大同中学高一上 数学10月月考卷及答案

大同中学高一月考数学试卷
2021.10
一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.已知集合()0,2A =，()1,1B =-，则A B ⋃=______.
2.集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}的非空真子集的个数为_____
3.若α、β是一元二次函数2410x x ++=的两个实数根，则1
1
α
β
+
=______.
4.不等式
3
02
x x -≤+的解集用区间表示是______.5.已知,x y R ∈，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是______命题（填“真”或“假”）.
6.
设{
}A x x k ==∈N ，{}
6,B x x x =≤∈Q ，则A B = ______.
7.设全集(){},21U x y y x =
=+，()1
,21y A x y x ⎧
⎫+==⎨
⎬+⎩
⎭
，则U A =ð______.8.若{
}
2
22A y y x x ==-+，且a A ∈，则
1
2
a +的取值范围是______.9.已知一个有四个数字元素的集合S ，S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则S 的元素之和等于______.
10.若不等式组()2
220
11x ax ax x ⎧-+≥⎪⎨
-<⎪⎩
的解集是R ，则a 的取值范围是______11.用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A B A B B A B A ⎧-≥⎪
*=⎨
->⎪⎩
，若{}0,1A =，
(
)()
{}
2230B x x ax x ax =+++=，*1A B =，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______.（请
用列举法表示）
12.已知关于x 的方程22430x ax a -+-=的两个根为1x 、2x ，且在区间()12,x x 内恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13.已知x y z >>且0x y z ++=，则下列不等式恒成立的是（）
A.
xy yz
> B.xz yz >C.xy xz
> D.x y z y
>
14.下列说法正确的是（）
A.“3x ≥”是“5x >”的充分不必要条件
B.一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
C.对任意实数a 、b ，“a b +是无理数”是“a 为无理数”的充分条件
D.“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件
15.设U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：
（1）A B A = ；
（2）A B B ⋃=；（3）A B ⋂=∅；（4）A B U ⋃=.其中与命题A B ⊆等价的命题个数有（）个
A.1
B.2
C.3
D.4
16.
已知函数()()2
22f x x a x a =-+++，若集合(){}
|0A x N f x =∈<中恰有一个元素，则实数a
（）
A.有最大值，无最小值
B.有最小值，无最大值
C.既无最大值，也无最小值
D.既有最大值，也有最小值
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.证明：若a 、b 、c ∈R ，且221x a b =-+，221y b c =-+，221z c a =-+，则x 、y 、z 中至少有一个不小于0.
18.设集合{
}
2
60P x x x =--<，{}
23Q x a x a =≤≤+.（1）若P Q P = ，求实数a 的取值范围；（2）若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.
19.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.（1）是否存在实数k ，使得()()12123
222
x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（2）求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.20.已知关于x 的方程()()2
1240m x m x -++-=，m R ∈（1）若方程有两个正根，求：m 的取值范围；
（2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m 的取值范围.
21.对正整数n ，记{}1,2,3,,n I n =⋅⋅⋅，,n n n P I k I ⎫
=∈∈⎬⎭
.（1）用列举法表示集合3P ；（2）求集合7P 中元素的个数；
（3）若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”.证明：存在n 使得n P 能分成两个不相交的稀疏集的并集，且n 的最大值为14.
大同中学高一月考数学试卷
2021.10
一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.已知集合()0,2A =，()1,1B =-，则A B ⋃=______.【答案】()1,2-【解析】
【分析】利用集合并集运算直接计算即得.
