高二数学用样本的数字特征估计总体的数字特征

• 众数考查各数据出现的频率，大小只与这 组数据中的部分数据有关，当一组数据中 有不少数据多次重复出现时，其众数往往 更能反映问题． • (2)一组数据的中位数是唯一的，求中位数 时，必须先将这组数据按从小到大(或从大 到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 那么最中间的一个数据是这组数据的中位 数，如果数据的个数为偶数，那么，最中 间两个数据的平均数是这组数据的中位 数．
2．样本方差、标准差 设样本数据 x1，x2，x3，„，xn 的平均数为－ x ，称 1 S ＝n[(x1－－ x )2＋(x2－－ x )2＋„＋(xn－－ x )2]和
2
S＝
(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2 为这些样本 n
数据的样本方差和样本标准差．
• 重点：理解样本标准差的意义和作用，会 计算样本标准差． • 难点：理解样本标准差的意义和作用，形 成对数据处理的评价意识．
• 2 ．众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系： • (1)众数在样本数据的频率分布直方图中， 就是最高矩形的中点的横坐标． • (2)在样本数据中，有50%的个体小于等于 中位数，所以在频率分布直方图中，中位 数左边和右边的直方图面积相等．
• (3)平均数是频率分布直方图的重心，代表 了一组数据的数值平均水平，在频率分布 直方图中，平均数是直方图的平衡点．用 频率分布直方图估计平均数时，平均数的 估计值约等于频率直方图中每个小矩形的 面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． • (4)样本中位数与通过频率分布直方图估计 的中位数可能会有所不同，原因是频率分 布直方图已经损失了一些样本信息． • 总体的特征数字获得方法有： ( 一 ) 直接利 用样本数据估计． ( 二 ) 利用频率分布直方 图估计．
• (3)如果有 n个数x1，x2，x3，„，xn，那么＝ 总体中所有个体的平均数 叫做这n个数的平均数． 样本中所有个体的平均数 • 叫做总体平均数． • 叫做样本平均数．
(x1＋x2＋„＋xn)
• 如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2 (x 次，„，xk出现fk次(这里f1＋ f1 fk＝xn ， 1＋x2f2＋„＋ kf) k) 2f＋„＋ 那么＝ 叫做这n个数的加 权平均数．其中f1，f2，„，fk叫做权．
中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数 据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位 数描述其集中趋势． (3)平均数定量的反映了数据集中趋势所处的平均水 平．平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任 何一个数据的变动都会引起平均数的变化．当数据较大 时，用公式－ x ＝ x′ ＋a 简化计算．
• 同一个总体由于抽取的样本不同，样本平 均数、样本方差(标准差)也都会有差 异．这样就会影响我们对总体的估计，选 用哪个估计总体更准确呢，那就是抽样时 保证样本的代表性要强，其估计就准 确．统计学是一门与数据打交道的学科， 其基本内容就是研究如何搜集、整理、计 算和分析数据，从中找出一些规律，从而 去对总体的情况作出估计．
• 2．2.2 用样本的数字特征估 计总体的数字特征
• 1．众数、中位数、平均数 最多 • (1)在一组数据中，出现次数 的数据 叫做这组数据的众数． • (2) 将一组数据从小到大 ( 或从大到小 )顺序 中间 中间 依次排列，把处在 位置的 一个数据 (或 两个数据的平均数)叫做这组数据 的中位数． 0.5 • 即：中位数是样本数据中，累积频率为 时所对应的样本数据值．
• 我们已经学习了用图、表来组织样本数据， 并且学习了如何通过图、表所提供的信息， 用样本的频率分布估计总体的分布．为了 从整体上更好地把握总体的规律，我们还 需要通过样本的数据对总体的数字特征进 行研究．
• 一、要真正弄清每一个概念及有关公式的 含义、作用 • 1 ．众数、中位数、平均数都从不同描述一组数据集中趋势的量． • (1)一组数据中的众数可能不止一个，众数 是一组数据中出现次数最多的数据，而不 是该数据出现的次数．如果有两个数据出 现的次数相同，并且比其它数据出现次数 都多，那么这两个数据都是这组数据的众 数．
• 2．(1)总体特征数是指描述总体平均水平 的总体平均数和描述总体波动状况的总体 方差(标准差)等．在实践中总体包括很多 数据，其平均数、标准差往往很难求或不 可求，通常的做法是用样本的平均数与标 准差去估计总体的平均数或标准差，这与 前面用样本的频率分布来近似地代替总体 分布是类似的．只要样本的代表性好，这 样做就是合理的．
• 众数体现了样本数据的最大集中点，但它 对其它数据信息的忽视使得无法客观地反 映总体特征；中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的影响， 这在某些情况下是优点，但它对极端值的 不敏感有时也成为缺点．因为这些极端值 有时是不能忽视的．
• 由于平均数与每一个样本数据有关，所以 任何一个样本数据的改变都会引起平均数 的改变，这是众数、中位数都不具有的性 质．也正因为这个原因，与众数、中位数 比较，平均数可以反映出更多的关于样本 数据全体的信息，但平均数受数据中的极 端值的影响较大，使平均数在估计总体时 可靠性降低． • 实际问题中求得的平均数、众数和中位数 应带上单位．
• 二、1.(1)单从众数、中位数、平均数、最 大值、最小值、极差(全距)来分析数据， 各个数据的波动情形无法更好更全面的体 现．最大、小值，极差更多地体现数据的 波动幅度．我们要考察样本数据的分散程 度大小，可以看样本数据到平均数的一种 平均距离．
• (2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均 数波动的大小，标准差(方差)越大，数据 的波动范围就越大，分布就越分散，标准 差(方差)越小，数据的波动程度就越小， 数据离散程度就小，分布就越集中．方差 与原始数据单位不同，平方后可能夸大了 偏差的程度．所以虽然方差与标准差在刻 划样本数据的分散程度上是一样的，但实 际解决问题时一般多采用标准差． • (3)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)， 当方差、标准差为0时，样本各数据全相 等．