开学考试数学试卷

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浙江省瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级上开学考试数学试题

浙江省瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级上开学考试数学试题一、单选题1．23的相反数是（）A ．32B ．23C ．32-D ．23-2．下列银行图标，属于中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行．塞纳河包括支流在内的流域总面积为78700平方公里．其中数据78700用科学记数法表示为（） A ．278710⨯B ．37.8710⨯C ．47.8710⨯D ．50.78710⨯4．某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示．若九年级学生共有1000人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（）A ．350人B ．300人C ．200人D ．150人5．抛物线2(2)1y x =-++的顶点坐标是（） A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(1,2)-6．下列计算结果正确的是（）A ．236x y xy +=B ．112x y x y+=+C D ．222()xy x y =7．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x 人，则可以列方程为（） A ．320425x x -=+ B ．320425x x +=- C ．202534x x +-=D ．202534x x+=-8．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD ，BE 均为ABC V 的高，连结DE 交AB 于点O ．若25C ∠=︒，则OEB ∠的度数为（）A ．65︒B ．60︒C ．55︒D ．50︒9．已知反比例函数(0)ky k x=<图象上有三个点()()()123,,1,,2,A b y B b y C b y +-，且满足123y y y <<，则b 的值可以为（）A ．2B ．1-C ．1D ．310．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，点E 在AB 边上，以BE 为边向上作正方形BEFG ．在AE 上取点H ，连结HF ，以HF 为边作正方形NFHM ，连结DN ．若点M 落在边AD 上，则DN 的最小值为（）A ．15B C ．13D二、填空题11．分解因式：29a -=．12．甲，乙两位射箭运动员最近5次射击成绩的平均数均为8环，方差分别为：20.8S =甲环2，20.6S =乙环2，则（填“甲”或“乙”）的射击成绩更为稳定．三、解答题13．不等式组26010x x -<⎧⎨+≥⎩的解集为．四、填空题14．若关于x 的方程2240x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，已知AOCB Y 的顶点(2,3)A -，顶点B ，C 均在反比例函数6(0)y x x=>图象上，且点B 在C 的左侧，则B 点的横坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，610OA OC ==，，点A ，B 关于直线()0y kx k =>的对称点分别为点E ，F ，当k 为时，直线EF 恰好经过点C ．五、解答题17．（1）计算：0(2024)|3|-．（2）化简：(3)(3)(1)a a a a +--+． 18．解方程（组）(1)2233x y x y +=⎧⎨+=⎩ (2)2450x x --=19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，连接AF CE ，．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若608AOB AC ∠=︒=，，求四边形AFCE 的面积．20．在学校组织的计算达人比赛中，每班参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为100分，90分，80分，70分和60分，王老师选取了甲、乙两个班级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分）(1)根据以上信息，求出表中a ，b 的值：a =______，b =______； (2)请分别求出甲、乙两个班级计算成绩的平均分；(3)根据（1）（2）中的统计量，你认为在此次计算比赛中，哪个班级的成绩更好？请说明理由．21．如图，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 为三个格点，请按要求画出格点四边形．(1)在图1中作一个以A ，B ，C ，D 为顶点的平行四边形，使点D 落在格点上； (2)在图2中，连结AB ，AC ，作格点BCDE Y ，使BCDE ABC S S =Y △． 22．已知抛物线2y x bx c =++经过(2,0),(4,0)-． (1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)若()()123,,,y n y 是抛物线上不同的两点，且1214y y +=，求n 的值；(3)将抛物线沿x 轴向左平移m （0m >）个单位长度，当21x -≤≤时，它的函数值y 的最小值为7，求m 的值．23．曹村灯会于2023年被评为浙江省级非物质文化遗产．为了扩大影响力，曹村镇人民政府准备举办为期1个月左右的花灯会．某商家看准商机，准备购进A ，B 两款音乐发光灯笼．已知B 款灯笼的进价比A 款贵6元，该商家用900元购进的A 款灯笼和用1080元购进的B 款灯笼的数量相同．(1)求A ，B 两款灯笼的进价分别为多少元？(2)该商家计划购进A ，B 两款灯笼共300个，并将A 款灯笼的售价定为35元/个，B 款灯笼的售价定为40元/个．设购进A 款灯笼x 个，售完这两款灯笼可获得利润为w 元． ①求w 与x 的函数关系式；②受市场影响，A 款灯笼进价上调m 元（12m <<），B 款灯笼的进价不变．该商家发现若购进B 款灯笼的数量不少于A 款数量的23时，则销售完这批灯笼至少可获得1110元利润，请求出m 的值？24．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点A 的坐标为 0,4 ，顶点C 在x 轴的正半轴上，且AB OA =，90ABC ∠=︒．过点C 的直线MN OB ∥，D 是直线MN 上的一个动点，BE OD ∥，交直线MN 于点E ．(1)求证：BC OC =；(2)当90OAB ∠=︒时，D 在x 轴的上方且OD OB =（如图2），求BED ∠的度数； (3)当120OAB ∠=︒时，点F ，G 分别在OC ，BC 上，60FAG ∠=︒（如图3）． ①试猜想OF ，BG ，GF 的数量关系，并加以证明．②当FG OA ∥，点D 正好落在射线AF 上时，求点E 到FG 的距离．。

云南省昆明市五华区华山中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

云南省昆明市五华区华山中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A B C D2x 的取值范围是（） A ．1x ≠B ．1x ≥C ．1x ≤D ．1x >-3．关于二次函数22(3)1y x =-+，下列说法正确的是（） A ．图象的开口向下 B ．图象的对称轴为直线3x =- C ．图象顶点坐标为(3,1)-D ．当3x <时，y 随x 的增大而减小4．某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁4名同学三次数学成绩的平均分都是102分（总分120分），方差分别是23.3S =甲，24.3S =乙，2 6.3S =丙，27.3S =丁，则这4名同学三次数学成绩最稳定的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（）． A ．2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭6．三角形两边长分别为3和6，并且第三边是一元二次方程2680x x -+=的根，那么这个三角形的周长为（） A ．11B ．13C ．15D ．11或137．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（）A ．直线=1x -B ．直线32x =C ．直线3y =D ．y 轴8．如图所示，一圆柱高8cm ，底面周长为12cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．20cm9．一次函数y kx b =+与y kbx =（k ，b 为常数，0kb ≠）在同一平面直角坐标系中的图像应该是（）A ．B ．C ．D ．10．若()11,A y -，()25,B y -，()30,C y 为二次函数24y x x m =+-的图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<11．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（）A ．AB CD = B ．AC BD ⊥ C ．CD BC = D ．AC BD =12．如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，则EC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．3.5cmD ．5cm13．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为cm x ，那么x 满足的方程是（）A ．(80)(50)5400x x ++=B ．(802)(502)5400x x --=C ．(802)(502)5400x x ++=D ．(80)(50)5400x x --=14．如图，在平面直角坐标系中，函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，甲乙两位同学给出的下列结论：甲说：关于x 的不等式4ax b +>-的解集为0x >；乙说：当4x >时，ax b kx +<；其中正确的结论有（）A ．甲乙都正确B ．甲正确，乙错误C ．乙正确，甲错误D ．甲乙都错误15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图，图象过点()1,0-下列结论：①24b ac >；②40a b +=；③42a c b +>；④30-+=b c ；⑤若顶点坐标为()2,4，则方程25ax bx c ++=没有实数根．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．若函数2(2)1-=-+-mmy m x x 是关于x 的二次函数．则常数m 的值是．17．某公司对A 应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，A 的三项成绩分别为72分、50分、88分，若给这三个分数分别赋予权4、3、1，则A 的加权平均分数为．18．如图，菱形ABCD 中AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若20OED ∠=︒，则ABC ∠=．19．正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C …按如图所示的方式放置，点1A ，2A ，3A ，…在直线1y x =+，点1C ，2C ，3C ，…在x 轴上，则6B 的坐标是．三、解答题 20．计算：(2)解方程：3(23)46x x x +=+21．某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：8(80)5A x ≤<，9(85)0B x ≤<，9(90)5C x ≤<，(95100)D x ≤<，其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在C 组中的数据是91，92，90．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述a ，b ，c 的值：a =______，b =______，c =______； (2)你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？(3)若该校九年级共800人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀(90)x ≥的九年级学生有多少人？22．如图，在平行四边形ABCD 中，延长AB 到点E ，使BE AB =，DE 交BC 于点O ，连接EC ．(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)ADE V 满足什么条件时，四边形BECD 是矩形，并说明理由．23．已知关于x 的一元二次方程()2330x m x m -++＝．(1)求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；(2)若方程有两个实数根12,x x ，且121231x x x x ++=-，求m 的值．24．“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W 元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 25．阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去1===．材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：(2222311x x x ++=+++=+，(20x +≥Q ，(211x ∴++≥，即231x ++≥．23x ∴++的最小值为1．阅读上述材料解决下面问题：_______=______；(2)求211x ++的最值；(3)226．已知：如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为()1,0-，()2,9M 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)在第一象限的抛物线上是否存在一点P ，使得BCP V 的面积最大，求出点P 的坐标及BCP V 最大面积．27．如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交射线BC 于点F ，以DE EF 、为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：ED EF =；(2)若2AB =，CE CG 的长度；(3)当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是30︒时，求EFC ∠的度数．。

重庆七中2024-2025学年七年级上学期开学考试数学试题(解析版)

2024-2025学年重庆七中七年级（上）开学数学试卷一.选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题都给出了代号为ABCD 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卷中对应方框内．1. 如果M 代表一个非零自然数，那么下列算式中，得数最大的是（） A. 115M ×+B. 96%M ×C. 114M ÷−D. ()120%M ÷+ 【答案】C【解析】【分析】本考查分数的运算，分数大小的比较，解答此题的关键是各个选项的数计算出来后，比较分数的大小．【详解】解：A 、16155M M ×+= ， B 、96%0.96M M ×=，C 、14143M M÷−= ， D 、()5120%6M M ÷+=， ∵4650.96356>>> ∴114M ÷−的结果最大，故选：C ．2. 下面成语中，按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是（）①十拿九稳②凤毛瞬角③海枯石烂④万无一失A. ①②③④B. ④①②③C. ③④①②D. ②③④①【答案】B【解析】【分析】本题考查可能性的实际应用，万无一失是百分百，所以可能性最大，海枯石烂是全部没有了，可能的性为0，所以是最小，十拿九稳是指90%，所以应该是第二，凤毛麟角是有一些，应该是第三。

