山东省德州市武城二中2016届高三上学期第四次月考数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年山东省德州市武城二中高三（上)第四次月考数学
试卷（理科）
一、选择题
1．集合A=｛x|x2﹣a≥0｝，B=｛x|x＜2｝,若C R A⊆B，则实数a的取值范围是（) A．（﹣∞,4]B．［0,4］C．（﹣∞，4) D．（0，4)
2．已知命题p：∃x0∈（﹣∞，0），3＜4;命题q：∀x∈（0，），tanx＞x，则下
列命题中真命题是（）
A．p∧q B．p∨（￢q) C．p∧（￢q）D．（￢P）∧q
3．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（）
A．﹣B．﹣+C．2﹣ D．﹣﹣2
4．已知定义在R上的函数f（x)=log2（a x﹣b+1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示,则a,b满足的关系是（）
A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1
5．已知a，b,c分别是△ABC中角A，B，C的对边，若,b=2，cos2（A+B)=0，则c=（)
A．B． C．或D．
6．已知0＜a＜1,x=log a+log a,y=log a5,z=log a﹣log a，则()
A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y
7．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是(）
A．若f（x1）=f（x2），则x1+x2=kπ
B．f（x）的图象关于点对称
C．f(x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象向右平移个单位长度后得的图象
8．如图所示，积木拼盘由A、B、C、D、E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色,且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域）,现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是（）
A．780 B．840 C．900 D．960
9．已知点P是椭圆上的动点,且与椭圆的四个顶点不重合，F1,F2分别是椭圆的
左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点,且F1M⊥MP，则｜OM｜的取值范围是()
A．（0，2) B．（0，4）C．（2，4）D．(4,9）
10．定义区间[x1，x2］长度为x2﹣x1，（x2＞x1）,已知函数f（x）=(a∈R,a ≠0）的定义域与值域都是[m，n］，则区间［m,n]取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3 C．a＞1 D．3
二、填空题
11．已知，则二项式的展开式中常数项为．
12．已知变量x，y满足约束条件，则z=x2+y2的取值范围为．
13．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a｜有相同的最小值，则不等式g（x）≥5的解集为．
14．设a＞1，b＞1，若ab=e2，则s=b lna﹣2e的最大值为．
15．在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点（x，y），若x，y都是整数,就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线．现有如下几个命题：
①如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b一定是遗憾直线;
②“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数"；
③存在恰有一个完美点的完美直线；
④完美直线l经过无穷多个完美点,当且仅当直线l经过两个不同的完美点．
其中正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）
三、解答题
16．已知向量，,函数．（1）求函数f（x）在上的最值；
（2）若a，b,c分别为△ABC的内角A,B，C的对边，其中A为锐角，,c=4,且f（A）=1，求△ABC的面积S．
17．将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中（每个盒子足够大）．
（1)求编号为1的盒子为空盒的概率；
（2)求空盒的个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
18．已知数列{a n}中，a1=0，其前n项和S n满足．
（1）求数列｛a n｝的通项公式；
（2）设，求数列{b n｝的前2n项和T2n．
19．已知函数f(x）=,其中a∈R
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，试确定函数f(x）的单调区间．
20．已知函数f（x）=ae x(x+1)（其中e=2.71828…），g（x)=x2+bx+2,且f（x）与g（x)在x=0处有相同的切线．
（1）求函数f（x)的解析式，并讨论f（x）在［t,t+1]（t∈R）上的最小值；
（2）若对任意的x≥﹣2,kf（x）≥g（x）恒成立,求实数k的取值范围．
21．设动圆C与圆：(x﹣2）2+y2=1外切,与直线x=﹣1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若曲线E与C的轨迹关于直线y=x对称，求两曲线围成封闭图形的面积；
（3）过点F（0，2）任作一直线l交曲线E于A，B两点,是否存在一直线使以A，B为切点的切线的焦点总在此直线上,若存在，求此直线方程;若不存在，说明理由．
2015—2016学年山东省德州市武城二中高三(上）第四次
