cosB===﹣＜0，
又B为三角形的内角，
∴B为钝角，
则△ABC的形状是钝角三角形．
故选C
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：余弦定理，三角形的边角关系，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
2．如果a＜b，那么下列不等式一定成立的是( )
A．c﹣a＜c﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．a+c＞b+c D．a+d＞b+c
【考点】不等式比较大小．
【专题】应用题；整体思想；分析法；不等式的解法及应用．
【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，C，D不成立，而由不等式的基本性质知B成立，从而解决问题．
【解答】解：对于A，取a=﹣1，b=1，c=0即知不成立，故错；
对于B，由于不等式的两边同乘以同一个负数不等号方向改变，由不等式基本性质即知成立，故对；
对于C，取a=﹣1，b=1，即知不成立，故错；
对于C，取a=﹣1，b=1，d=﹣2，c=0，即知不成立，故错，
故选B．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．
3．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为( )
A．B．C．0 D．1
【考点】余弦定理．
【专题】三角函数的求值．
【分析】已知等式利用正弦定理化简求出三边之比，设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a：b：c=3：4：5，
设a=3k，b=4k，c=5k，
由余弦定理得：cosA===．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
4．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为( )
A．a n=2n﹣1 B．a n=（﹣1）n（1﹣2n）C．a n=（﹣1）n（2n﹣1）D．a n=（﹣1）n（2n+1）【考点】数列的概念及简单表示法．
【专题】计算题．
【分析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．
【解答】解：∵数列{a n}各项值为1，﹣3，5，﹣7，9，…
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴|a n|=2n﹣1
又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，
∴a n=（﹣1）n+1（2n﹣1）=（﹣1）n（1﹣2n）．
故选B．
【点评】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为正，偶数项为负，否则会错．
5．已知{a n}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的性质可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．
【解答】解：∵{a n}是等差数列，
∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．
又a2+a3+a10+a11=48，
∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．
故选D．
【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
6．在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=( )
A．B．C．D．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题．
【分析】由B和C的度数，利用三角形的内角和定理求出A的度数，然后由a，sinA，sinB 的值，利用正弦定理即可求出b的值．
【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，
根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，
则b===4．
故选C
【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意内角和定理这个隐含条件．
7．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( ) A．0.5km B．1km C．1.5km D．km
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】解三角形．
【分析】根据题意作图，设出相应参数，根据∠BAC=∠ABD﹣∠C，求得∠BAC=∠C判断出三角形ABC为等腰三角形，进而求得BC．
【解答】解：如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，
改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，
∵∠ABD=20°，∠C=10°，
∴∠BAC=20°﹣10°=10°．
∴AB=BC，
∴BC=1，
即坡底要加长1km．
故选B．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a17=10，则S19的值是( )
A．55 B．95 C．100 D．不确定
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质，结合a3+a17=10求出a10，代入前19项的和得答案．
【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a17=10，得2a10=10，∴a10=5．
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
9．设S n是等差数列的前n项和，若=，则=( )
A．B．C．D．
【考点】数列的求和．
【专题】方程思想；消元法；等差数列与等比数列．
【分析】设等差数列的首项为a1，公差为d，运用等差数列的求和公式，由条件可得a1=﹣2d，代入求和公式，即可得到所求值．
【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，
由题意可得S6=3S3，
即有6a1+×6×5d=3a1+×3×2d，
可得a1=﹣2d，
则===．
故选C．
【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，注意运用代入消元法，考查运算能力，属于基础题．
10．如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为( )
A．1 B．C．2 D．3
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得B（1，1），
令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B时直线在y轴上的截距最大，z最大为2×1+1=3．
故选：D．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为( )
A．B．C．1 D．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】总经理于基本不等式求解表达式的最值即可．
【解答】解：xy=x•2y≤=，当且仅当x=，时取等号．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查计算能力．
12．不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是( )
A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b≥﹣5
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【专题】计算题．
【分析】根据点与区域的位置关系和不等式之间的联系建立不等式组，解之可求出所求．【解答】解：∵点（3，4）不在不等式y≤3x+b所表示的区域，而点（4，4）在不等式y≤3x+b 所表示的区域
∴即﹣8≤b＜﹣5
故选C
【点评】本题主要考查了二元一次不等式（组）与平面区域，以及点与区域的位置关系和不等式之间的联系，属于基础题．