据此解答即可．【详解】解：①十拿九稳是指90%，②凤毛麟角是有一些，但不多，③海枯石烂是全部没有了，可能性为0，④万无一失是百分百，则按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是④①②③，故选：B ．3. 下列说法错误的是（）①检验105件产品全部合格，这批产品的合格率是105%．②如果a 是奇数，b 是偶数，“a b +”这个式子可以表示奇数．③把一个圆柱的侧面展开不可能是一个平行四边形．④3个点可以连3条线段，4个点可以连6条线段，5个点可以连10条线段，8个点可以连28条线段．A. ①③B. ②③C. ①④D. ③④ 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了百分数的认识、几何体的展开图、直线、射线、线段，掌握这些知识点是解题的关键．根据合格率、几何体的展开图、直线、射线、线段解答即可‘【详解】解：①检验105件产品全部合格，这批产品的合格率是100%．原题说法错误；②如果a 是奇数，b 是偶数，“a b +”这个式子可以表示奇数．原题说法正确；③把一个圆柱的侧面不沿高展开可能是一个平行四边形，原题说法错误；④3个点可以连3条线段，4个点可以连6条线段，5个点可以连10条线段，8个点可以连28条线段．原题说法正确．综上分析可知，错误的有①③．故选：A ．4. 一个长方形的长m 厘米，宽n 厘米，若把它的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么现在的面积比原来增加了（）平方厘米．A m n +B. m n mn ++C. 1m n ++D. mn【答案】C【解析】.【分析】本题考查了列代数式，长方形、正方形面积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可．如图，原长方形的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么增加的面积=①的面积+②的面积+③的面积；从图中可知，①是一个长m 厘米、宽1厘米的长方形，②是一个长n 厘米、宽1厘米的长方形，③是一个边长为1厘米的正方形；根据长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长，代入数据计算，即可求出增加的面积．【详解】解：如图，由图可知：①②③的面积之和是：()11111m n m n ×+×+×=++平方厘米答：现在的面积比原来增加了()1m n ++平方厘米．故选：C ．5. 林老师要买40个排球，原价32元/个．商场推出下列促销方案，选择（）最优惠．A. 买四送一B. 满1000元减200元C. 每满200减40D. 打八五折【答案】A【解析】【分析】本题考查百分数的应用，解决本题的关键是理解四个选项不同的优惠方法，找出计算的方法，分别求出需要的钱数，再比较求解．【详解】解：A 、()4041÷+ 405=÷8=，3240328×−×1280256−1024=（元）B 、32401000×÷12801000÷1280= ，32402001×−×1280200−1080=（元）C、3240200×÷1280200÷680= ，3240640×−×1280240−1040=（元）D、3285%40××1088=（元）1024104010801088<<<即：选择“买四送一”最优惠．故选：A．6. 我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（）两．A. 35B.107C.2021D.3421【答案】D【解析】【分析】本题主要考查列一元一次方程解决问题，设一头牛值金x两，根据“有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两”，利用羊的价钱不变列方程是解决问题的关键．【详解】解：设一头牛值金x两．()()1052825x x−÷=−÷5025164x x−=−2134x=3421x=答：一头牛值金3421两．故选：D．7. 如图，三个图形A 、B 、C 中面积最大的是（）A. A 图形B. B 图形C. C 图形D. 三个图形面积一样大【答案】A【解析】【分析】本题主要考查列代数式，平行四边形、三角形和梯形面积公式的应用．利用平行四边形、三角形、梯形面积公式计算并比较，即可得出结论．【详解】解：设两条平行线间的距离是h ．A 图形，平行四边形面积：7h ，B 图形，三角形面积：1226h h ÷=，C 图形，梯形面积：（()762 6.5h h +÷=6 6.57h h h <<答：三个图形A 、B 、C 中面积最大的是A 图形．故选：A ．8. 16:9的长方形，所以电视、显示器行业根据这个比设计产品，下面对长与宽的比为16:9的长方形理解正确的是（） ①宽是长916；②宽比长短79；③长是宽的169；④长比宽长79． A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①②③④ 【答案】C【解析】【分析】此题考查了比的应用，单位“1”，把长看作单位“1”，那么宽就916，则宽是长的9116÷，长是宽的9116÷，宽比长短91116 −÷ ，长比宽长9911616 −÷ ，据此解答即可．【详解】解：把长看作单位“1”，那么宽就916， ①宽是长的9911616÷=，正确；的③长是宽的9161169÷=，正确； ②宽比长短：91116 −÷ 7711616=÷=，错误； ④长比宽长：997971161616169 −÷=÷=，正确．故选：C ． 9. 已知甲、乙、丙三个桶中分别有20升、18升、14升牛奶．现进行如下操作：先将甲桶中35的牛奶倒入丙桶，再将乙桶中的23平均分给甲桶和丙桶，最后将丙桶中的516倒给甲桶．这时，丙桶中还有（）升牛奶．A. 22B. 24C. 6D. 12 【答案】A【解析】【分析】本题考查分数四则复合应用，先算甲桶倒入丙桶的升数，用乘法计算；再求乙桶倒入丙桶的升数，最后再求丙桶还有的牛奶即可．本题抓住丙桶中的变化，是解答本题的关键．【详解】解：320125×=（升） 211832×× 1122=× 6=（升）1412632++=（升）532116 ×− 113216=× 22=（升）答：丙桶中还有22升牛奶．故选：A ．10. 如图，三角形EAD 的底和高分别与长方形ABCD 的长和宽相等，F 是长方形长的中点．阴影部分甲、阴影部分乙和空白部分丙的面积之比为（）A. 1:2:3B. 2:3:4C. 1:3:4D. 1:2:4【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了比应用，组合图形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形、长方形的面积求法．设长方形的长为a ，宽为b ，则三角形EFD 、EAF 、ABF 的底为0.5a ，高为b ，根据三角形和长方形的面积公式求出甲乙丙的面积，据此进一步解答即可．【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，甲的面积：0.520.25a b ab ×÷=，乙的面积：0.520.520.5a b a b ab ×÷+×÷=，丙的面积：0.520.75ab a b ab −×÷=，所以阴影部分甲、阴影部分乙和空白部分丙的面积之比为：0.25:0.5:0.751:2:3ab ab ab =故选：A ．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案直接填写在答题卷中对应的横线上．11. 233,235A B =××=××，则A 和B 的最大公因数是_________．【答案】6【解析】【分析】根据最大公因数的定义及求法，233,235A B =××=××的最大公因数为6，从而确定答案．【详解】解： 233,235A B =××=××，∴A 和B 的最大公因数是6，故答案为：6．【点睛】本题考查最大公因数的定义及求法，熟记最大公因数的定义及求法是解决问题的关键． 12. 油菜籽的出油率是35%，榨700千克油需要 _____千克油菜籽．【答案】2000【解析】的【分析】本题考查百分数的应用，解答此题的关键是弄清出油率、菜籽油，油菜籽三者之间的关系．根据“出油率=菜籽油的质量÷油菜籽的质量100%×”可知，求油菜籽的质量，用菜籽油的质量除以出油率，即用700千克除以35%可求解．【详解】解：70035%2000÷=（千克），故答案为：2000．13. 有这样两种运算◆和■：规定a ◆b a b a =×−，a ■b a b a =++，则(6◆)5■4=_____．【答案】52【解析】【分析】本题考查新定义运算，解决本题的关键是找出新运算的方法，再根据新运算的方法计算．根据题意得出：a ◆b 等于两个数的乘积减去第一个数，a ■b 等于两个数的和加第一个数，所以(6◆)5■4()656=×−■424=■424424++，据此计算即可．【详解】解：(6◆)5■4()656=×−■424=■424424++52=，故答案为：52．14. 刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”王老师今年___________岁．【答案】31．【解析】【详解】试题分析：设王老师今年x 岁，则刘俊今年12（x+3）岁，不论怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解．试题解析：设王老师今年x 岁，则刘俊今年12（x+3）岁，依题意有 45-x=x-12（x+3），解得x=31．的答：王老师今年31岁．考点：一元一次方程的应用．15. 如图是长方形中，E点是CD的中点，阴影部分三角形EFC的高是长方形宽的13，阴影部分与空白部分的面积比是_____．【答案】1:11##1 11【解析】【分析】本题考查比的应用，由图可知，阴影三角形的底等于长方形长的12，高等于长方形宽的13，所以阴影部分的面积等于长方形面积的112，由此得阴影部分的面积，进而可得答案．【详解】解：设长方形的长为a、宽为b，由E点是CD的中点，可知12 CE a=则长方形的面积为：ab，阴影部分三角形EFC 111 2312a b ab×=，∴空白部分的面积为1111212ab ab ab−=，则阴影部分与空白部分的面积比是111:1:11 1212ab ab=，故答案为：1:11．三.计算题：（本大题共2个小题，共10分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答题书写在答题卷中对应的位置上．16. 计算：（1）4124 53511÷+×；（2）116.30.125 4.40.788×+×−×．【答案】（1）3；（2）5 4【解析】【分析】本题考查分数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据分数的混合运算计算即可；（2）结合乘法分配律，根据分数的混合运算计算即可．【详解】解：（1）412453511 ÷+× 45645151511 =÷+× 411451511 =÷× 44515=÷ 45541=× 3=；（2）116.30.125 4.40.788×+×−× 1116.3 4.40.7888=×+×−× ()1 6.3 4.40.78=×+− 1108=× 54=．四.解答题：（本大题共3个小题，共30分）17. 学校餐厅的套餐收费如下所示，师生一共49人，一共消费475元，选A 套餐的有多少人？ A 套餐：8.5元/份B 套餐：10元/份【答案】选A 套餐的有10人【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，设选A 套餐的有x 人，则选B 套餐的有()49x −人，再根据总消费是475元，列出方程再解方程即可解答；解答此题的关键是根据题意找出等量关系，再列方程解方程．【详解】解：设选A 套餐的有x 人，则选B 套餐的有()49x −人．()8.51049475x x +×−=，8.549010475x x +−=，1.515x =，10x =答：选A 套餐的有10人．18. 某工程需修一段隧道，甲工程队单独完成全部工程需12天，甲、乙两队合作完成需要8天，如果乙工程队先工作16天，剩下的工程全部由甲队完成，甲工程队还需要多少天？【答案】甲工程队还需要4天完成【解析】【分析】本题考查了分数应用中的工程问题，解题的关键是理解甲、乙每天完成总工程量的几分之一．甲单独完成全部工程需12天，则甲每天完成工程的112，甲、乙两队合作完成需要8天，则每天完成工程量的18，因此可求得乙每天完成工程量的11181224−=，乙工程队先工作16则完成总工程的1624，则剩余工作量为16124−，除以甲的工效即可．【详解】由题意得甲的工效为112，甲、乙合作的工效为18，所以乙的工效为11181224−=，甲工程队还需要：1111642412−×÷= （天）．答：甲工程队还需要4天．19. 如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题：（1）这个饮料瓶容积是多少？（2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1:2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？【答案】（1）3135cm 4π （2）8杯【解析】【分析】本题主要考查圆柱、圆锥的体积，熟练掌握圆柱、圆锥体积公式是解题的关键．根据公式列式进行计算即可．（1）根据题意求得饮料的容积，瓶中空余部分容积，再求和即可；（2）根据题意求得圆锥形杯子的容积，再用饮料的容积除以圆锥形杯子的容积即可．【小问1详解】解：由图可知，饮料瓶的底面半径为3cm 2，则饮料的容积为233276cm 22ππ ××= ，瓶中空余部分容积为233819cm 24ππ ××= 则饮料瓶容积为32781135cm 244πππ+=，答：这个饮料瓶容积是3135cm 4π；【小问2详解】∵圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1:2， ∴圆锥的底面半径为313=cm 224×，则圆锥形杯子的容积为2313279cm 3416ππ ××=， 27927168216227ππ÷=×=，答：这些饮料可以倒满8杯．。

江苏省扬州大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

江苏省扬州大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知全集是实数集R ，集合{}2A x x =>，{}260B x x x =-->，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}2x x >B ．{}22x x -≤≤C ．{}2x x ≤D ．{|2x x <-或2}x >2．若4sin 5α=，α是第二象限角，则()cos απ+=（） A ．35-B ．45-C ．45D ．353．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（）A ．1-B ．1C ．2D ．54．已知()2,01,0x m x f x nx x +>⎧=⎨+<⎩为奇函数，则m n +=（）A ．1B ．2C ．0D ．1-5．已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b c a >>6．曲线ln(32)y x =-上的点到直线370x y -+=的最短距离是（）AB C ．D ．17．已知 π2sin sin 33αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则 πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．59-B ．19- C ．19D ．598．设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（） A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．下列等式成立的是（）A ．sin63cos18cos63sin18-=o o o o B ．1sin15cos152=o oC ．22ππsin cos 88- D ．1tan151tan15+=-o o 10．已知函数()()3213f x x ax x a =-+∈R ，则下列说法正确的有（）A ．若()f x 是R 上的增函数，则[]1,1∈-aB ．当1a >时，函数()f x 有两个极值C ．当1a >时，函数()f x 有三个零点D ．当1a =时，()f x 在点()()0,0f 处的切线与()f x 只有唯一个公共点11．已知实数12,x x 是函数()()21log 12xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的两个零点，则下列结论正确的是（）A ．()()121110,2x x ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭B ．()()12111,12x x ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭C ．()()()12111,2x x --∈D ．()()()1222,0x x --∈-∞三、填空题12．当1x >时，求821x x +-的最小值为. 13．已知函数()f x 是定义在R 上的的奇函数，满足()()11f x f x +=，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．14．设a ∈R ，函数()21,0,0x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩，当1a =时，函数()()y f f x =有个零点；若函数()()y f f x =恰有3个零点，则实数a 的取值范围为．四、解答题 15．已知函数()2349ln 2f x x ax x =-+在3x =处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最小值．16．已知cos()αβ+=1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值； (2)求2αβ+的值.17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，10AD =，28BC AB ==，M 为PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)若AM PC ⊥，求直线BM 与平面PCD 所成角的正弦值． 18．已知函数2()ln (21)f x ax x a x =-+-，其中a ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)设0a >，若不等式e ()02f x +≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．19．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.。