月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题
1．集合A={x｜x2﹣a≥0}，B=｛x｜x＜2｝，若C R A⊆B,则实数a的取值范围是(）A．（﹣∞，4]B．[0，4]C．（﹣∞，4）D．（0，4）
【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．
【解答】解：∵A=｛x|x2﹣a≥0｝={x｜x2≥a｝,
∴C R A=｛x|x2≤a｝,
若a＜0,则C R A=∅，满足C R A⊆B，
若a≥0,
则C R A={x｜x2＜a｝={x|﹣＜x＜｝，
若C R A⊆B，
则≤2，解得0≤a≤4,
综上a≤4,
故选：A
2．已知命题p：∃x0∈(﹣∞，0）,3＜4；命题q:∀x∈（0，）,tanx＞x,则下列命
题中真命题是（）
A．p∧q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢P）∧q
【考点】复合命题的真假．
【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．
【解答】解:命题p：∃x0∈(﹣∞，0）,3＜4为假命题,则￢p为真命题,
命题q：∀x∈（0，），tanx＞x，为真命题,则￢q为假命题,
根据复合命题真假判定,
（￢p)∧q是真命题，故D正确
p∧q,p∨（￢q)、p∧（￢q）是假命题，故A、B、C错误
故选:D．
3．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点,若2+=，则向量等于()
A．﹣B．﹣+C．2﹣ D．﹣﹣2
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】如图，计算即可．
【解答】解:∵2+=，∴点A、B、C共线，且A为BC中点，
则点O的位置有5种情况，如图:
（1）∵,∴；
(2）=+2（）=；
（3)=+2（）=；
（4）=+2（)=；
(5）=+2（）=；
故选：C．
4．已知定义在R上的函数f（x）=log2（a x﹣b+1)（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b 满足的关系是(）
A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由图可知，a＞1，f(0）=log2（1﹣b+1），故0＜log2（1﹣b+1)＜1,log2（a﹣1﹣b+1)＜0，从而解得．
【解答】解：由图可知，a＞1,f（0）=log2(1﹣b+1），
故0＜log2（1﹣b+1)＜1，
即0＜b＜1，
log2（a﹣1﹣b+1）＜0,
即a﹣1＜b，
故选D．
5．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B,C的对边，若，b=2，cos2（A+B）=0，则c=(）
A．B． C．或D．
【考点】余弦定理；三角函数的化简求值．
【分析】由已知及三角形内角和定理,诱导公式可求cos2C=0，结合范围2C∈（0，2π),可求
C=或，由余弦定理可解得c的值．
【解答】解：∵cos2（A+B）=cos2（π﹣C）=cos（2π﹣2C）=cos2C=0，2C∈（0,2π），
∴2C=，或,解得：C=或,可求cosC=或﹣．
∴由余弦定理可得:c==，或．
故选：C．
6．已知0＜a＜1，x=log a+log a，y=log a5，z=log a﹣log a，则（)
A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y
【考点】对数值大小的比较．
【分析】先化简x、y、z然后利用对数函数的单调性，比较大小即可．
【解答】解：x=log a+log a=log a，
y=log a5=log a,z=log a﹣log a=log a，
∵0＜a＜1,又＜＜，
∴log a＞log a＞log a，即y＞x＞z．
故选C．
7．已知函数f（x)=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（)
A．若f（x1)=f(x2），则x1+x2=kπ
B．f(x）的图象关于点对称
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象向右平移个单位长度后得的图象
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】将函数进行化简，利用三角函数的性质对下列各选项进行考查即可得到答案．【解答】解：函数f（x）=cos2x+2sinxcosx
化简得：f（x）=sin（2x)
函数f（x）的周期为π，若f（x1）=f（x2），则x1+x2=kπ，故A不对．
函数f(x）的图象对称坐标点（，0）(k∈Z），经考查坐标点不是
对称点，故B不对．
函数f（x）的图象对称轴x=，（k∈Z）,当k=1时,对称轴，故C对．
函数f（x）的图象向右平移个单位得：sin[2（x﹣）+］=sin（2x﹣），
故D不对．
故选：C．
8．如图所示，积木拼盘由A、B、C、D、E五块积木组成,若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域）,现有五种不同的颜色可供挑选,则可组成的不同的积木拼盘的种数是（）
A．780 B．840 C．900 D．960
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种,D有4种涂法，E有4种涂法，根据乘法原理可得结论．【解答】解：先涂A，则A有5种涂法，再涂B,因为B与A相邻,所以B的颜色只要与A 不同即可，有4种涂法，
同理C有3种涂法，D有4种涂法，E有4种涂法，
由分步乘法计数原理可知,可组成的不同的积木拼盘的种数为5×4×3×4×4=960，
故选：D．
9．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的