【详解】因集合()0,2A =，()1,1B =-，则有(1,2)A B -= ，所以(1,2)A B -= .故答案为：()
1,2-2.集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}的非空真子集的个数为_____【答案】14【解析】
【分析】化简集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5},根据集合的真子集定义即可求出.【详解】因为{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5}
所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14.【点睛】本题主要考查了集合的真子集，属于中档题.
3.若α、β是一元二次函数2410x x ++=的两个实数根，则1
1
α
β
+
=______.
【答案】4-【解析】
【分析】利用韦达定理得出αβ+、αβ的值，然后将代数式通分代值计算即可.【详解】由韦达定理可得4αβ+=-，1αβ=，因此，1
1
4
41
βαα
β
αβ+-+
=
==-.故答案为4-.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.
4.不等式
3
02
x x -≤+的解集用区间表示是______.【答案】(]2,3-【解析】
【分析】求出不等式的解集，再写成区间形式即可.
【详解】由3
02x x -≤+得：(3)(2)0x x -+≤且20x +≠，解得23x -<≤，所以不等式
3
02
x x -≤+的解集用区间表示是(]2,3-.故答案为：(]
2,3-5.已知,x y R ∈，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是______命题（填“真”或“假”）.【答案】真【解析】
【分析】互为逆否命题的两个命题等价，当原命题不易判断真假时，可以先判断其逆否命题的真假.【详解】原命题和逆否命题互为等价命题，
命题的逆否命题“若3x <且2y <，则5x y +<”显然是真命题，所以原命题也是真命题.故答案为真
【点睛】本题考查四种命题的关系，以及判断命题的真假，属于基础题型，四种命题中，原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题互为逆否，也是等价命题，所以判断命题真假时，当命题不好判断时，可以转化其逆否命题判断.
6.设{}
A x x k ==∈N ，{}
6,B x x x =≤∈Q ，则A B = ______.【答案】{}1,4,6【解析】
【分析】将自然数N 代入51x k =+，找出在06x ≤≤范围中有理数的值，即为A B
【详解】由{}
A x x k ==∈N 得，0k =时，1x =，1k =时，x =
，2k =时，x =，
3k =
时，4x =，5k =时，x =
，6k =时，x =，7k =时，6x =，8k =时，6
x =>因为{}
6,B x x x =≤∈Q ，所以{}
1,4,6A B ⋂=故答案为：{}
1,4,6
7.设全集(){},21U x y y x =
=+，()1
,21y A x y x ⎧
⎫+==⎨
⎬+⎩
⎭
，则U A =ð______.【答案】(){}
1,1--【解析】
【分析】分别写出集合U ，A 所表示的图形，再根据补集的定义即可求解.【详解】全集(){},21U x y y x ==+表示直线21y x =+上的所有点，
集合()
1
,21y A x y x ⎧
⎫+==⎨⎬+⎩
⎭
表示直线21y x =+上除点(1,1)--外的所有点，所以{(1,1)}U A =--ð.故答案为：
(){}
1,1--8.若{}
2
22A y y x x ==-+，且a A ∈，则1
2
a +的取值范围是______.【答案】10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【解析】
【分析】求出a 的取值范围，结合不等式的基本性质可求得
1
2
a +的取值范围.【详解】{
}(){
}
{}
2
2
22111A y y x x y y x y y ==-+==-+=≥ ，a A ∈，则1a ≥，
所以，23a +≥，所以，11023
a <≤+.故答案为：10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
9.已知一个有四个数字元素的集合S ，S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则S 的元素之和等于______.【答案】2024【解析】
【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可．【详解】解：设集合{}1234,,,S a a a a =，
由一个集合中有n 个元素，则它有2n 个子集，非空子集有（2n −1）个可得：含有元素1a 的集合有328=个，
含有元素2a 的集合有328=个，含有元素3a 的集合有328=个，含有元素4a 的集合有328=个，
若集合S 的所有非空子集的元素之和是16192，
则集合S 的所有元素和为()1234816192a a a a +++=，则12342024a a a a +++=；故答案为：2024．
10.若不等式组(
)2220
11x ax ax x ⎧-+≥⎪⎨
-<⎪⎩的解集是R ，则a 的取值范围是______
【答案】⎡⎤⎣⎦
【解析】
【分析】不等式组()2220
11
x ax ax x ⎧-+≥⎪⎨
-<⎪⎩解集为R ，就是不等式2220x ax -+≥和()11ax x -<对任意实数x 恒成立。