河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学含答案

高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 1iz=--+，则z =（）A.22i+ B.22i-- C.2i- D.2i2.已知ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,A B C m ，且π2ABC ∠=，则m =（）A.2B.3C.4D.53.若{},,a b c是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2a b a b +B.,,a a b a c++C.,,a a c c-D.,,2b c a c a b c++++4.已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =-，点M 在α外，点N 在α内，且()1,2,1MN =- ，则点M 到平面α的距离d =（）A.1B.2C.3D.25.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93B.92C.91.5D.93.56.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan B b ==，则2()a c ac+=（）A.6B.4C.3D.27.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A.15B.25C.35 D.9208.已知圆锥1A O 在正方体1111ABCD A B C D -内，2AB =，且1AC 垂直于圆锥1AO 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n α⊂或n ∥αD.若m ∥,,m n α相交，则n ∥α10.已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()135,,4812P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（）A.()12P B C ⋂= B.()18P B =C.()724P B C ⋃=D.()16P C =11.已知厚度不计的容器是由半径为2m ，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为1.1m 的正方体B.底面半径和高均为1.9m 的圆锥C.棱长均为2m 的四面体D.半径为0.75m 的球三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCD A B C D AB A B -==，体积为13，则该方亭的高是__________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,A B C D 为AB 的中点，则异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为__________.14.在ABC 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==⋅=⋅+⋅，则ABC 的外接圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin cos 1cos sin ,1C B a C B b =->.（1）证明：1cos C b=.（2）若2,a ABC = 的面积为1，求c .17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为60,BAD PA PB PD ∠====，且PE ⊥平面ABCD ，垂足为E .（1）证明：BC ⊥平面PBE .（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（17分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，点,,E F G 分别在棱111,,BB CC DD 上，且,,,A E F G 四点共面，,BAE DAG ∠α∠β==.（1）若AE AG =，记平面AEFG 与底面ABCD 的交线为l ，证明：BD ∥l .（2）若π4αβ+=，记四边形AEFG 的面积为S ，求S 的最小值.19.（17分）给定平面上一个图形D ，以及图形D 上的点12,,,n P P P ，如果对于D 上任意的点P ，21ni i PP =∑为与P 无关的定值，我们就称12,,,n P P P 为关于图形D 的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,P P P PP P 为图形D ，判断点123,,P P P 是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；（2）若图形D 是边长为2的正方形，1234,,,P P P P 是它的4个顶点，P 为该正方形上的动点，求1223341PP P P P P PP ++- 的取值范围；（3）若给定单位圆E 及其内接正2024边形122024,PP P P 为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求202421i i PP =∑的值.高二数学考试参考答案1.C 因为1i 1iz=--+，所以2(1i)2i z =-+=-.2.D 因为()()2,1,2,1,BA BC m BA BC =-=-⊥ ，所以()410BA BC m ⋅=-+-=，解得5m =.3.B 因为()22a a b b =+- ，所以,,2a b a b + 共面；{},,a b c 是空间的一个基底，假设,,a a b a c ++ 共面，则存在不全为零的实数,s t ，使得()()a s a b t a c =+++ ，即()a s t a sb tc =+++，则1,0s t s t +===，无解，故,,a a b a c ++不共面；因为()a a c c =-+ ，所以,,a a c c - 共面；因为()()2a b c b c a c ++=+++ ，所以,,2b c a c a b c ++++ 共面.4.A 14213MN n d n ⋅--+===.5.D8名学生的成绩从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95，且875%6⨯=，故上四分位数为929593.52+=.6.B因为tan B =，所以2π3B =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++=，即2()4a c ac +=，故2()4a c ac+=.7.B 设{i A =第i 次拨号拨对号码},1,2i =.拨号不超过两次就拨对号码可表示为112A A A +，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为()()()11211214125545P A A A P A P A A +=+=+⨯=.8.C 如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，分别记为M ，,,,,N E F P G ，连接111,,,,,,,B D BD EF FP PG GM MN NE .根据正方体的性质易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1A C 的中点O 为该正六边形的中心，且1A C ⊥平面MNEFPG ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为r，因为11B D ==，所以1112FP B D ==，所以22r FP ==，圆锥的底面积23ππ2S r ==，圆锥的高1122AO ==，所以圆锥的体积1113π3322V S A O =⋅=⨯=.9.BC 对于A ，若m ∥,n α∥α，则直线,m n 可能相交或平行或异面，故A 错误.对于B ，若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥，故B 正确.对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 正确.对于D ，若m ∥,,m n α相交，则n ∥α或n 与α相交，故D 错误.10.BCD因为事件,,A B C 两两互斥，所以()()()0P B C P A B P A C ⋂=⋂=⋂=，故A 错误.由()()()()1348P A B P A P B P B ⋃=+=+=，得()18P B =，故B 正确.由()()()()15412P A C P A P C P C ⋃=+=+=，得()16P C =，故D 正确.因为()()()1178624P B C P B P C ⋃=+=+=，所以C 正确.11.AC 设扇形所在圆的半径为R ，对于A ，设正方体的棱长为a ，如图1，则可容纳的最长对角线max 2OA R ===，解得max 1.15 1.1a =≈>，故A 正确.对于C ，如图2，取三段14圆弧的中点,,B C D ，则四面体OBCD 的棱长均为2m ，所以可以容纳，故C 正确.对于B ，如图2，同选项C 的分析，BCD 的外接圆半径为1.93<，所以不可以容纳，故B 错误.对于D ，如图3，4，设球的半径为r ，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆O '与圆O 内切，2O M OO r r r =+=++''10.7320.75r=-≈<，所以不可以容纳，故D错误.12.3设正四棱台的高为h.因为1133AB A B==，所以方亭1111ABCD A B C D-的体积()()221111331333V h S S h=⋅+=⋅+⨯+=下上，解得3h=.13.15依题意可得()()()2,1,0,2,1,0,0,2,4D OD BC==-，则1cos,5BC ODBC ODBC OD⋅==-，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为15.14.233设2BAC∠θ=，因为BAD CAD∠∠=，所以BAD CAD∠∠θ==.由ABC ABD ADCS S S=+，得111sin2sin sin222AB AC AD AB AD ACθθθ⋅=⋅+⋅，即()sin2sinAB AC AD AB AD ACθθ⋅=⋅+⋅，又AB AC AD AB AC AD⋅=⋅+⋅，所以sin2sinθθ=，即2sin cos sinθθθ=，又02πθ<<，所以π2θ<<，所以sin0θ>，则1cos2θ=，所以π3θ=，所以2π23BAC∠θ==，则ABC外接圆的半径232sin3BCRBAC∠===.15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为100.1100=，则0.10.0110a==，由各组频率之和为1，可知()0.0050.010.02520.005101b+++⨯+⨯=，解得0.03b=.（2）前3组的频率之和为()0.0050.010.03100.450.5,++⨯=<前4组的频率之和为0.450.025100.70.5+⨯=>，所以样本数据的中位数在第4组，设为x，所以()0.45700.0250.5x+-⨯=，解得72x=，估计样本数据的中位数是72分钟.估计平均数是()()45950.05550.1650.375850.2572+⨯+⨯+⨯++⨯=分钟. 16.（1）证明：因为()sin cos 1cos sin C B a C B =-，所以sin cos cos sin cos sin C B C B a C B +=，即()cos sin sin a C B C B =+.根据πB C A +=-，得()sin sin C B A +=，所以cos sin sin a C B A =，由正弦定理得cos ab C a =，所以cos 1b C =，从而1cos C b=.（2）解：由（1）可得1sin C b==.因为ABC 的面积为1，所以1sin 12ab C b b=⋅=，解得22b C ==.又2a =，所以由余弦定理得c ==.17.（1）证明：连接,DE BD ，因为PA PB PD PE ===⊥平面ABCD ，所以EA EB ED ==.又四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，所以ABD 是正三角形，所以30EBD ∠= .由AB BD BC CD ===，得BCD 是正三角形，60DBC ∠= .所以90EBC EBD DBC ∠∠∠=+= ，即BC BE ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，可得BC PE ⊥.因为PE BE E ⋂=，所以BC ⊥平面PBE .（2）解：以E 为坐标原点，,EB EP的方向分别为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为AB =，所以2,3BE AE PE ====则())()(()(()0,2,0,1,0,2,0,0,0,,,0,2,,B AC P BC BP AC --=-=-=-.设(),,m x y z = 是平面PBC 的一个法向量，由0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，可得()m =.设直线AC 与平面PBC 所成的角为θ，则sin 6m AC m AC θ⋅=== ，即直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为6.18.（1）证明：连接EG ，因为,,90AE AG AB AD ABE ADG ∠∠==== ，所以ABE ADG ≅ ，则BE DG =.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知BE ∥DG ，所以四边形BDGE 是平行四边形，从而BD ∥GE .又BD ⊄平面AEFG ，所以BD ∥平面AEFG .又BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEFG l =，所以BD ∥l .（2）解：易证四边形AEFG 为平行四边形.以A 为坐标原点，AB ，1,AD AA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.()()1,0,tan ,0,1,tan E G αβ，则()()1,0,tan ,0,1,tan AE AG αβ==，cos AE AG EAG AE AG ∠⋅==，sin S AE AG EAG ∠==S =因为π4αβ+=，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，整理得tan tan 1tan tan αβαβ+=-.由()tan tan 1tan tan tan ,tan 0,1αβαβαβ+=-∈ ，可得0tan tan 3αβ<- .S =，易知()2f x x =-42x +在(0,3-上单调递减，所以当tan tan 3αβ=-min S =，当且仅当tan tan 1αβ==-时，S .19.解：（1）点()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.理由如下：当P 与()10,0P 重合时，有2221238PP PP PP ++= ，当P 与()22,0P 重合时，有222123128PP PP PP ++=≠ ，故()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.（2）因为12233411414PP P P P P PP PP PP PP ++-=-= ，所以12233414PP P P P P PP PP ++-=，当P 与2P 重合时，4PP取得最大值，当P 与4P 重合时，4PP取得最小值0，所以1223341PP P P P P PP ++-的取值范围为0,⎡⎣.（3）设单位圆E 的圆心为O ，所以()2024202420242222221220241112024||2.i l i i i PP OP OPOP OP OP OP OP OP ====-=++++-⋅∑∑∑因为多边形122024PP P 是正2024边形，所以20242024110,0.i l i i OP OP OP ===⋅=∑∑又1i OP OP == ，所以2024214048i i PP ==∑ ，故122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，且.2024214048l i P ==∑.。

2024年高二数学秋季开学考试(北京专用)(原卷版)(摸底考试)

2024年高二数学秋季开学考试（北京专用）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,a m = ，(),2b m m =- ，若//a b，则m =（）A ．1或2-B ．1-或2C ．1或12-D ．1-或122．复数2⎝⎭（其中i 为虚数单位）的虚部等于（）A ．i-B ．1-C ．1D ．03．经过点()1,1M 且斜率为1-的直线方程是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．20x y -+=D ．20x y +-=4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A ．56B ．2243C D 5．已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （*n ∈N ）的方差为1.2，则151x -，251x -，⋯，51n x -的方差为（）．A ．5B ．6C ．25D ．306．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（）．A ．15B ．25C ．12D ．237．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为（）A ．23B ．3C ．83D ．38．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（）A ．甲和乙相互独立B ．甲和丙相互独立C ．甲和丁相互独立D ．丁和丙相互独立9．已知两个不重合的平面α，β，三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是（）A ．若a b ，b α⊂，则a αP B ．若a b ⊥r r，b c ⊥，则a cP C ．a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，则αβ∥D ．a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b 10．在四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论不正确的是（）A ．CD AB⊥B ．CD BD⊥C ．平面ADC ⊥平面ABDD ．平面ABC ⊥平面BDC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知3512a b a b ==⋅=- ，，，则a 在b 上的投影向量为12．过点()1,2-和点()1,2-的直线的斜率为.13．数据：35，54，80，86，72，85，58，53，46，66的第25百分位数为．14．已知三棱锥,,P ABC PA AB PA BC -⊥⊥，30,2,BAC BC PA ∠=== ，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量a ，b ，c ，其中()3,4a =.(1)若c 为单位向量，且//a c，求c 的坐标；(2)若b = 且2a b - 与2a b - 垂直，求向量a ，b夹角的余弦值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是2222222sin sin ,,,sin A C a b c a b c C a c b-+-=+-.(1)若2,c D =是BC 的中点，且AD =ABC 的面积；(2)若ABC 为锐角三角形，求222a cb +的取值范围.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.(1)求直方图中a ，b 的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,D AD BC CD A ⊥∥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面,D,ABCD PA P PA PD ⊥=．(1)求证：CD PA ⊥；(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得DM ⊥平面PAB ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由．20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。

2024年重庆市八中九年级上学期开学考数学试题及答案

重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试自测模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（）A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣32．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列调查中，最适合抽样调查的是（）AB．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯C．调查某种面包的合格率D．调查某校足球队员的身高4．（4分）估计的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知AO：OD＝2：1，△ABC周长为8，则△DEF的周长是（）A．1 B．2 C．4 D．66．（4分）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y27．（4分）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（）A．（x+1）2＝100 B．1+（x+1）2＝100C．x+x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝1008．（4分）用一样长的小木棒按如图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（）A．36 B．41 C．42 D．469．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，F为AD上一点，连接BE，BF，DF+CD＝BF，若∠ABE＝α，则∠ABF的大小为（）A．2α﹣15° B．α+10° C．3α﹣45° D．90°﹣2α10．（4分）a﹣b，a+b，a﹣b，a+b，...是由a﹣b，a+b交替排列的n个多项式，其中a≠b，将这n个多项式中的任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（1≤m≤n，且m，n均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当n＝3，m＝2时，第1次操作后可能得到；﹣a+b，﹣a﹣b，a﹣b或﹣a+b，a+b，﹣a+b或a﹣b，﹣a﹣b，﹣a+b．下列说法：①当n为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的n个多项式的和为0；②当n＝6，m＝5时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不含a；③当n＝6，m＝3时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：＝．12．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（4分）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1，2，3，4，将四个小球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB ＝OA，过点B作BC⊥x轴，交反比例函数图象于点D，连结AD，且S△ABD＝3，则k的值为．15．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以CD为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面积为．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．17．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝2，M为边BC上任意一点，连接AM，将△ACM沿AM翻折得到△AC′M，连接BC′并延长交AC于点N，若点N为AC的中点，则CM的长为．18．（4分）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”．一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝a+b+c+d，G（M）＝．若为整数，G（M）是4的倍数，则b+c＝；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）4a（a+b）﹣（a+2b）2；（2）．20．（10分）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：AB+CD＝AD．证明：∵AE平分∠BAD，∴．∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°．∴∠B＝90°，∴．∠B＝∠AFE．在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）．∴．同理可得：CD＝DF∴AB+CD＝AF+DF＝AD．小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么．21．（10分）学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．抽取的七、八年级学生的评分统计表年级七年级八年级平均数8.75 8.75中位数9 a众数9 b满分率c% 15%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a、b、c的值．（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演？请说明理由．（3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人？22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D为AB中点，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，当点P运动到点B时停止运动．设运动时间为x秒，△APD的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出y1的一条性质；（3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出y1≥y2时，x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）23．（10分）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元．（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？（2）花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加10m支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m 的值．24．（10分）金秋十一月，阳光大草坪ABCD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东60°方向400m处，入口D在入口A 的北偏西45°方向1000m处．（参考数据≈1.41，）（1）求AB的长度；（结果精确到1米）（2）小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在AB上，距离入口B的500m处．小明可以选择鹅卵石步道①D ﹣C﹣B﹣M，步行速度为50m/min，也可以选择人工步道②D﹣A﹣M，步行速度为60m/min，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到0.1min）25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点，与x轴交于点，点C为AB中点，反比例函数y＝刚好经过点C．将直线AB绕点A沿顺时针方向旋转60°得直线AD，直线AD与x轴交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）如图2，点Q为射线BA上一动点，当DQ+BQ取最小值时，求△DCQ的面积；（3）将△DCA沿射线AB方向进行平移，得到△D′C′A′且C′刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数y＝上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，D′为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N 的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F 作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN+BD；（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP 绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值．重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试自测模拟试卷答案一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（）A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣3【答案】D2．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B3．（4分）下列调查中，最适合抽样调查的是（）A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯C．调查某种面包的合格率D．调查某校足球队员的身高【答案】C4．（4分）估计的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知AO：OD＝2：1，△ABC周长为8，则△DEF的周长是（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C6．（4分）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2【答案】B7．（4分）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（）A．（x+1）2＝100 B．1+（x+1）2＝100C．x+x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100【答案】A8．（46根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（）A．36 B．41 C．42 D．46【答案】B9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，F为AD上一点，连接BE，BF，DF+CD＝BF，若∠ABE＝α，则∠ABF的大小为（）A．2α﹣15° B．α+10° C．3α﹣45° D．90°﹣2α【答案】D10．（4分）a﹣b，a+b，a﹣b，a+b，...是由a﹣b，a+b交替排列的n个多项式，其中a≠b，将这n个多项式中的任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（1≤m≤n，且m，n均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当n＝3，m＝2时，第1次操作后可能得到；﹣a+b，﹣a﹣b，a﹣b或﹣a+b，a+b，﹣a+b或a﹣b，﹣a﹣b，﹣a+b．下列说法：①当n为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的n个多项式的和为0；②当n＝6，m＝5时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不含a；③当n＝6，m＝3时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：＝ 3 ．【答案】3．12．（4分）已知关于x mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜2且m≠0 ．【答案】m＜2且m≠0．13．（4分）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1，2，3，4，将四个小球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为．【答案】．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB ＝OA，过点B作BC⊥x轴，交反比例函数图象于点D，连结AD，且S△ABD＝3，则k的值为 4 ．【答案】4．15．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以CD为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面积为2+π．【答案】2+π．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程a的和为8 ．【答案】8．17．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝2，M为边BC上任意一点，连接AM，将△ACM沿AM翻折得到△AC′M，连接BC′并延长交AC于点N，若点N为AC的中点，则CM的长为．【答案】．18．（4分）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”．一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝a+b+c+d，G（M）＝．若为整数，G（M）是4的倍数，则b+c＝ 5 ；所有满足条件的M 的最大值和最小值的差为8082 ．【答案】5，8082．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）4a（a+b）﹣（a+2b）2；（2）．【答案】（1）3a2﹣4b2；（2）﹣．20．（10分）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：AB+CD＝AD．证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE．∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°．∴∠B＝90°，∴．∠B＝∠AFE．在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）．∴AB＝AF．同理可得：CD＝DF小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．．【答案】见试题解答内容21．（10分）学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．抽取的七、八年级学生的评分统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a、b、c的值．（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演？请说明理由．（3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人？【答案】（1）a＝9.5，b＝10，c＝10；（2）八年级的学生更喜欢此次文艺汇演，理由见解答；（3）1425人．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D为AB中点，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，当点P运动到点B时停止运动．设运动时间为x秒，△APD的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出y1的一条性质；（3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出y1≥y2时，x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）y1＝；（2）见解析，性质：当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；当4＜x＜12时，y随x的增大而减小；（3）1.7≤x≤11.5．23．（10分）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元．（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？（2）花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加10m支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m 的值．【答案】（1）100支；（2）2．24．（10分）金秋十一月，阳光大草坪ABCD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东60°方向400m处，入口D在入口A 的北偏西45°方向1000m处．（参考数据≈1.41，）（1）求AB的长度；（结果精确到1米）（2）小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在AB上，距离入口B的500m处．小明可以选择鹅卵石步道①D ﹣C﹣B﹣M，步行速度为50m/min，也可以选择人工步道②D﹣A﹣M，步行速度为60m/min，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到0.1min）【答案】见试题解答内容25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点，与x轴交于点，点C为AB中点，反比例函数y＝刚好经过点C．将直线AB绕点A沿顺时针方向旋转60°得直线AD，直线AD与x轴交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）如图2，点Q为射线BA上一动点，当DQ+BQ取最小值时，求△DCQ的面积；（3）将△DCA沿射线AB方向进行平移，得到△D′C′A′且C′刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数y＝上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，D′为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N程．【答案】（1）y ＝；（2）S△DCQ＝8；（3）点N的坐标为（0，﹣5）或（0，6）或（0，﹣6）．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F 作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN +BD；（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP 绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R 的运动过程中，直接写出的最大值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最大值为．第21页（共21页）。