左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP,则｜OM|的取值范围是()
A．（0，2) B．(0,4）C．（2，4) D．(4，9）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意作图,从而可知|OM|=｜F2N|，从而解得．
【解答】解：由题意作图如下，
，
∵
结合图象可知,
点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP,
∴点M是F1N的中点，
又∵点O是F1F2的中点，
∴|OM|=|F2N｜，
∵0＜|F2N｜＜8，
∴0＜｜OM｜＜4．
故选：B．
10．定义区间［x1，x2］长度为x2﹣x1,（x2＞x1），已知函数f(x）=(a∈R,a ≠0）的定义域与值域都是［m，n],则区间［m，n］取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3 C．a＞1 D．3
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【分析】得出，故m,n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a)x+1=0的同号的相异实数根得出mn=,只需△=a2(a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3,利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此
时a=3，
【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．
x≠0，［m，n］⊆（﹣∞，0）或[m，n］⊆（0，+∞)，
故函数f（x）=﹣在［m，n]上单调递增，则，
故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，
即a2x2﹣(a2+a）x+1=0的同号的相异实数根
∵mn=
∴m，n同号，只需△=a2（a+3)(a﹣1）＞0，
∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，
n﹣m取最大值为．此时a=3，
故选:D
二、填空题
11．已知，则二项式的展开式中常数项为40．
【考点】二项式系数的性质;定积分．
【分析】由定积分公式计算出a=2，求得（ax﹣）5的通项公式，化简整理，讨论r=2,3即可得到所求常数项．
【解答】解：=lnx|=lne2﹣ln1=2，
=（2x）5﹣r（﹣)r=25﹣r x5﹣2r（﹣1）r,r=0，1，2,…，5 （ax﹣）5的通项公式为T r
+1
由题意可得5﹣2r=1，即r=2，可得T3=23x=80x，
当5﹣2r=﹣1，即r=3，可得T4=22x=﹣40x，
则二项式的展开式中常数项为80﹣40=40．
故答案为:40．
12．已知变量x，y满足约束条件，则z=x2+y2的取值范围为．
【考点】简单线性规划．
【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．
【解答】解：画出的可行域如图所示，其中B（3，0），C(1，1），D（0，1），
若目标函数z=x2+y2的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方．由图形可知仅在点（3，0）取得最大值，z=9．
由图知，原点到直线x+3y﹣3=0的距离最小，d=，
可得z=x2+y2=d2=．
则z=x2+y2的取值范围为:[，9］．
故答案为：［，9]．
13．若函数f（x)=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则不等式g(x）≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪［2，+∞)．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】通过配方可知f（x）的最小值为2a﹣1,进而可知g（x）在x=1或x=﹣a取得最小值,且2a﹣1≥0，通过计算g（1）=2a﹣1、g(﹣a)=2a﹣1，求出a的值，再解不等式即可．【解答】解：∵f(x)=x2+2x+2a=（x+1）2+2a﹣1，
∴f（x）的最小值为2a﹣1，
由题意知g(x）在x=1或x=﹣a取得最小值，且2a﹣1≥0，
将x=1或x=﹣a代入g(x）,解得：a=2,
∴g（x)=|x﹣1｜+｜x+2｜=
∵g(x）≥5，
∴或，
解得x≥2或x≤﹣3，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣3］∪[2，+∞），
故答案为:（﹣∞,﹣3]∪［2，+∞）
14．设a＞1，b＞1，若ab=e2，则s=b lna﹣2e的最大值为﹣e．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由ab=e2，得lna+lnb=2为定值，令t=b lna，可得lnt=lnalnb≤=1，仅
当a=b=e时等号成立，即可求出s=b lna﹣2e的最大值．
【解答】解：∵a＞1，b＞1,
∴lna＞0，lnb＞0，
由ab=e2，得lna+lnb=2为定值，
令t=b lna，、
∴lnt=lnalnb≤=1仅当a=b=e时等号成立,
∴lnt≤1，
∴t≤e，
∴s=b lna﹣2e≤﹣e,即s=b lna﹣2e的最大值为﹣e．
故答案为:﹣e．
15．在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点（x，y），若x,y都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线．现有如下几个命题：
①如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b一定是遗憾直线；
②“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”；