二、填空题（每题5分，共4题）
13．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是{x|1≤x≤2}．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】将不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的两边同乘﹣1后将二次项系数化为正，进而根据大于看两边，小于看中间，求出不等式的解集．
【解答】解：∵（x﹣1）（2﹣x）≥0，
∴（x﹣1）（x﹣2）≤0
∴1≤x≤2
故答案为：{x|1≤x≤2}
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式，其中熟练掌握一元二次不等式的解法步骤是解答的关键．
14．已知不等式x2+px﹣6＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则p=1．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】先利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系得到一元二次方程的两个根，利用韦达定理得到不等式，求出p的值．
【解答】解：因为不等式x2+px﹣6＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，
所以﹣3，2是方程x2+px﹣6=0的两个根
所以﹣3+2=﹣p
所以p=1
故答案为1
【点评】一元二次不等式的解集的端点是相应方程的两个根；一元二次方程的根与系数的关系．
15．若m，n＞0，且m+2n=1，则的最小值为．
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵m，n＞0，且m+2n=1，
∴=（m+2n）=3+=3+2，当且仅当m=n=﹣1时取等号．
∴的最小值为3+2．
故答案为：3+2．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
16．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．
【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．
又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．
故5log2a3=5log22=5．
故选为：5．
【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．
三、解答题（共6题，共70分）
17．锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足2sin（A+B）﹣=0，求：
（1）角C的度数；
（2）边c的长度及△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）由已知可得sin（A+B）=，由△AB C是锐角三角形，从而求得A+B=120°，即可求∠C的值．
（2）由已知可得a+b=2，ab=2，根据余弦定理可求c的值，由三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，
∵△ABC是锐角三角形，
∴A+B=120°，
∴∠C=60°，
（2）∵a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，
∴a+b=2，ab=2，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC，
=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，
∴c=，
∴S△ABC=absinC==．
【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．
18．某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
（Ⅰ）A处与D处之间的距离；
（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（Ⅱ）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得
（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是根据题意建立适当的三角函数模型，利用正弦定理，余弦定理等常用公式来求解．
19．解不等式a2x2﹣ax﹣2＜0（a∈R）
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】由a为实数，可用a等于0和不等于0两种情况考虑：若a为0时，把a=0代入原不等式，显然不等式恒成立，当a不为0时，得到a2大于0，利用十字相乘法把方程的左边分解因式，再分类解决即可．
【解答】解：根据题意分两种情况考虑：
（i）当a=0时，原不等式化为﹣2＜0，显然成立，因此不等式的解集为R；
（ii）当a≠0时，a2＞0，不等式a2x2﹣ax﹣2＜0变形为（ax+1）（ax﹣2）＜0，即为（x+）（x﹣）＜0，
则当a＞0时，解得：﹣＜x＜，∴原不等式的解集为（﹣，），
当a＜0时，解得：＜x＜﹣，∴原不等式的解集为（，﹣），
综上可知，当a=0时，原不等式的解集为R，
当a＞0时，原不等式的解集为（﹣，），
当a＜0时，原不等式的解集为（，﹣）．
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，由于实数a的取值不确定，故本题利用分类讨论的思想，要求学生考虑问题要全面，不要遗漏．
20．数列{a n}是等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a2=0，a4=4．
（I）求数列{a n}的通项公式a n；
（n）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n（n∈N+）．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，运用通项公式，求得公差d，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用等差数列的求和公式化简b n=﹣，再由裂项相消求和，即可得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由a2=0，a4=4．即有a4﹣a2=2d=4，
解得d=2，
可得a n=a2+（n﹣2）d=2n﹣4；
（Ⅱ）b n==
==﹣，
则前n项和T n=b1+b2+…+b n
=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣=．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
21．（1）当x＞3时，求函数y=的最小值．
（2）若x2﹣2ax+2≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．
【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）令t=x﹣3（t＞0），用t表示函数y，再由基本不等式计算即可得到最小值；（2）运用二次函数的判别式小于等于0，解不等式即可得到所求a的范围．
【解答】解：（1）令t=x﹣3（t＞0），即x=t+3，
即有y==2（t++6）≥2（2+6）=24，
当且仅当t=3，即x=6时，取得最小值24；
（2）x2﹣2ax+2≥0在R上恒成立，即为
△=4a2﹣8≤0，解得﹣≤a≤．
则实数a的取值范围为．
【点评】本题考查函数的最值的求法：注意运用换元法和基本不等式，考查函数恒成立问题的解法，注意运用二次函数判别式小于等于0，考查运算能力，属于中档题．
22．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S n．
【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．
（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．
（Ⅱ），
，①
S n=，②
①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，
则
==
=．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．。