重庆市第一中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

重庆市第一中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（）A ．75 B C ．0 D ．3-2．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（）A ．64a a a ÷=B ．()32624a a =C ．236a a a ⋅=D ．22243a a a -= 4．下列事件是必然事件的是（）A ．黄河入海流B ．白发三千丈C ．鱼戏莲叶间D ．千山鸟飞绝 5．一个正方形的面积是27，估计这个正方形的边长在（）A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间 6．小南准备观察液体中的扩散现象，他先用水管匀速在空脸盆内注满水，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开．为了验证墨水扩散速度与水的运动有关，小南在脸盆底部扎了一个口匀速放水．在整个过程中，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是（） A ． B ．C ．D ．7．下列说法正确的是（）A ．等腰三角形一边上的中线也是这条边上的高B ．面积相等的两个三角形全等C ．三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部D ．两直线平行，内错角互补8．如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B 处，选对岸正对的一棵树A ，然后沿河岸直行20m 到达树C ，继续前行20m 到达点D 处，再从点D 处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A 正好被树C 遮挡住的点E 处时，停止行走，此时DE 的长度即为河岸AB 的宽度．小开这样判断的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA9．如图1，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（）A ．200B ．175C ．150D ．12510．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 为BC 边上靠近点C 的三等分点，且AB BE =，若阴影部分面积为4，则ABC V 的面积为（）A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图，已知AB CD ∥，BAC ∠的角平分线与CD 交于点E ，F 为射线AB 上的一个动点，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，且FG EG =．若AEF α∠=，则ECG ∠的度数为（）A ．452α︒- B ．30α︒+ C ．45α︒- D ．2α12．在整式()231a -，()254a a -+，()28419a a -+前添加“+”或“-”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M ．例如：()()()22222231548419618618618a a a a a a a a ----+--+=--=+=+，则2618M a =+，当1a =时，M 的化简求值结果为：2611824M =⨯+=．下列说法正确的个数为（） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数；②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果；③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a 有且只有一个，此时14a =-． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题13．世界上最小的鱼是生活在澳大利亚东海岸的胖婴鱼，它的质量约为0.0000012千克，将数据0.0000012用科学记数法表示为．14x 的取值范围为15．已知ABC V 两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为．16．若3a ，小数部分为b ，则代数式()2b ⋅的值是．17．如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边的F 点上，已知4CF =，8AB =，则AD =．18．如图，在等边ABC V 中，点D 为线段AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，点E 为线段AC下方一点，连接CE ，且C D C E =，BDC ACE ∠=∠，连接BE 交AC 于点M ，点F 为线段AC延长线上一点，AD CF =，连接EF ．已知2AD =，则CM 的长为．19．如图，90A C ∠=∠=︒，且4AB AC ==，D ，E 分别为射线AC 和射线CF 上两动点，且=AD CE ，当BD BE +有最小值时，则BDE ∆的面积为．20．对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M 为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M 的百位数字和个位数字互换位置，得到M '，规定()99M M F M '-=．已知A 、B 均为“2阶等差中项数”，其中31010A x y =++，10070B m n =++（18x ≤≤，1y ≤，m ，9n ≤，且x ，y ，m ，n 均为正整数）．令()()F A k F B =则 k 用 y 和n 表示为；当()()303F A F B -- 为完全平方数时，则满足条件的所有 k 之和为．三、解答题21．计算：(1)2202401(1)1)3-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； (2)()3263272372a a a a a a ⋅-⋅÷+；(3)22(25)(25)m n m n --+；(4)(2122．先化简，再求值：()()()()24332253a b a b a b a b b a ⎡⎤-+--++÷⎣⎦，其中4a =，23b =-．23．如图，已知在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．(1)尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不写结论）(2)在（1）的条件下，求证： AFE AEF ∠=∠．AD BC ⊥Q90ADB ∴∠=︒∴①90BFD +∠=︒又 BFD ∠=Q ②FBD ∴∠+③90=︒90BAC ∠=︒QABF ∴∠+④90=︒BF Q 平分ABC ∠ABF FBD ∴∠=∠(⑤)∴AFE AEF ∠=∠24．“五月五是端阳，插艾叶戴香囊，吃粽子撒白糖，龙船下水喜洋洋．”端午是我国传统节日，也是集拜神祭祖，祈福辟邪，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某校为了更好地调动学生参与端午活动的积极性，采取抽样调查的方法，调查了学生感兴趣的四项端午习俗项目：插艾叶，戴香囊，吃粽子，赛龙舟，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查了______名学生，扇形统计图中m 的值为______；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有3000名学生，请估计该校对插艾叶项目感兴趣的学生有多少人？25．某花店分别以22元/盆和30元/盆的价格两次购进甲、乙两种绿植．花店第一次购进两种绿植共花费4600元，其中甲种绿植盆数的2倍比乙种绿植盆数的3倍少40盆．(1)请计算该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各多少盆．(2)该花店将第一次购进的甲、乙两种绿植分别以28元/盆和40元/盆的价格全部售出，则卖出后一共可获得利润________元．(3)该花店第二次购买这两种绿植时进价不变，其中甲种绿植盆数是第一次的2倍，乙种绿植盆数不变．甲种绿植仍按原售价销售，乙种绿植打折销售．第二次甲、乙两种绿植销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多280元，则第二次乙种绿植是按原售价打几折销售的？26．在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 上的任意一点，连接AD ，过点C 作CE AD ⊥交AD 于点E ．(1)如图1，若15BAD ∠=︒，CE 2CD =，求ACD V 的面积；(2)如图2，过C 作CF BF ⊥，且C F C E =，连接FE 并延长FE 交AB 于M ，连接BF ，求证：AM BM =．27．如图1，已知八边形ABCDEFGH 相邻的两边互相垂直，且AB AH =，DC DE =，动点P 从八边形顶点A 出发，沿着八边形的边以每秒cm a 的速度逆时针运动，当P 运动到点E 时调头，以原来的速度原路返回，到A 点处停止运动．PAH V 的面积为()2cm S ，运动时间为t （秒），S 与t 的图象如图2所示，请回答以下问题：(1)AB =______cm ，DE =______cm ，a =______cm/s ；(2)当点P 第一次在边CD 上运动时，求S 与t 的关系式；(3)点P 在返回过程中，当时间t 为何值时，AHP △为等腰三角形？请直接写出t 的值． 28．已知ABC V 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，E 为AC 边上的中点，取平面上一点D ，连接CD ，使得ACD BAC ∠=∠．连接AD 交BE 于点F ，60AFB ∠=︒．(1)如图 1，求证：CD CE =；(2)如图 2，延长BE 至点G ，使得EG FD =，连接CG ，CF ，求证：3BF AF =；(3)如图 3，若P 为直线BE 上一点，连接AP ，在AP 左侧作等边APQ △，连接BQ ，若4AB =，请直接写出BQ 的最小值．。

浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知集合{}24A x x =<，{}41B x x =−<≤，则A B = （） A. {}2x x < B. {}21x x −<≤ C. {}41x x −<≤ D. {}42x x −<< 【答案】B【解析】【分析】先借助不等式求出集合A ，再运用交集的运算求A B ∩. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=−<<，则{}{}{}224121A B x x x x x x ∩=−<<∩−<≤=−<≤，故选：B .2. 记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得z ，再由z z =可得. 【详解】由()2i 24i z +=−得()()()()22224i 2i 24i i 2i 4i 41i i 2i 2i 802225i 1z −−−−−−+=++−====−+，所以2zz ==，故选：C. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（）A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74【答案】C【解析】【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.【详解】设甲中靶为事件A ，乙中靶为事件B ，()0.6,()0.7,P A P B ==则两人都中靶的概率为()()0.70.60.42P A P B ×=×=，两人都不中靶的概率为()()1()1()0.30.40.12P A P B −×−×，恰有一人中靶的概率为()()1()()()1()0.30.60.70.40.46P A P B P A P B −×+−=×+×=，至少一人中靶的概率为10.30.40.88−×=.故选：C4.已知向量1,2a b = ，若()()a b a b λµ++ ∥，则（）A. 1λµ=B. 1λµ=−C. 1λµ+=−D. 1λµ+=【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得.【详解】1122a b λλ+=+=+，1122a b µµµ+=+++由()()a b a b λµ++ ∥，则1122µµ+，化简得1λµ=.故选：A.5. 已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= ，则“//n m ”是“//n α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，平面ABCD ⊥平面11D C CD ，令平面ABCD 为α，平面11D C CD 为β，则平面ABCD 平面11,D C CDDC m DC αβ=== ， ①令AB n =，//AB CD ，即//n m ，但AB ⊂平面ABCD ，n ⊂α，故AB 不与平面ABCD 平行，即//n α不成立故//n m ⇒//n α，所以“//n m ”是“//n α”的不充分条件；②令11n B C =，11//B C 平面ABCD ，即//n α，但11B C DC ⊥，11B C 不与DC 平行，即//n m 不成立.故//n α⇒//n m ，所以“//n m ”是“//n α”的不必要条件；综上所述“//n m ”是“//n α”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（）A. 1,2727B. 10,27C. ()0,27D. ()27,+∞【答案】B【解析】【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为RR 上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为332log log 3x x <−，化简求解可得..【详解】()f x x x =，xx ∈RR ，则22,0(),0x x f x x x ≥= −<，作出函数()f x 的图象，可知()f x 是RR 上的增函数.又()()f x x x x x f x −=−−=−=−，()f x ∴是奇函数. 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<可化为()()332log 3log f x f x <−−，所以()()332log log 3f x f x <−，则332log log 3x x <−，即3log 3x <−，解得1027x <<，不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是10,27. 故选：B.7. 已知函数()π4f x x =+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（） A. π24π,3B. π5π,23C. 5π5π,63D. 2433ππ, 【答案】D【解析】【分析】根据π4x ≤+≤5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由此可得b a −的最大、最小值.【详解】由函数()π4f x x =+ 的值域为，得π4x ≤+≤，得1πsin 124x −≤+≤ ， 6π24π7ππ2π6k k x −≤≤++()k ∈Z ，得5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由()f x 定义域为[],a b ，所以max 11π5π4π()2π2π12123b a k k −=+−−= ()k ∈Z ， min 11π5π2π2π2π1212()23k k b a +−− −==()k ∈Z ，所以b a −的取值范围是2π4π,33. 故选：D.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1//A F 平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（）①二面角1F AD E −−的大小为常数②二面角1F D E A −−的大小为常数③二面角1F AE D −−的大小为常数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a，又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =−− ，设平面1AD E 的法向量为nn 1��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，又()1,0,AD a a =− ，,,02a AE a =−，则11100AD n AE n ⋅= ⋅= ，即1111002ax az a x ay −+= −+= ，令11x =，则112y =，11z =，即111,,12n =，又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅=，则0002a x a z a −++−=，解得0032a x z =−，因此可得003,,2a F z a z − ，100,,2a A F z a z a =−− ，设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =− ，00,,2a AF z a z =−，则21200AF n AD n ⋅= ⋅= ，即022*******a z x ay z z ax az −++= −+=，令21x =，则212y =−，21z =，即211,,12n =−，的又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E −−的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a =− ，()00,0,EF a z z =− ，则31300EF n D E n ⋅= ⋅= ，即()0303333002a z x z z a x ay az −+= +−= ，令31x =，则3012a y z =−，301a z z =−，即30011,,12a a n z z =−− ，因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A −−的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a =− ，00,,2a AF z a z =−，则4400AE n AF n ⋅= ⋅= ，即44044040202a x ay a z x ay z z −+= −++= ，令42x =，则41y =，3022a z z =−，即4022,1,2a n z =−，因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D −−的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（）A. 极差变大B. 中位数不变C. 平均数变小D. 方差变大【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定，故不妨设129103x x x x x ≤≤≤≤≤ ，由题意不妨取1105,10x x ==， A 项，原极差为1011055x x −=−=，去掉最高与最低分后，极差为921015x x x x −≤−=，所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A 项错误；B 项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B 项正确；C 项，由题意原平均数99110221571010i i i i x x x x x ==+++==∑∑，则9255i i x==∑，则去掉最高与最低分后，平均数变为9255788ii x==<∑，平均数变小，故C 正确； D 项，去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D 项错误.故选：BC.10. 已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，则下列命题中正确的是（）A. 若A B >，则cos cos A B <B.若π,1,6B b c ===，则π4C = C. 若O 是ABC 所在平面内的一点，且2−=+− OB OC OB OC OA ，则ABC 是直角三角形D. 若π,16B b ==，则AB AC ⋅ 的最大值是32【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理边角关系判断A ；利用正弦定理解三角形求角C 判断B ；由已知可得CB AB AC =+ ，由其几何意义可知CB 边上的中线长等于CB 的一半，即可判断C ；由余弦定理和基本不等式求出2≤+ac ，再由数量积的定义将AB AC ⋅ 的最大值转化为求ac 的最大值，由求解可判断D .【详解】对于A ，因为cos y x =在()0,π上单调递减，所以A B >，则cos cos A B <，故A 正确对于B ，由121sin sin 2c b C B ===，则sin C =，而5π06C <<，故π4C =或3π4，因为b c <，所以B C <，所以π4C =或3π4，故B 错误；对于C ，由OB OC CB −= 、OB OA AB −=，OC OA AC −= ，故CBAB AC =+ ，所以在ABC 中CB 边上的中线长等于CB 的一半，即ABC 是A 为直角的直角三角形，故C 正确.对于D，由余弦定理可得：222222cos 2b a c ac B a c ac =+−=+−≥−所以2ac ≤+，当且仅当a c =时取等，由已知cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅= ，由正弦定理可得：121sin sin 2a b A B ===，所以sin 2a A =，所以要求AB AC ⋅ 的最大值，则π0,2A∈，此时cos 0A >，所以cos A ，所以3cos 22bc A =≤+.故则AB AC ⋅ 32+，故D 错误. 故选：AC.11. 四面体ABCD 中，3,5,4AC BC AB BD CD =====，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ，当AD 变化时，则（）A. 当3AD =时，324π11S =B. 当四面体ABCD 体积最大时，28πS =C. S 可以是16πD. S 可以是100π【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，构造直角三角形求外接球的半径；B 选项，平面ABC ⊥平面BCD 时，构造直角三角形求外接球的半径；C 选项，由外接球半径的范围进行判断；D 选项，验证外接球的半径5R =是否成立.【详解】设四面体ABCD O ，半径为R ，当3AD =时，AC AD AB ==，则A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，由222BD BC CD =+，BCD △为直角三角形，外心1O 是BD 边的中点，1AO ⊥平面BCD ，1OO ⊥平面BCD ，1,,A O O 三点共线，1Rt ADO 中，1AO ，1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得22252R R + ，解得R =此时23244ππ11SR =，A 选项正确；当四面体ABCD 体积最大时，有平面ABC ⊥平面BCD ，设平面ABC 的外心为2O ，E 为BC 中点，连接21,,OO AE O E ，则2OO ⊥平面ABC ，由3AC BC AB ===，则=AE ，2AO =2EO =，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，又1OO ⊥平面BCD ，则有1//OO AE ，Rt BCD △中，CD BC ⊥，又1//CD O E ，则1O E BC ⊥，同理可得1O E ⊥平面ABC ，12//O E OO ，所以四边形12O EO O 为矩形，12OO EO ==1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得R =，此时24π28πSR =，B 选项正确；若16πS =，则外接球的半径为2R =，而BCD △的外接圆半径12.52r BD R ==>，所以这种情况不成立，C 选项错误；当5OB OC OD ===时，2222211575524OO OD O D =−=−=，2222117591244OE OO O E =+=+=，则22222222222291254OA OO AO OE EO AO =+=−+=−+=，即5OA =，四面体ABCD 外接球的半径5R =成立，此时100πS =，D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知幂函数()()257m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是______．【答案】2 【解析】【分析】根据函数()f x 为幂函数求出m 的值，再通过()f x 的图象关于y 轴对称来确定m 的值. 【详解】由()f x 为幂函数，则2571m m −+=，解得2m =，或3m =，当2m =时，()2f x x =，其图象关于y 轴对称，当3m =时，()3f x x =，其图象关于()0,0对称，因此2m =，故答案为：2.13. 已知1x >，1y >且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为______．【答案】81 【解析】【分析】根据对数的运算性质可得33log log 4x y ⋅=，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由1x >，1y >，则3log 0x >，log 30y >，3log 0y >，又3log 4log 3y x =，则3log 4log 3y x=，即33log log 4x y ⋅=，又33331log =log log 4lo 8g xy x y +==≥，当且仅当332log log x y ==，即9xy ==时，等号成立，所以可得81xy ≥，因此xy 的最小值为81. 故答案为：81.14. 在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______．【答案】135【解析】【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解.详解】取23CH CD =,由23AG AD =可得//,//GH AC EF AC ,故//HG EF ，故得截面为四边形EFHG ，14A EFHG A EFG A FHG G AEF F AGH G ABC F AGH V V V V V V V −−−−−−−=+=+=+12124333D ABC F ACD V V −−=×+×， 11215633218D ABC B ACD D ABC V V V −−−+××=, 121233A FHC A BCD D ABC V V V −−−=×=, 故1118A FHC A EFHG D ABC V V V −−−+=，故体积较大部分与体积较小部分的体积之比1111187718=，故答案为：117【四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知a ∈R ，()(){}20A x a x a x =++>，102x B xx−=≤ −．（1）当0a <时求集合A ；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{}2x x a −<<− （2）{2a a ≤−或}0a > 【解析】【分析】（1）当0a <时，解不等式()()20a x a x ++>，从而求出集合A ；（2）对a 进行分类讨论，求a 取不同值时的集合A ，再根据B A ⊆，即可求实数a 的取值范围. 【小问1详解】当0a <时，则0a −>，由不等式()()20a x a x ++>，解得2x a −<<−，即{}2Ax x a =−<<−；【小问2详解】由不等式102x x −≤−，则12x ≤<，即{}12B x x =≤<，当0a <时，由（1）知，{}2Ax x a =−<<−，又B A ⊆，则2−≥a ，即2a ≤−符合题意；当0a =时，A 为空集，又B A ⊆，显然不成立；当02a <<时，{2=<−A x x 或}x a >−，又B A ⊆，则<1a −，即1>−a ，故02a <<符合题意；当2a =时，{2=<−A x x 或}2x >−，显然B A ⊆，故2a =符合题意；当2a >时，{A x x a =<−或}2x >−，显然B A ⊆，故2a >符合题意；综上知，{2a a ≤−或}0a >.16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）0.68 （2）20； 20.32 （3）23.86 【解析】分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.小问1详解】由志愿者服务时间低于18小时的频率为(0.020.06)40.32+×=， 10.320.68−=，所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68. 【小问2详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++×=，解得0.07a =，估计平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32×+×+×+×+××=；【【【小问3详解】(0.020.060.075)40.62++×= ，(0.020.060.0750.07)40.9+++×=，由0.620.750.9<<，∴第75百分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86. 17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=−，且π5π,612α∈−，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k∈Z（2【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α−=−，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα−+角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x=+−−+11cos cos cos 22x x x x x =+−+ πcos 2sin 6x x x=+=+.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k∈∈Z 时，函数单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k∈Z ；【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），则得到函数π(2)2sin 26f x x=+的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，所以πππ()2sin 22sin 2666gx x x=−+=−. 若()65g α=−，则π6()2sin 265g αα =−=− ， π3sin 265α −=−. 由π5π,612α ∈−，得ππ2π2,623α −∈− ，又πsin 206α−< ，所以ππ2,062α −∈− ，则π4cos 265α −=，故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα=−+=−−−431552 =−−×=.故cos2α 18. 如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD °∠=∠=，且PB PD ⊥，（1）求证：BD PA ⊥；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．【答案】（1）证明见解析（2（3）【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接,AO PO ，证PO BD ⊥，AO BD ⊥，利用线面垂直的判定定理得BD ⊥平面APO ，再利用线面垂直的性质即可证得BD PA ⊥；（2）由（1）知BD ⊥平面APO ，利用面面垂直的判断定理可得平面APO ⊥平面ABCD ，则PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，再利用题中条件求,AO PO 的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，再利用题中条件求出四边形ABCD 的面积和四棱锥P ABCD −的高PM ，最后用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】取BD 中点O ，连接,AO PO ，由60PB PD APB APD PA PA °=∠=∠= =，则APB APD ≅△△，因此可得AB AD =，又O 为BD 中点，则在等腰ABD △和等腰BPD △中，可得PO BD ⊥，AO BD ⊥，又AO PO O = ，,AO PO ⊂平面APO ，BD ∴⊥平面APO ，又PA ⊂平面APO ，BD PA ∴⊥.【小问2详解】过P 作PM 垂直AO 的延长线于一点M ，由（1）知BD ⊥平面APO ，BD ⊂平面ABCD , 则平面APO ⊥平面ABCD ，又平面APO 平面ABCD AO =，PM ⊂平面APO ，PM AO ⊥,PM ∴⊥平面ABCD ，故PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，又在等腰直角BPD △中，4PB PD ==，则BD =，12BODO PO BD ==== 又在APB △中，2222212cos 64264282AB PA PB PA PB APB +−⋅∠+−×××，则AB AD ==在Rt AOB 中，AO ，则在APO △中，222cos 2PA AO PO PAO PA AO +−∠==⋅，因此可得sin PAO ∠即直线PA 与平面ABCD【小问3详解】由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，在Rt PAM 中，sin 6PM AP PAO =⋅∠=cos 6AM AP PAO =⋅∠，在Rt PMC △中，CM又AC AM CM =+=+=, 又四边形ABCD 的面积()111222ABD CBD S S S BD AO BD CO BD AO CO =+=⋅+⋅=+ 1122BD AC =⋅=×, 又（2）知PM ⊥平面ABCD ，故PM 为四棱锥P ABCD −的高，所以四棱锥P ABCD −的体积1133V S PM =⋅=× 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明BD ⊥平面APO ，再利用面面垂直的判定定理证平面APO ⊥平面ABCD ，最后根据平面PAC 与平面ABCD 垂直，确定,,,A O M C 四点共线，考查了线面垂直，面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题.19. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”．设()()281616log log ,f x x g x ax m x ax==+−．（1）判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，求m 的值；（3）当1a >时，设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在()0,∞+上有两个零点12,x x ，证明：1216<x x ．【答案】（1）()f x 是“反比例对称函数”，理由见解析；（2）443m = （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可；（2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可.（3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k 时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可.【小问1详解】()2816log ?log f x x x=是“反比例对称函数”，理由如下：由题可知()282216116log ?log log ?log 3f x x x x x ==，可知2216116log ?log 3f x x x =所以()16f x f x =，故()f x 是“反比例对称函数”.【小问2详解】由题可知，0x >，此时()16g x x m x=+−，因为函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()()0f x g x −=有一个解，得22221161616116log log 0log log 33x x m m x x x x x x−−+=⇒=+− ，令()2216116log ?log 3H x x x x x =+−，得()m H x =仅有一个解，显然()221616116log ?log 3H x x H x x xx +− ，因为()m H x =，则有16m H x =，要使()m H x =仅有一个解，只需164xx x⇒，或4x =−（舍）所以()4443m H ==. 【小问3详解】不妨先设1a =，由题可知()2211616log ?log 3h x x x m x x =−−+，显然()221616116log ?log 3h x x m h x x xx +−+ ，已知ℎ(xx )有两个零点，12,x x ，则两个零点满足1216x x =，此时1216x x =，即，函数()2816log ?log f x x x =与函数()16g x x m x=+−，的两个交点横坐标满足1216x x =；可知()()228221641log ?log log log 33f x x x x x ==−利用复合函数单调性可知，当()0,4x ∈时，()f x 单调递增；()4,x ∞∈+时，()f x 单调递减；由对勾函数性质可知()16g x x m x=+− ，在()0,4x ∈时，此时()g x 单调递减；在()4,x ∞∈+时，此时()x 单调递増；得两函数示意图当1a >，此时()16g x ax m ax =+−，相当于函数()()1616g x x m g ax ax m x ax=+−⇒=+−，故所有的横坐标缩小为原来的1a 倍；故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故1216<x x .层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系.。

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试数学含答案

2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．倾斜角为120°的直线经过点(和()3,a ，则a =（）A．0 B ．C D 2．向量()2,1,2a =-r ，()4,2,b x =-r ，a b ⊥r r ，则2a b +=r r （）A ．9B ．3C ．1D ．3．已知椭圆C ：2211x y m m +=+的离心率为12，则m =（） A ．13B ．1C ．3D ．44．已知0a >，0b >，直线(1)10a x y -+-=和210x by ++=垂直，则21a b+的最小值为（）A ．16B ．8C ．4D ．25．若F 为椭圆22:197x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上一动点，()M ，则MFP V 周长的最大值为（）A ．4B ．6C ．7D ．106．若椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，左顶点为A ，点P ，Q 为C 上任意两点且关于y 轴对称，则直线AP 和直线AQ 的斜率之积为（） A ．14B ．12C ．34D ．457．过直线l ：3410x y +-=上一点P 作圆M ：22(4)1x y +-=的两条切线，切点分别是A ，B ，则四边形MAPB 的面积最小值是（）A ．1B C ．2D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y 交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（）AB C D二、多选题9．已知圆()2222212:1,:(3)(3)0C x y C x y r r +=-+-=>，则下列说法正确的是（）A ．当1r =时，圆1C 与圆2C 有2条公切线B ．当2r =时，1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线 C ．当3r =时，圆1C 与圆2C 相交D ．当4r =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+10．已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，121cos 2F PF ∠=，则下列结论正确的是（）A ．△F 1PF 2的周长为16B ．12F PF S =VC ．点P 到xD ．1283PF PF ⋅=u u u r u u u u r11．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，且1AA =P 是线段1BD 上一点（包含端点），Q 在四边形11ADD A 内运动（包含边界），则下列说法正确的是（）A ．该四棱柱能装下球的最大半径是1B ．点P 到直线11A BC ．若P 为1BD 中点，且AQ CP ⊥，则Q D ．PC PQ +的最小值是3三、填空题12．若2()1,M -为圆22:(1)16C x y +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为 .14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF V 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c sin cos2A a a B =- (1)求角B ；(2)已知ABC V 的面积为ABC V 的周长．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，E ，F 分别为AB ，1AC 的中点.(1)证明://EF 平面11AA D D ； (2)求点1C 到平面1ACE 的距离. 17．已知圆22:6490C x y x y ++-+=，A 是圆C 上一动点，点(3,0)B ，M 为线段AB 的中点．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记M 的轨迹为曲线E ，过点(1,3)N 的点线l 与曲线E 有且只有一个交点，求直线l 的方程． 18．如图1，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，142AD DC CB AB ====，点M 在AB 上，AM MB =，将ADM △沿DM 折起至A DM 'V ，如图2，点N 在线段A C '上．(1)若2A C NC '=，求证：平面DNM ⊥平面A BC '；(2)若AC '=DNM 与平面CDM A N A C ''值．19．定义:若点（x 0，y 0），（x 0’，y 0’）在椭圆M :22221x y a b +=（a >b > 0）上，并满足''0000221x x y y a b +=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点（x 0，y 0）关于M 的一个共轭点为（x 0’，y 0’）.已知点A （2，1）在椭圆M :22163x y +=上，O 是坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标:(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ →∥OA →，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。

开学初中考试数学试卷

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，是整数的是（）A. 3.14B. 2.5C. 3.0D. 32. 已知a、b、c是三个整数，且a+b+c=0，那么下列结论一定正确的是（）A. a、b、c都是正数B. a、b、c都是负数C. a、b、c中有两个正数和一个负数D. a、b、c中有两个负数和一个正数3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 矩形4. 一个长方形的长是6cm，宽是4cm，它的周长是（）A. 20cmB. 24cmC. 28cmD. 30cm5. 若x²-5x+6=0，则x的值为（）A. 2或3B. 1或4C. 1或5D. 2或66. 下列代数式中，同类项的是（）A. 3a²bB. 4ab²C. 5a²bD. 2a²7. 若a、b是方程2x²-3x+1=0的两个根，则a²+b²的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 28. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（）A. （2，-3）B. （-2，3）C. （2，-3）D. （-2，-3）9. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=2x+3B. y=x²C. y=3/xD. y=2x³10. 已知一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 22cmB. 24cmC. 26cmD. 28cm二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a=5，b=-3，那么a²+b²的值为______。

12. 在直角坐标系中，点P（-2，4）到原点O的距离是______。

13. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为8cm，那么这个三角形的面积是______cm²。