③存在恰有一个完美点的完美直线；
④完美直线l经过无穷多个完美点，当且仅当直线l经过两个不同的完美点．
其中正确的命题是③④．（写出所有正确命题的编号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①不正确,如果取k=，b=,那么直线y=x+经过完美点（﹣1,0),是完美直线;
②由①知当k=b=时，k与b均为无理数,但是直线y=x+是完美直线，即可判断出正误；
③设直线方程为y=x，只经过了一个完美点（0,0），即可判断出正误；
④，设y=kx为过原点的完美直线,若此直线l过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），可得(x1﹣x2，y1﹣y2)也在完美直线y=kx上，且（x1﹣x2，y1﹣y2）也为完美点,通过这种方法得到直线l经过无穷多个完美点．
【解答】解：对于①,如果取k=，b=，那么直线y=x+经过完美点（﹣1，0）,是完美直线，所以①错误；
对于②，由①知当k=b=时，k与b均为无理数，但是直线y=x+是完美直线，所以②错误；
对于③，设直线方程为y=x,只经过了一个完美点（0,0），所以③正确;
对于④,设y=kx为过原点的完美直线，若此直线l过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2）,把两点代入完美直线l的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1﹣y2=k（x1﹣x2），则(x1﹣x2，y1﹣y2)也在完美直线y=kx上，且（x1﹣x2，y1﹣y2)也为完美点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个完美点，所以④正确．
故答案为：③④．
三、解答题
16．已知向量，,函数．(1）求函数f（x）在上的最值；
（2）若a，b,c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，其中A为锐角,，c=4，且f （A）=1,求△ABC的面积S．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式;借助正弦函数的最值，求出函数f（x)在
上的最值；
（2）由f（A)=sin（2A﹣)=1，又A为锐角,即可解得A，从而由正弦定理解得C=，可得△ABC为Rt△，即可求得b，由三角形面积公式即可得解．
【解答】解:（1）
=
=
==．
当时，,
结合正弦函数的图象知，当，即x=0时,函数f(x）取得最小值，且最小值为;
当,即时,函数f（x）取得最大值，且最大值为1．
所以函数f（x）在上的最大值为1，最小值为；
(2)由（1）知．
因为，，
所以,．
由a2=b2+c2﹣2bccosA，得,
即b2﹣4b+4=0，解得b=2．
故．
17．将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3,4的四个盒子中（每个盒子足够大）．
（1）求编号为1的盒子为空盒的概率；
（2）求空盒的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1)将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2，3，4的四个盒子中，由分步剩法计数原理知共有44种放法,设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有34种放法，由此能求出编号为1的盒子为空盒的概率．
(2）空盒的个数ξ的所有可能取值为0，1，2,3，分别求出相应的概率，由此能求出空盒的个数ξ的分布列和数学期望E（ξ)．
【解答】解：（1）将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，由分步剩法计数原理知共有44=256种放法，
设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，
则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3,4的三个盒子中，共有34=81种放法，
故编号为1的盒子为空盒的概率为．
（2）空盒的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
（或）,
所以ξ的分布列为
ξ0 1 2 3
P
ξ的数学期望为．
18．已知数列｛a n｝中，a1=0，其前n项和S n满足．
（1)求数列｛a n｝的通项公式；
（2）设，求数列｛b n}的前2n项和T2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用分组求和、“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1)∵①,
∴②，
②﹣①得，a n
+1=（n+1）a n
+1
﹣na n+n,
∴a n
+1
﹣a n=﹣1，
∴a n=0+(n﹣1）×（﹣1）=1﹣n．
（2）由（1）知，
∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=[1×20+3×2﹣2+5×2﹣4+…+（2n﹣1）•22﹣
2n]+
=，
设A=1×20+3×2﹣2+5×2﹣4+…+（2n﹣1）•22﹣2n，
则2﹣2A=1×2﹣2+3×2﹣4+5×2﹣6+…+（2n﹣3）•22﹣2n+（2n﹣1）•2﹣2n，
两式相减得，整理得，
∴．
19．已知函数f(x）=,其中a∈R
（Ⅰ)若a=0，求函数f（x）的极值;
（Ⅱ)当a＞1时,试确定函数f（x)的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】(Ⅰ)利用导数求极值；
(Ⅱ）利用导数求函数的单调区间．
【解答】解：(Ⅰ）由a=0得f（x）=,∴f′(x）== ∴由f′（x)=0得x=0，又∵x＜0时，f′（x）＜0；x＞0时，f′（x)＞0
∴x=0时，f(x)有极小值为．
