数学建模之因子分析法

因子分析
因子分析就是一种降维、简化数据的技术。

它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的数据结构。

这几个抽象的变量被称作“因子”，能反映原来众多变量的主要信息。

原始的变量是可观测的显在变量，而因子一般是不可观测的潜在变量。

1.因子分析法的应用
①汽车行业业绩评价研究（下载文档）， ②上市公司盈利能力及资本结构实证分析， ③生育率影响因素分析。

2.步骤
①对原始数据进行标准化处理 用12,,
,m x x x 表示因子分析指标的m 个变量，评价对象有n 个，ij a 表示第i
个评价对象对应于第j 个指标的取值。

将每个指标值ij a 转化为标准化指标ij a ，即
,(1,2,
,;1,2,
,)ij j
ij j
a a i n j m s μ-=
==
式中：11n j ij i a n μ==∑，21
1()1n
j ij j i s a n μ==--∑ 相应地，标准化指标变量为
,(1,2,
,)j j
j j
x x j m s μ-=
=
②计算相关系数矩阵R
()ij m m R r ⨯=
1
,(,1,2,
,)1
n
ki
kj
k ij a
a r i j m n =⋅=
=-∑
式中：1,ii ij ji r r r ==，ij r 是第i 个指标和第j 指标之间的相关系数。

③计算初等载荷矩阵
解特征方程0=-R I λ，得到特征值(1,2,,)i i m λ=12,0m λλλ≥≥≥≥，再
求出相对应的特征值i λ的特征向量(1,2,,)i u i m =，其中12(,,,)T j j j mj u u u u =,
得到初等载荷矩阵为
11,
,m m u λ⎤Λ=⎦
④ 确定主因子的个数()k k m ≤ 一般选取使得累计贡献率11
85%k
m
i
i i i λλ==≥∑∑的这k 个主因子，对k 个因子载
荷矩阵作旋转，用()
1k Λ表示1Λ的前k 列，T 表示正交矩阵，则得矩阵()21k T Λ=Λ，建立因子模型，即
1111111,
.
k k m
m mk k x F F x F F αααα=++⎧⎪
⎨⎪=++⎩ ⑥计算因子得分，作出综合评价
求出单个因子的得分函数ˆj F ，用ˆij
F 表示第i 个样本对第j 个因子的得分估计值，Y 表示原始数据标准化后的矩阵，则总得分为
1ˆˆ()ij n k k
F F YR -⨯==
Λ 例题
我国上市公司赢利能力与资本结构的实证分析已知上市公司的数据见表1
表1 上市公司数据
试用因子分析法对上述企业进行综合评价。

模型的建立
①对原始数据进行标准化处理 用12,,
,m x x x 表示因子分析指标的m 个变量，评价对象有n 个，ij a 表示第i
个评价对象对应于第j 个指标的取值。

将每个指标值ij a 转化为标准化指标ij a ，即
,(1,2,
,;1,2,
,)ij j
ij j
a a i n j m s μ-=
==
式中：11n j ij i a n μ==∑，21
1()1n
j ij j i s a n μ==--∑ 相应地，标准化指标变量为
,(1,2,
,)j j
j j
x x j m s μ-=
=
②计算相关系数矩阵R
()ij m m R r ⨯=
1
,(,1,2,
,)1
n
ki
kj
k ij a
a r i j m n =⋅=
=-∑
式中：1,ii ij ji r r r ==，ij r 是第i 个指标和第j 指标之间的相关系数。

③计算初等载荷矩阵
解特征方程0=-R I λ，得到特征值(1,2,,)i i m λ=12,0m λλλ≥≥≥≥，再
求出相对应的特征值i λ的特征向量(1,2,,)i u i m =，其中12(,,,)T j
j j mj u u u u =,
得到初等载荷矩阵为
11,
,m m u λ⎤Λ=⎦
④ 确定主因子的个数()k k m ≤ 一般选取使得累计贡献率11
85%k
m
i
i i i λλ==≥∑∑的这k 个主因子，对k 个因子载
荷矩阵作旋转，用()1k Λ表示1Λ的前k 列，T 表示正交矩阵，则得矩阵()21k T Λ=Λ，建立因子模型，即
1111111,.
k k m
m mk k x F F x F F αααα=++⎧⎪
⎨⎪=++⎩ 模型的求解：
我们选取两个主因子。

利用MATLAB 程序计算得旋转后的因子贡献及贡献率见表2，因子载荷阵见表3。

表2 贡献率数据
表3 旋转因子分析表
计算因子得分，作出综合评价
我们用回归方法求单个因子得分函数
11
ˆ,1,2,
,j j jm m F b x b x j k =++=
用ˆij
F 表示第i 个样本对第j 个因子的得分估计值，则 11
ˆ,(1,2,,;1,2,,)ij j i jm im F b x b x i n j k =++==
即
11
21112222112k k m
m
km b b b b b x R B b b x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
用Y 表示原始数据标准化后的矩阵，则总得分为
1ˆˆ()ij n k
F F YR B -⨯== 计算得出各个因子得分函数为
1123421234
0.5310.16150.18310.50150.0450.51510.5810.0199F x x x x F x x x x =+-+=-++-
总得分为
12
44.4941.886.17
F F F +=
计算出16家上市公司赢利能力的综合得分见表4。

表416家上市公司赢利能力的综合得分。