14. 若x²-6x+9=0，则x的值为______。

开学考试初二数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. 2.5D. √42. 下列各式中，正确的是（）A. 3x = 9B. 2x + 3 = 5C. 2x = 5 + 3D. 2x = 5x3. 下列各式中，x = 3是方程的解的是（）A. 2x + 1 = 7B. x - 3 = 2C. 3x + 2 = 10D. 4x - 1 = 94. 下列各式中，是二次根式的是（）A. √9B. √16C. √-9D. √45. 下列各式中，是同类二次根式的是（）A. √18 和√24B. √12 和√27C. √36 和√81D. √48 和√646. 下列各式中，x的值是2的是（）A. 2x + 3 = 11B. 3x - 4 = 5C. 4x + 1 = 9D. 5x - 2 = 77. 下列各式中，x的值是-1的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 1 = 9D. 5x - 2 = 78. 下列各式中，a和b是同类二次根式的是（）A. a√3和b√5B. a√2 和b√4C. a√6 和b√9D. a√8 和b√129. 下列各式中，方程的解是x = 3的是（）A. 2x + 1 = 7B. 3x - 4 = 2C. 4x + 1 = 9D. 5x - 2 = 710. 下列各式中，方程的解是x = -2的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 1 = 9D. 5x - 2 = 7二、填空题（每题5分，共50分）11. 2x + 3 = 11的解是______。

12. 3x - 4 = 5的解是______。

13. 4x + 1 = 9的解是______。

14. 5x - 2 = 7的解是______。

15. 2x = 5 + 3的解是______。

16. 2x + 3 = 5的解是______。

开学考试初中数学试卷答案

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，有理数是：（）A. √3B. πC. -1/2D. 0.1010010001…（循环小数）答案：C2. 下列代数式中，单项式是：（）A. 2x + 3yB. 3x^2 - 5xy + 2y^2C. 4xy^3D. 5x + 2y - 3z答案：C3. 如果a = -3，b = 2，那么a^2 - b^2的值是：（）A. -7B. 7C. -5D. 5答案：B4. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点是：（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （-4，3）D. （2，-3）答案：A5. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边长是：（）A. 5B. 7C. 8D. 9答案：A6. 下列函数中，是反比例函数的是：（）A. y = 2x + 1B. y = 3/xC. y = x^2D. y = 5答案：B7. 下列图形中，不是平行四边形的是：（）A. 矩形B. 正方形C. 菱形D. 梯形答案：D8. 下列方程中，无解的是：（）A. 2x + 3 = 7B. 5x - 2 = 3C. 3x + 4 = 0D. 4x - 2 = 0答案：C9. 下列不等式中，正确的是：（）A. 3x < 9B. 2x > 4C. 5x ≤ 10D. 4x ≥ 16答案：C10. 下列几何图形中，不是多边形的是：（）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 圆答案：D二、填空题（每题3分，共30分）1. 若a + b = 5，a - b = 1，则a = ______，b = ______。

答案：3，22. （-2）^3 = ______，(-3)^2 = ______。

答案：-8，93. √(25) = ______，√(64) = ______。

答案：5，84. 若x + 2 = 0，则x = ______。

答案：-25. 若2x - 5 = 0，则x = ______。

2024年广东省深圳市外国语学校七年级上学期开学考数学试题

2024学年深圳外国语学校初一数学入学考试试卷一、精心选一选(本大题共10个小题，每小题2分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 把答案写在相应表格内)1. 角的两条边是 ( )A、斜线B、线段C、射线D、直线2. 图上1厘米，表示实际5米，这副图的比例尺 ( )A、 1: 5B、1: 50C、1: 500D、1: 50003.35的分子增加12，要使分数的大小不变，分母应增加 (A、12B、25C、20D、304. 若一根绳子的长度等于它本身34加34米，则这根绳子全长是 ( )米A、2B、3C、4D、55. 用一个放大5倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是( )A、30度B、150度C、60度D、不能确定6. 一个圆柱体的侧面展开图是一个正方形。

这个圆柱底面直径与高的比是 ( )A、 1 :πB、1:2πC、1: 4πD、2 :π7. 按规律1, 8, 27, ( ), 125, 括号中的数应为( )A、30B、64C、80D、1008. 王刚同学是某校2003年入学的，他在四班，学号是15，如果用6位数字给他编学籍号，下面比较实用的是 ( )A、200304B、040315C、030415D、1504039. 池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经13天就可长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘需要的天数为( )A、6B、7C、10D、 1210. 下面的图形中，属于正方体的表面展开图的是 ( )二、认真填一填. (每题2分，共20分. 把答案写在相应表格内)11、5时15分 = 时, 4 吨90千克= 吨12、在1.606 、23、166%中最大的数是，最小的数是13、四千五百万零七百写作，改写成以“万”做单位的数是万.14、我国已成功申办2008年的第29届奥运会。

按每4年一次，第50届奥运会将在年举行，这一年共有天.15、如右图，平行四边形面积是54cm²，则阴影部分面积是 cm².16、将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的方法?17、初中部有教师120人，老、中、青教师的人数比是1 ：3：4，有中年教师人.18、某商品的利润率是20%，如果进货价降低20%，售出价保持不变，那么利润率将要提高。

重庆市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题(原卷版)

D 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若随机变量，且，则 ________.
14.二项式展开式的常数项是__________.
15.已知函数满足，若在其定义域内单调递减，则正实数m的取值范围为_________.
16.已知函数定义域为，，且满足，其中为的导函数，若不等式恒成立，则正实数的最小值为_________.
（1）求的单调区间；
（2）对任意实数均有成立，求实数的取值范围.
20.甲、乙两人轮流投篮，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投球次时投篮结束，其中为给定正整数.设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）当时，求甲获胜的概率；
（2）设投篮结束时甲恰好投篮次，求的数学期望 .（答案用含的最简式子表示）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合的真子集个数为（）
A.7B.8C.15D.16
2.已知符号函数则“ ”是“ ”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.已知函数，则（）
A. D.6
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知正方体的棱长为2，设分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角平面角的余弦值.
18.设等差数列的前项之和为，且满足： .
（1）求的通项公式；
（2）设，求证： .
19.已知、分别为定义域为的偶函数和奇函数，且 .
21.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，设为坐标原点，线段的中点为，且满足 .