(Ⅱ）当a＞1时，f′（x）=
∴f′(x）=0的两根为0，．
∴当1＜a＜2时,由f′（x)＞0得x＜或x＞0，故f（x）的递增区间为（﹣∞,)，（0，+∞）
由f′(x）＜0得＜x＜0，故f（x）的递减区间为（，0）;
当a≥2时,由f′（x）＞0得x＞或x＜0，故f(x）的递增区间为(，+∞），（﹣∞，0）
由f′（x）＜0得0＜x＜,故f（x）的递减区间为（0，）；
20．已知函数f（x)=ae x（x+1)（其中e=2。

71828…)，g（x）=x2+bx+2,且f（x)与g（x）在x=0处有相同的切线．
（1）求函数f(x）的解析式,并讨论f（x）在[t，t+1］(t∈R）上的最小值；
(2）若对任意的x≥﹣2，kf(x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出两个函数的导函数，利用f（x）与g（x)在x=0处有相同的切线，可得f′（0）=g'（0），且f(0)=g（0），联立求得a，b的值，则函数解析式可求,求出函数的单调区间，然后对t分类求得f（x）在[t，t+1]（t∈R）上的最小值；
（2）由对任意的x≥﹣2,kf(x）≥g（x）恒成立，得2ke x（x+1)≥x2+4x+2,分x=﹣1、﹣2≤x ＜﹣1、x＞﹣1,分离参数k，然后构造函数，由导数求出函数的最值得答案．
【解答】解：（1）由f(x)=ae x（x+1）,g（x）=x2+bx+2，得f′（x）=ae x（x+2），g’（x）=2x+b．∵两函数在x=0处有相同的切线,又f′（0）=2a,g'(0）=b，
∴2a=b，f(0)=a=g(0）=2，解得：a=2，b=4．
∴f（x)=2e x(x+1），g（x）=x2+4x+2．
f′（x）=2e x（x+2），由f′（x）＞0，得x＞﹣2，由f′（x）＜0，得x＜﹣2，
∴f(x)在(﹣2，+∞）上单调递增，在(﹣∞，﹣2)上单调递减．
①当t+1≤﹣2，即t≤﹣3时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
∴；
②当，即﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在［t，﹣2]上单调递减,在(﹣2，t+1］上单调递增，
∴；
③当t≥﹣2时,f（x）在［t，t+1］上单调递增,∴．
∴;
(2）若对任意的x≥﹣2,kf（x)≥g（x）恒成立，即2ke x（x+1)≥x2+4x+2（*）对任意的x≥﹣2恒成立．
(i)当x=﹣1时，上式化为0≥﹣1，显然对任意的实数k恒成立．
（ii)当﹣2≤x＜﹣1时，（*）式化为，对任意的﹣2≤x＜﹣1恒成立．
令，则，
∴当﹣2≤x＜﹣1时,h’（x）≥0,∴h(x）在［﹣2,﹣1)上单调递增，
此时，∴k≤e2．
（iii）当x＞﹣1时，（＊)式化为,对任意的x＞﹣1恒成立．
由（ii）知h（x）在（﹣1,0）上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，
此时h（x）max=h(0）=1，∴k≥1．
综上，实数k的取值范围为［1，e2］．
21．设动圆C与圆：（x﹣2)2+y2=1外切,与直线x=﹣1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
(2）若曲线E与C的轨迹关于直线y=x对称，求两曲线围成封闭图形的面积；
（3）过点F（0,2）任作一直线l交曲线E于A，B两点，是否存在一直线使以A，B为切点的切线的焦点总在此直线上，若存在，求此直线方程；若不存在，说明理由．
【考点】轨迹方程;利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）由圆（x﹣2)2+y2=1可得:圆心F（2，0），半径r=1．设所求动圆圆心为P（x，y），过点P作PM⊥直线l：x+1=0,M为垂足．可得：｜PF｜﹣r=|PM｜，即|PF｜=｜PM｜+1．因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L：x=﹣2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知:点P的轨迹是抛物线．求出即可．
(2）求出A的坐标，利用定积分求两曲线围成封闭图形的面积;
（3）设直线l的方程与抛物线方程联立，消去y,得到关于A,B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出交点坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）由圆（x﹣2）2+y2=1可得:圆心F（2，0），半径r=1．
设所求动圆圆心为P（x,y），过点P作PM⊥直线l:x+1=0，M为垂足．
则｜PF|﹣r=|PM|，可得|PF|=|PM｜+1．
因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L:x=﹣2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F（2，0）为焦点，定直线L：x=﹣2是准线．
∴抛物线的方程为：y2=8x．
∴与圆（x﹣2)2+y2=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x；
（2）曲线E的方程为x2=8y,与y2=8x联立可得A（8,8），
∴两曲线围成封闭图形的面积为=（)=；
（3）由题意,设直线L的方程为y=kx+2，A(x1，y1）B（x2，y2）
与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x2﹣8kx﹣16=0
∴x1x2=﹣16，x1+x2=8k．
∵抛物线的方程为y=x2，求导得y′=x，
∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是
y﹣y1=x1（x﹣x1)，y﹣y2=x2(x﹣x2)
解得两条切线的交点M的坐标为（，﹣2）
∴曲线E在A,B两点处的切线的交点总在直线y=﹣2上．
2016年11月10日。