重庆市2025届高三上学期开学考试数学试题含答案

重庆高2025届高三上开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|22}A x x =+≤，2{|23}B x x x =+≤，{|C x x A =∈且}x B ∉，则集合C =（）A.∅B.[)4,3-- C.(]4,3-- D.[)0,1【答案】B 【解析】【分析】解出绝对值不等式与一元二次不等式后，再结合集合的性质即可得.【详解】由22x +≤可得222x -≤+≤，即40x -≤≤，故{|40}A x x =-≤≤，由223x x +≤可得()()310x x +-≤，即31x -≤≤，故{|31}B x x =-≤≤，由{|C x x A =∈且}x B ∉，故[)4,3C =--.故选：B.2.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以OA ，OB为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与x 轴、y 轴均相切，A ，B 两点间的曲线可近似看成函数()f x的图象，()f x 有导函数()f x '，为了让雨水最快排出，()f x 需要满足螺旋线方程()f x ='，其中a ，b 为常数，则（）A.0a >，0b >B.0a >，0b <C.a<0，0b >D.a<0，0b <【答案】D 【解析】【分析】利用函数图象的变化关系可得()0f x '<，再结合曲线与y 轴相切的特征推理即可得解.【详解】观察图象知，函数()f x 单调递减，即()0f x '<，于是a<0，而函数图象与y 轴相切，则x 从大于0的方向趋于0时，()f x '趋于负无穷大，也即1(0)bf +趋于0，又(0)0f >，因此0b <，所以a<0，0b <.故选：D3.使得“函数()f x =在区间[]1,1-上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（）A.1a ≤-B.03a <≤ C.30a -≤< D.31a -<<-【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数()f x =a 的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件.【详解】解：令()272t x ax x =+-，()0)f t t =≥，因为y 在定义域上单调递增，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，则()272t x ax x =+-在[]1,1-上单调递减且()0t x ≥恒成立，所以()2121620at a ⎧-≤-⎪-⎨⎪=+≥⎩，解得31a -≤≤-，因为()3,1--[]3,1--，所以使31a -≤≤-成立的一个充分不必要条件为31a -<<-.故选：D4.已知直线:10l x ay --=与22:2440C x y x y +-+-= 交于,A B 两点，设弦AB 的中点为,M O 为坐标原点，则OM 的取值范围为（）A.3⎡+⎣B.1⎤-+⎦C.22⎡-+⎣D.1⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设1,1，2,2，()00,M x y ，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到()()2200111x y -++=，从而求出动点M 的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出OM 的取值范围.【详解】22:2440C x y x y +-+-= 即()()22129x y -++=，则圆心为()1,2C -，半径3r =，直线:10l x ay --=，令100x y -=⎧⎨-=⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过定点1,0，又()()22110249-++=<，所以点1,0在圆内，设1,1，2,2，()00,M x y ，由22102440x ay x y x y --=⎧⎨+-+-=⎩，消去x 整理得()221450a y y ++-=，显然0∆>，则12241y y a +=-+，则()21212224221a a x x a y y a -++=++=+，所以21222121x x a a a +-+=+，122221y y a +=-+，则212022121x x a a x a +-+==+，1202221y y y a +==-+则()()2222200222111111a a x y a a ⎛⎫--⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又直线:10l x ay --=的斜率不为0，所以M 不过点1,0，所以动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=（除点1,0外），圆()()22111x y -++=的圆心为()1,1N -，半径11r =，又ON ==，所以11ON r OM ON r -≤≤+，11OM -≤≤，即OM的取值范围为1⎤-+⎦.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点M 的轨迹，再求出圆心到原点的距离ON ，最后根据圆的几何性质计算可得.5.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +-=，当()1,1x ∈-时，()2log 11a f x b x ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭，则202313k k f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A.0B.1C.1- D.2023【答案】B 【解析】【分析】根据()0011022f f f ⎧=⎪⎨⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可求出a 、b 的值，分析可知函数()f x 是周期为2的周期函数，计算出13f ⎛⎫⎪⎝⎭、()1f 的值，结合函数周期性和奇偶性的性质可求得202313k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()1,1x ∈-时，()2log 11a f x b x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，由()()20log 10f a b =-+=，①且()222211248log 21log 1log 12022333a a a f f a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-++-+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①②可得()222248log 1log 133a a a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，整理可得220102102103a a a a a ⎧-=⎪->⎪⎪⎨->⎪⎪->⎪⎩，解得2a =，此时，()20log 10f b =+=，可得0b =，故当()1,1x ∈-时，()2221log 1log 11x f x x x +⎛⎫=-=⎪--⎝⎭，()()2211log log 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，合乎题意，因为()()20f x f x +-=，则()()()22f x f x f x =--=-，所以，函数()f x 是周期为2的周期函数，所以，221113log log 211313f +⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，在等式()()20f x f x +-=中，令1x =可得()210f =，可得()10f =，()()()()12451221121033333333f f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0=，因此，62023112023133713333k k k k f f f f ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.故选：B.6.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x xx =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据已知可求得()2fx xx =-+，从而可求得函数()f x 的解析式，令()()210g x xf x x=-=，可得()1f x x =，即2211,013,0x x xx x x ⎧-=>⎪⎪⎨⎪+=<⎪⎩，构造函数并画出函数图象，结合图象即可得解.【详解】解：因为()()22f x f x xx =+-，所以()()()2222f x f x xx f x x x =+-=+-，所以()2fx xx =-+，所以()()2222,0223,0x x x f x f x x x x x x x x x ⎧-+≥=+-=-+-=⎨--<⎩，由()()210g x xfx x=-=，得()221f x x =，即()1f x x =，即2211,013,0x x x x x x ⎧-=>⎪⎪⎨⎪+=<⎪⎩，如图，画出函数1,03,0x x y x x ⎧->⎪=⎨+<⎪⎩和21y x =的图象，当1x =-时，()21132,11-+==-，由图可知函数1,03,0x x y x x ⎧->⎪=⎨+<⎪⎩和21y x =的图象右4个交点，即函数()()21g x xf x x=-有4个零点.故选：B.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了利用数形结合思想求函数的零点的个数，考查了数形结合思想和转化思想，有一定的难度.7.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*,()m n m n ∈>N 均有22m n m n m n a a a a +-+=+.记{}n a 的前n 项和为n S ，则7S =（）A.28B.140C.256D.784【答案】B 【解析】【分析】令1n =，得到11(())2m m m m a a a a +---=-，令1m m m b a a +=-，求得12m m b b --=，得出{}m b 为等差数列，求得1223m m a a m a +=--+，利用累加法求得22(2)(1)m a m m a -+-=，再令3,2m n ==，得到513222a a a a +=+，求得24a =，得出2m a m =，即可求解.【详解】由数列满足11a =，且22m n m n m n a a a a +-+=+，令1n =，可得1112222m m m m a a a a a +-+=++=，即11(())2m m m m a a a a +---=-，再令1m m m b a a +=-，可得12m m b b --=，即数列{}m b 是公差为2的等差数列，又由12121b a a a =--=，可得223m b m a =-+，即1223m m a a m a +=--+，又由22211321()()((2)()1)m m m a a a a a a a a m m a -=+-+-++--=+- 即22(2)(1)m a m m a -+-=，所以3212a a =+及5294a a =+，令3,2m n ==，可得513222a a a a +=+，代入可得222942121(2)a a a ++=++，解得24a =，所以22(2)(1)4m m a m m -⨯-=+=，即数列的通项公式为2n a n =，所以222222271234567140S =++++++=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明数列{}m b 是公差为2的等差数列，再结合累加法并求出24a =，从而得到2n a n =，最后计算7S 即可.8.将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（）A.()27132C B.7713142C C C.6714142C C D.()27142C 【答案】B【解析】【分析】分析可得甲组的中位数为14或15，分别求出甲组的中位数为14、15时的分组方法，即可得解.【详解】因为甲组、乙组均为15个数，则其中位数为从小到大排列的第8个数，即小于中位数的有7个数，大于中位数的也有7个数，依题意可得甲组的中位数为14或15，若甲组的中位数为14，则乙组的中位数为16，此时从113 中选7个数放到甲组，剩下的6个数放到乙组，再从1730 中选7个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有771314C C 种分组方法；若甲组的中位数为15，则乙组的中位数为17，此时从114 中选7个数放到甲组，剩下的7个数放到乙组，再从1830 中选7个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有771413C C 种分组方法；若甲组的中位数为16，则乙组的中位数为18，此时甲组中小于16的数有7个、乙组中小于18的数有7个，从而得到小18的数一共只有77115++=个，显然不符合题意，故舍去，同理可得，甲组的中位数不能大于15；若甲组的中位数为13，则乙组的中位数为15，此时甲组中小于13的数有7个、乙组中小于15的数有7个，从而得到小15的数一共只有77115++=个，显然不符合题意，故舍去，同理可得，甲组的中位数不能小于14；综上可得不同的分组方法数是7713142C C 种.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是得到甲组的中位数为14或15再分类分别计算可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数()()1f x f x =，()()1n n f x f f x +⎡⎤=⎣⎦，n *∈N ，则下列函数中满足，()3f x 与()f x 值域相同的是（）A.()e =x f xB.()ln f x x= C.()21f x x =- D.()1f x x x=+【答案】BC 【解析】【分析】分别求出选项中()3f x 与()f x 的值域即可得到答案.【详解】对选项A ，()()1e 0,x f x ∞=∈+，()()e2e 1,xf x ∞=∈+，()()e e 3e e,xf x ∞=∈+，故A 错误.对选项B ，()1ln f x x R =∈，()()2ln ln f x x R =∈，()()3ln ln ln f x x R =∈⎡⎤⎣⎦，故B 正确.对选项C ，()()2111,f x x =-∈-+∞，()()()22111,f x f x =-∈-+∞⎡⎤⎣⎦，()()()23211,f x f x =-∈-+∞⎡⎤⎣⎦，故C 正确.对选项D ，()()()112,,2f x x x =+∈+∞-∞- ，()()()211155,,22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+∈+∞-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()32212929,,1010f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+∈+∞-∞- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC10.在信道内传输,,M N P 信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为()01αα<<，收到其他两个信号的概率均为12α-．若输入四个相同的信号,,MMMM NNNN PPPP 的概率分别为123,,p p p ，且1231p p p ++=．记事件111,,M N P 分别表示“输入MMMM ”“输入NNNN ”“输入PPPP ”，事件D 表示“依次输出MNPM ”，则（）A.若输入信号MMMM ，则输出的信号只有两个M 的概率为()221αα-B.()22112P D M αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3112P D P αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()()1112311p P M D p ααα=-+-【答案】BCD 【解析】【分析】由独立事件的乘法公式可得A 错误；由条件概率公式可得BC 正确；全概率的应用，先求出()3112P D N αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据()2332123111222P D p p p αααααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭和()()()()()()1111P D M P M P M D P M D P D P D ⋅==化简得到D 正确.【详解】A ：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为()01αα<<，收到其他两个信号的概率均为12α-，即收到的信号字母变的概率为1α-，且信号的传输相互独立，所以输入信号MMMM ，则输出的信号只有两个M 的概率为()()222224C 611αααα--=，故A 错误；B ：因为()()()2221121111122p P DM P D M P M p αααα-⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭，故B 正确；C ：()()()33311131122p P DP P D P P P p αααα-⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：因为()()()33211121122p P DN P D N P N p αααα-⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭，而2332123111()222P D p p p αααααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23221111111111222p p p p ααααααααα----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2111113*********p p p p p ααααααααααα-+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2131112p ααααα⎡⎤-+--⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()()()()()()()221111112p P D M P M P M D P M D P D P D P D αα-⎛⎫⋅ ⎪⋅⎝⎭===()()221121112231131112p p p p αααααααααα-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭==-+-⎡⎤-+--⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式()()()|P AB P B A P A =和全概率公式()()()1|ni i i P A P B P A B ==∑.11.在平面直角坐标系中，将函数()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转(090)αα<︒≤后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.那么（）A.存在90︒旋转函数B.80︒旋转函数一定是70︒旋转函数C.若1()g x ax x=+为45︒旋转函数，则1a =D.若()ex bx h x =为45︒旋转函数，则2e 0b -≤≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，举例说明即可；对B ，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD ，将45︒旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.【详解】对A ，如y x =满足条件，故A 正确；对B ，如倾斜角为20︒的直线是80︒旋转函数，不是70︒旋转函数，故B 错误；对C ，若1()g x ax x =+为45︒旋转函数，则根据函数的性质可得，1()g x ax x=+逆时针旋转45︒后，不存在与x 轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45︒的直线与1()g x ax x=+的函数图象有两个交点.即()R y x b b =+∈与1()g x ax x =+至多1个交点.联立1y ax x y x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩可得()2110a x bx --+=.当1a =时，10bx -+=最多1个解，满足题意；当1a ≠时，()2110a x bx --+=的判别式()2Δ41b a =--，对任意的a ，都存在b 使得判别式大于0，不满足题意，故1a =.故C 正确；对D ，同C ，()e x bxh x =与()R y x a a =+∈的交点个数小于等于1，即对任意的a ，e xbx a x =-至多1个解，故()e x bxg x x =-为单调函数，即()()11e xb x g x -=-'为非正或非负函数.又()11g '=-，故()110e xb x --≤，即()e 1xb x ≥--恒成立.即e x y =图象在()1y b x =--上方，故0b -≥，即0b ≤.当e x y =与()1y b x =--相切时，可设切点()0,ex x ，对e x y =求导有e x y '=，故000ee 1x x x =-，解得02x =，此时02e e x b =-=-，故2e 0b -≤≤.故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若不等式()3ax a b x a x ++-≤对[]1,2x ∈恒成立，则8a b +的最大值为__________.【答案】3【解析】【分析】先将不等式变形为2111a x b x ⎛⎫+-+≤ ⎪⎝⎭，再把211x x+-看成整体求解函数的值域，由不等式恒成立可得关于,a b 的不等关系，再利用不等关系表达所求式8a b +，并求其范围探究最值即可.【详解】由()3ax a b x a x ++-≤，可得2111a x b x ⎛⎫+-+≤ ⎪⎝⎭.令[]21()1,1,2f x x x x=+-∈，则()f x 在1,2上单调递增，所以21911,2x x ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，由2111a x b x ⎛⎫+-+≤ ⎪⎝⎭对[]1,2x ∈恒成立，所以911,112a b a b -≤+≤-≤+≤，则1()1a b -≤-+≤，故()98232a b a b a b ⎛⎫+=+-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当912()1a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，即411,77a b ==-时，等号成立，故8a b +的最大值为3.故答案为：3.13.有1000张从1开始依次编号的多米诺骨牌，从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是______号．【答案】512【解析】【分析】根据题设，依次写出每次去掉奇数位后的余项，即可得结果.【详解】第一次：余下编号2,4,6,8,10,...,998,1000，编号为*2,N k k ∈，共500项；第二次：余下编号4,8,12,16,...,996,1000，编号为*4,N k k ∈，共250项；第三次：余下编号8,16,24,32,...,992,1000，编号为*8,N k k ∈，共125项；第四次：余下编号16,32,48,64,...,976,992，编号为*16,N k k ∈，共62项；第五次：余下编号32,64,96,128,...,960,992，编号为*32,N k k ∈，共31项；第六次：余下编号64,128,192,256,...,896,960，编号为*64,N k k ∈，共15项；第七次：余下编号128,256,384,512,640,768,896，编号为*128,N k k ∈，共7项；第八次：余下编号256,512,768，编号为*256,N k k ∈，共3项；第九次：余下编号512，编号为*512,N k k ∈，共1项；综上，最后剩下512.故答案为：51214.《扫雷》是一款益智类的小游戏，游戏要求玩家在方格中点击若干次，排除所有无雷的格子即算成功.方格中的数字代表其周围8格的地雷数.现有如图所示的55⨯方格阵，有4个方格已经被点开，则图中地雷数的可能取值有______种；若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有______种.【答案】①.7②.46【解析】【分析】记ij a 为第i 行，第j 列格子，1,2,3,4,5i =，1,2,3,4,5j =，按照33a 中是地雷和33a 中不是地雷分两种情况讨论，再按照公共地雷的个数进行讨论可求出第一个空的答案；第二个空按照公共地雷个数为2和5分别计数，再相加可得解.【详解】记ij a 为第i 行，第j 列格子，1,2,3,4,5i =，1,2,3,4,5j =，4332当33a 中是地雷时，若其余无公共地雷时，图中地雷数为433239+++-=；若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为4332318+++--=；若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为4332327+++--=；若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为4332336+++--=；若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为4332345+++--=；当33a 中不是地雷时，若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为4332111+++-=；若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为4332210+++-=；若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为433239+++-=；若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为433248+++-=；若其余有且只有五个公共地雷时，图中地雷数为433257+++-=；若其余有且只有六个公共地雷时，图中地雷数为433266+++-=；综上所述：图中地雷数可能取5,6,7,8,9,10,11共7个值.若已知图中共有7个地雷，由以上分析可知，共分两类：第一类：当33a 中是地雷时，其余有且只有二个公共地雷，共有2284C C 28622-=-=种；第二类：当33a 中不是地雷时，其余有且只有五个公共地雷，共有41211124422222C C 2C C (C C C )24⋅++=，所以若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有222446+=种.故答案为：7；46.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()()()log log 2m m f x x m x m =-+-（0m >且1m ≠）.（1）若对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，是否存在5,2m αβ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭，，使()f x 在区间[],αβ上的值域是[]log ,log m m βα？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，说明理由.【答案】（1）112m ≤<（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数性质求得()f x 在[3,4]m m 上的最大值max ()f x ，由max ()1f x ≤计算即可得；（2）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在5,2m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解即可得．【小问1详解】对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，等价于max ()1f x ≤，∵()()()()22log 2log 32([3,4])m m f x x m x m x mx m x m m ⎡⎤=--=-+∈⎣⎦，设[]()22223323,424m t x mx m x m x m m ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭，则t 在[3,4]m m 上是增函数，下面按照log m y t =的单调性分类讨论：当01m <<时，()f x 在[3,4]m m 上递减，则()()()2max 3log 21m f x f m m ==≤，解得112m ≤<，当1m >时，()f x 在[3,4]m m 上递增，则()()()2max 4log 61m f x f m m ==≤，解得106m <≤与1m >矛盾，故舍去；综上，112m ≤<.【小问2详解】∵112m ≤<，∴()f x 在5,2m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上递减，∴()()log log m m f f ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()22a m a m m m αβββ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，即关于x 方程()()2x m x m x --=在5,2m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上有两个不等的实根，设()()()()222312h x x m x m x x m x m =---=-++，则12≤<1Δ=3+12−82>03r152ℎ>0，即12≤<12+6+1>0<12>103m ⇒∈∅．综上，不存在这样的α，β满足条件.16.已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=+++⋅⋅⋅+，其中R λ∈，n ∈N .（1）若8n =，71024a =，求()0,1,2,3,8i a i =⋅⋅⋅的最大值；（2）若2λ=，求nrr ra=∑；（用n 表示）（3）若1λ=-，求0C ()n k knn k k k x f x n-=∑【答案】（1）1792（2）1023nn rr ran -==⋅∑（3）()0C n k knn k k k x f x x n-==∑【解析】【分析】（1）由二项式定理求得7a ，从而求得λ，然后设最大t a ，解不等式组11t t tt a a a a -+≥⎧⎨≥⎩求解；（2）由题意可得()012nnrrr x a x=+=∑，两边求导，令1x =可得解；（3）用()n f x 写出等式左边的和式，然后由组合数公式11C C kk n n k n--⋅=化简变形后再由二项式定理可得．【小问1详解】()()828801281f x x a a x a x a x λ=+=++++ ，7778C 10242a λλ==⇒=，不妨设i a 中()0,1,2,3,,8t a t = ，则11188111886C 2C 25C 2C 2t t t t t t t t t t t t a a t a a t ---+++≥⎧≤≥⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨≥≥≥⎩⎩⎩，则5t =或6，i a 中的最大值为55665688C 2C 21792a a ====.【小问2详解】若2λ=，()012nnrr r x a x =+=∑，两边求导得()110212nn r r r n x ra x --=+=∑，令1x =得，1023nn rr ran -==⋅∑.【小问3详解】若1λ=-，()()1nn f x x =-，()0C nk knn k k k x f x n-=∑()()()()120001122012C 1C 1C 1C 1n n n n n nn n n n x x x x x x x x n n n n--=-+-+-++- ，因为()()()()1!!C !!1!!knn k n k n k n k n k n k -=⋅=⋅--⋅-()()()()111!C 1!11!k n n k n k ---==⎡⎤-⋅---⎣⎦，所以()()()()120011211110C 0C 1C 1C 1nn n k k n nnn k n n n k k x f x x x x x x x n-------==+-+-++-∑ ()()()120001111111C 1C 1C 1n n n n n n n x x x x x x x -------⎡⎤=-+-++-⎣⎦()11n x x x x -⎡⎤=+-=⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题第三问，解题的关键是利用组合数公式将C knk n化简为11C k n --.17.已知O 为坐标原点，经过点()4,0的直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B （A ，B 异于点O ）两点，且以AB 为直径的圆过点O .（1）求C 的方程；（2）已知M ，N ，P 是C 上的三点，若MNP △为正三角形，Q 为MNP △的中心，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =（2）12.【解析】【分析】（1）根据题意，联立直线与抛物线方程，由OA OB ⊥代入计算，即可得到抛物线方程；（2）根据题意，分MNP △有一边斜率不存在与MNP △三边的斜率都存在讨论，分别表示出,MN MP k k ，结合60NMP ∠=︒代入计算，结合基本不等式即可得到直线OQ 斜率的最大值.【小问1详解】设(),A A A x y ，(),B B B x y ，:4l x my =+，联立方程24,2,x my y px =+⎧⎨=⎩得2280y pmy p --=，则2A B y y pm +=，8A B y y p =-.因为以AB 为直径的圆过点O ，所以OA OB ⊥，则0A B A B x x y y +=，即22022A BA B y y y y p p⋅+=，解得24A B y y p =-，所以248p p -=-，解得2p =，所以C 的方程为24y x =.【小问2详解】设1,1，2,2，()33,P x y .不妨设N ，M ，P 按逆时针顺序排列.①当MNP △有一边斜率不存在时，另一顶点为()0,0，不妨设()0,0P，则:3MP l yx =，:3NP l y x =-.与抛物线C 的方程联立得(12,M ，(12,N -，中心()8,0Q .②当MNP △三边的斜率都存在时，1212124MN y y k x x y y -==-+，134MP k y y =+.又60NMP ∠=︒，所以1213121344tan 60441y y y y y y y y -++=︒=+⋅++化简可得()()()321213416y y y y y y ⎡⎤-=+++⎣⎦，同理可得()()()213132416y y y y y y ⎤-=+++⎦，()()()132321416y y y y y y ⎡⎤-=+++⎣⎦，三式相加得()2221231223310348y y y y y y y y y ⎤=++++++⎦.因为M ，N ，P 是C 上的三点，所以()2221231234y y y x x x ++=++，又()()22221231231223312y y y y y y y y y y y y ++=+++++，所以()()21231233964y y y x x x +++=++.设(),Q x y ，则1233x x x x =++，1233y y y y =++，代入上式得29432y x =-.又①也满足29432y x =-，所以Q 的轨迹方程为29432y x =-.当0y >，直线OQ的斜率为24432932129y y x y y y==≤++，当且仅当3y =时，直线OQ的斜率取得最大值12.当0y ≤时，直线OQ 的斜率0y x ≤.综上，直线OQ斜率的最大值为12.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用MNP △内角为60︒得到关于123,y y y 的三条方程，从而整理得Q 的轨迹方程为29432y x =-，由此得解.18.药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中．（1）药房中共有几味药？（2）药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．（i ）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；（ii ）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．【答案】（1）12（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列出方程3C 220n =，即可求解；（2）设共有烈性药r 味，1味烈性药2+味非烈性药称为R -三药组”，考虑问题的反面，从而列出方程322132r r r -+=，结合该方程的解的情况，即可证明结论.【小问1详解】设共有n 味药，一共可形成3C n 个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它，22副药方中，每副药方可形成35C 个“三药组”，合计220个“三药组”，所以3C 220n =，所以12n =．【小问2详解】设共有烈性药r 味，假设每副药方中至多含有3味烈性药，不妨把1味烈性药2+味非烈性药称为“R -三药组”，共有1212C C r r -个“R -三药组”，另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有3C r 副药方恰含有3种烈性药，每副这样的药方含有1232C C 个“R -三药组”，其余322C r -副药方只含有1种或2种烈性药，它们中每一幅都可形成21146C C =或1123C C 6=个“R -三药组”，故22副药方一共可形成()333C 622C r r +-个“R -三药组”，故有()123312C C 3C 622C r r r r -=+-，得321367132r r r -+=，（i ）将7r =代入321367175132r r r -+=≠,即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；（ii ）321367132r r r -+=两边考虑都除以5，右侧余2，对于2(1367)r r r -+，当r 取0，1，2，3，4，5时，均不成立，即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立，所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于理解透题意，特别是第二问的证明，解答时采用反证思想，从反面说明，推出方程无解，从而证明结论.从而证明结论.19.已知()()12e,x f x ax ax b a b +=+--∈R .（1）若存在两个不同的a 使得()f x 的最小值为0，证明：0e b <<；（2）设b λ≤（λ为常数），且当()0f x ≥恒成立时，a b -的最小值为12λ+-，求λ的取值集合.【答案】（1）证明见解析（2）53⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）求出导数后，分0a =、0a <与0a >讨论函数的调性后，构造函数()1e 12x g x x +=-，结合导数可得存在两个不同的a ，使得()f x 的最小值为0等价于存在两个不同的0x ，使得()01200031e 12x x x b x +-+=-，再构造函数()()2131e 12x x x h x x+-+=-，利用导数研究其单调性后即可得证；（2）由第一问可得，0,e a b ><，构造函数()()()()213e 12x x x F x g x h x x+-+=-=-，结合导数研究其单调性后可得()()0021h x F x ≤--，再构造函数()()()21G x h x F x =++，此时只需结合导数讨论()0G x ≤的解即可得.【小问1详解】()1e 2x f x ax a +'=+-，令()()1e 2x x f x ax a μ+'==+-，则()1e 2x x a μ+'=+，当0a =时，()1e0x f x +=>'，()f x 单调递增，没有最小值，不满足题意；当0a <时，考虑0x <这一侧，有()2e f x ax b <++，则当x =时，()0f x <，不满足题意；当0a >时,()0x μ'>恒成立,()f x '在R 上单调递增，取12x =即有()0f x '>；当12x <时，有()32e 2f x ax a <+-'，则当32e 2a x a -=时，()0f x '<；所以存在唯一的320e 1,22a x a ⎛⎫- ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，此时()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且有010e20x ax a ++-=，也即01e 12x a x +=-，于是，()()()00120012000min31e e 12x x x x f x f x ax ax b b x ++-+==+--=--，记()1e 12x g x x +=-，则()()()1232e 12x x g x x +'-=-，当12x <时，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，所以存在两个不同的a ，使得()f x 的最小值为0，也即存在两个不同的0x ，使得()01200031e 12x xx b x +-+=-；记()()2131e 12x x x h x x+-+=-，则()()()()12123e 12x x x x h x x +---=-'，易知()h x 在(),0-∞上单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()0e h x h ≤=；若0b ≤，当0x <时，()0h x b >≥，而当0x >时，()h x 单调递减，方程()h x b =至多有一个解，不满足题意；若e b ≥，则有()()0e h x h b ≤=≤，方程()h x b =至多有一个解，满足题意；综上，0e b <<；【小问2详解】由第一问可知，0,e a b ><，取12x =，则102f a b ⎛⎫-=+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭，此时1a b λ-≥-≤-，记()()()()213e12x xx F x g x h x x+-+=-=-，则()()()()212231e 12x x x x F x x +'---=-，所以()F x在1,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，由于()()()00min 1,2b h x a b F x λλ+=≤-==-，所以有()()0021h x F x ≤--，记()()()()2131e 21112x x x G x h x F x x+-++=++=+-，则只需考虑()0G x ≤的解即可，()()()()()121223e 12x x x x G x x +'+--=-，所以()G x 在(),1∞--上单调递减，在11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，而()10G -=，所以()0G x ≤只有一个解1x =-，此时()513h λ=-=，综上，λ的取值集合为53⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于构造函数()()()F x g x h x =-，结合其单调性再构造函数()()()21G x h x F x =++，从而只需考虑()0G x ≤的解即可.。

初中开学考试试卷数学

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，是整数的是（）A. √9B. -√16C. √25D. √362. 下列各数中，是有理数的是（）A. πB. √2C. √3D. √93. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. -√16C. √25D. π4. 下列各数中，是偶数的是（）A. 5B. -6C. 7D. 85. 下列各数中，是奇数的是（）A. 4B. -5C. 6D. 76. 下列各数中，是正数的是（）A. -2B. 0C. 1D. -37. 下列各数中，是负数的是（）A. 2B. 0C. -1D. 38. 下列各数中，是正有理数的是（）A. 0B. -1C. 1D. -29. 下列各数中，是负有理数的是（）A. 0B. 1C. -1D. -210. 下列各数中，是实数的是（）A. πB. √2C. √3D. √9二、填空题（每题3分，共30分）11. -2的相反数是_________。

12. 2的倒数是_________。

13. 下列各数的绝对值分别是：|-3|=_________，|5|=_________。

14. 下列各数的平方分别是：(-3)²=_________，(5)²=_________。

15. 下列各数的立方分别是：(-2)³=_________，(3)³=_________。

16. 下列各数的算术平方根分别是：√9=_________，√16=_________。

17. 下列各数的立方根分别是：∛8=_________，∛27=_________。

18. 下列各数的平方根分别是：√25=_________，√36=_________。

三、解答题（每题10分，共30分）19. 简化下列各数：（1）-5 + 7 - 3（2）4 - 2 + 5 - 3（3）-2 × (-3) × 220. 计算下列各式的值：（1）-3 × (-4) ÷ 2（2）5 × 2 - 3 × 2（3）-2 + 3 × (-4) ÷ 221. 求下列各数的倒数：（1）2（2）-3（3）√2四、应用题（每题10分，共20分）22. 甲、乙两地相距120千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，另一辆汽车从乙地开往甲地，每小时行驶80千米。

湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}0,2B =，则A B =I （） A ．{}0,1,2B ．{}1C ．{}0D ．{}0,12．设i 是虚数单位，则复数21()2z =的共轭复数z =（）A ．12-B ．12-C ．12D ．123．某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x ，2s ，新平均分和新方差分别为1x ，21s ，若此同学的得分恰好为x ，则（） A ．1x x =，221s s = B ．1x x =，221s s < C ．1x x =，221s s >D ．1x x <，221s s =4．甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边（两人可以不相邻），则不同的站法有（） A ．24种B ．12种C ．18种D ．9种5．将函数()sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的最小值为（） A ．6πϕ=B ．3πϕ=C ．23ϕπ=D ．56πϕ=6．设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则()5f = （） A ．0B ．1-C ．1D ．27．在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子经》《张邱建算经》等，对等差级数（数列）()()()()231a a d a d a d a n d +++++++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦和等比级数（数列）231n a aq aq aq aq -++++⋅⋅⋅+，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若224a =，则这9个数和的最小值为（） A ．64B ．94C ．36D ．168．已知函数()()()2ln 222,1,ln 22,1x x x f x a x bx c x ⎧-+>⎪=⎨-+++<⎪⎩，若对()()1,2x f x f x ∀≠-=-恒成立，则abc =（） A ．16-B ．16C ．4-D ．4二、多选题9．已知实数a ，b ，c 满足a b c <<，0ac <，则（） A ．22ab b c < B ．11c a >C ．2c aa c+≤-D ．c a ->10．已知函数()42f x x x =-，则（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 的单调递增区间是()1,+∞D ．()f x 的最小值为14-11．已知曲线C （如图所示）过坐标原点O ，且C 上的点P x ,y 满足到两个定点()1,0F a ，()2,0(0)F a a ->的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．2a=B．-≤≤x C．12PF F V 周长的最小值为8D ．12PF F V 的面积最大值为2三、填空题12．已知1021001210(21)x a a x a x a x -=++++L ，则0123102310a a a a a ++++⋯+=． 13．直线10x y +-=与圆22(1)(1)4x y -++=相交于A 、B 两点，则AB = 14．已知函数1(ln 4),()4e ,x ax a x af x x x a⎧++≥⎪=⎨⎪<⎩是减函数，则a 的取值范围是四、解答题15．设公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且313S a =． (1)求{}n a 的公比；(2)若12a =，求数列{}1n n a a +的前n 项和n T ．16．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()::5:7:6a b b c c a +++=. (1)求cos A ；(2)若点D 为AB的中点，且CD =ABC V 的面积.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，两动点,A B 在双曲线C 上，线段AB 的中点为()()2,0M m m m ≠． (1)证明：直线AB 的斜率k 为定值；(2)O 为坐标原点，若OAB △的面积为23，求直线AB 的方程．18．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，1124AB A B ==，2AD CD ==，1AD BB ⊥，1111BB DD B D ==.(1)证明：平面ABCD ⊥平面11D DBB ；(2)求该四棱台的体积；(3)求平面11A ABB 与平面11B BCC 夹角的余弦值.19．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.。

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2010~2011学年度第二学期开学考试数学试卷
一、选择题（本题共15分，每小题3分） 1．－3的绝对值等于（）
A ．3
B ． 1 3
C ．－ 1 3
D ．－3
2．从北京教育考试院获悉,截至2010年3月5日,今年北京市中考报名确认考生人数达10.2万,与去年报考人数持平.请把10.2万用科学记数法表示应为（） A ．0.102×106 B ．10.2×104 C ．1.02×105 D ．1.02×104 3．小明在做一道数学选择题时，经过审题，他知道在A 、B 、C 、D 四个备选答案中，只有一个是正确的，但他只能确定选项D 是错误的，于是他在其它三个选项中随机选择了B ，那么，小明答对这道选择题的概率是（）
A ． 1 4
B ． 1 3
C ． 1
2 D ．1
4.用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形,下列五种图形:①平行四边形,
②菱形,③矩形,④直角梯形,⑤等边三角形.其中可以被拼成的图形是（）
A.①②
B.①③⑤
C.③④⑤
D.①②③
5.点E 为正方形ABCD 的BC 边的中点,动点F 在对角线AC 上运动,连接BF 、EF.设AF ＝x,△BEF 的周长为y,那么能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6、函数y ＝1
1
+-x x 中，自变量x 的取值范围是．
7、如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,若OA=2，则BD= . 8、在“a 2（）2ab( )b 2”括号里，任意填上“+”或“-”，能够构成完全平方式的概率是。

9、下图是一次函数y=kx+b 的图像，则关于x 的不等式kx+b>0的解集为。

10、如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，连接AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1,使∠D 1AC=60°，连接AC 1, 再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2,使∠D 2AC 1=60°， …按此规律所作的第n 个菱形的边长为。

A
B
C D
F
1 9题图 10题图 7题图
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
11．计算：1
031)3(18|22|-⎪⎭
⎫
⎝⎛---+-π-2sin45°．
12．如图，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ．
求证：AD ＝AE ．
13、如图，把一个转盘分成四等分,依次标上1,2,3,4,若连续自由转动转盘两次,指针指向的数字分别记作a ，b,把a,b 作为点A 的横坐标与纵坐标. (1)求点A(a,b)的个数;
(2)求点 A(a,b)在函数x y =的图像上的概率.
14．如图,点P 的坐标为(2,1.5),过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线
)0(〉=x x
k
y 于点N,作PM ⊥AN 交双曲线于点M,连接AM.已知PN=4.
(1)求k 的值；
(2)求△APM 的面积.
15．如图是一个版院形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB 是河底线,弦CD 是水
位线,CD//AB,且CD=24m,OE ⊥CD 于点E.已测得sin ∠DOE=13
12
.
(1)求半径OD;
(2)根据需要,水面要以每小时0.5m 的速度下降, 则经过多少时间才能将水排干？
B
四、解答题（每题7分，共28分）
16．A,B两地相距18km，甲工程队要在A,B两地铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A,B两地铺设一条输油管道。

已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1km，两队同时开工，结果当乙完成任务时，甲还剩3km没有完成，问甲，乙工程队每周各铺设多少管道？
17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝6，Array
求AB的长．
C
18、如图，一次函数22
1
--=x y 的图像分别交于x ，y 轴于A ，B ，两点，P 为
AB 的中点,PC 垂直x 轴于点C,延长PC 交反比例函数
k
y =的图像于点Q,且tan
∠AOQ=0.5. (1)求k 的值；
(2)连接OP 、AQ,求证：四边形APOQ 是菱形.
19、在△ABC 和△DCB 中，AB=DC,AC=DB,AC 与DB 交于点M. (1) 求证：△ABC ≌△DCB ；
(2) 过点C 作C N ∥BD,过点B 作B N ∥AC,CN 与BN 交于点N,试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结果。

A M
D C B
五、解答题（每题9分，共27分）
21、如图，已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点A(1,0)和点B(-3,0)，与y 轴交于C. (1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接
求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E
H
A A D E C F
B B H D
C
E F 图1 图2 20．在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 为AC 的中点．
(1)如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．
①则△DEF 是三角形； ②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． (2)如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变，你在(1)中得出的②中的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
22、如图,E 是正方形ABCD 的边AD 上的一动点,F 是边BC 延长线上的一点,且BF=EF,AB=12,设AE=x,BF=y.
(1)当△BEF 是等边三角形时，求BF 的长. (2)求y 与x 的函数关系式;
(3)把△ABE 沿着直线BE 翻折,点A 落在点A 1处，试探索：△A 1BF 能否为等腰三角形？若能，请求出AE 的长，若不能，请说明理由。

F
E。