结合二次函数图象解决即可。

【详解】因为不等式组(
)222011x ax ax x ⎧-+≥⎪
⎨
-<⎪⎩的解集是R ，所以，不等式2220x ax -+≥和()11ax x -<对任意实数x 恒成立。

由不等式2220x ax -+≥对任意实数x 恒成立可得2(2)420a --⨯≤，即220a -≤，解得
a ≤≤
；
由不等式()11ax x -<对任意实数x 恒成立，即不等式210ax ax --<对任意实数x 恒成立，所以
10
a =⎧⎨-<⎩或20()4(1)0a a a ≠⎧⎨--⨯-<⎩，解得0a =或40a -<<，所以40a -<£故答案为：⎡⎤⎣⎦
.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，难度一般。

解决一元二次不等式恒成立问题，应结合二次函数的图象，注意三个二次之间的关系，尤其注意当二次项系数含字母时，应讨论二次项系数是否为0、二次项系数的正负。

11.用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A B A B B A B A ⎧-≥⎪
*=⎨
->⎪⎩
，若{}0,1A =，
(
)()
{}
2230B x x ax x ax =+++=，*1A B =，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______.（请
用列举法表示）
【答案】{}
-【解析】
【分析】根据{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程
()()
2
230x
ax x ax +++=的个数进行讨论，即可求得a 的所有可能取值.
【详解】由于(
)()
2
2
30x ax
x
ax +++=，等价于20x ax +=①或2x ax 30++=②
又{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，
（1）当B 是单元素集合，则方程①有两个相等的实根，方程②无实根，此时0a =；（2）当B 是三元素集合，则方程①有两个不相等的实根，方程②有两个相等的实根，
此时2
0120a a ≠⎧
⎨∆=-=⎩
，解得a =±实数a
的所有可能取值构成集合{}
S =-
故答案为：
{}
-【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的判断，解题的关键是对新定义的理解，考查学生的分析审题能力与分类讨论思想，属于中档题.
12.已知关于x 的方程22430x ax a -+-=的两个根为1x 、2x ，且在区间()12,x x 内恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围是______.【答案】813,79⎛⎤ ⎥⎝
⎦【解析】
【分析】设()2
243f x x ax a =-+-，对称轴为x a =，先通过0
(0)00f a ∆>⎧⎪≥⎨⎪>⎩大概确定a 的范围，进而可确定
对称轴的位置，再通过(1)0(2)0(3)0413f f f a <⎧⎪<⎪⎪
≥⎨⎪
⎪<≤⎪⎩
可得实数a 的取值范围.
【详解】解：设()2
243f x x ax a =-+-，对称轴为x a =，
由已知有：0
(0)00
f a ∆>⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
，则413a <≤，
则y ＝f （x ）的对称轴方程为：x a =∈4(1,3
，由在区间()12,x x 上恰好有两个正整数，
则(1)0(2)0(3)0413f f f a <⎧⎪<⎪⎪
≥⎨⎪
⎪<≤⎪⎩
，解得：87139a <≤
，即实数a 的取值范围是
8713
9
a <≤，故答案为：813,79⎛⎤
⎥⎝
⎦.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13.已知x y z >>且0x y z ++=，则下列不等式恒成立的是（）
A.
xy yz
> B.xz yz >C.xy xz > D.x y z y
>【答案】C 【解析】
【分析】首先根据已知条件得到0x >，0z <，y 无法判断，再依次判断选项即可.【详解】因为x y z >>且0x y z ++=，所以30x x y z >++=，即0x >.又因为30z x y z <++=，即0z <.所以0x >，0z <，y 无法判断.
对选项A ，当0y =时，xy yz =，故A 错误；
对选项B ，因为x y >，0z <，所以xz yz <，故B 错误；对选项C ，因为y z >，0x >，所以xy xz >，故C 正确；对选项D ，当0y =时，x y z y =，故D 错误.故选：C
14.下列说法正确的是（）
A.“3x ≥”是“5x >”的充分不必要条件
B.一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
C.对任意实数a 、b ，“a b +是无理数”是“a 为无理数”的充分条件
D.“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件【答案】D 【解析】
【分析】利用充分条件，必要条件的定义，结合举反例即可判断选项.
【详解】对于A ，由3x ≥不能推出5x >，例：43≥，但45<，∴充分性不成立，故A 错误；对于B ，因为平行四边形不一定是矩形，∴四边形是平行四边形不能推出其是矩形，∴四边形是平行四边形不是它是矩形的充分条件，故B 错误；
对于C ，对任意实数,a b ，a b +是无理数不能推出a 为无理数，例如：1,a b ==
，a b +是无理数，但
a 是有理数，∴充分性不成立，故C 错误；
对于D ，若a b =，则ac bc =，∴充分性成立，由ac bc =不能推出a b =，例如：1,0a b c ===，
满足ac bc =，但a b ¹，∴必要性不成立，a b ∴=是ac bc =的充分不必要条件，故D 正确；故选：D
15.设U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：
（1）A B A = ；
（2）A B B ⋃=；（3）A B ⋂=∅；（4）A B U ⋃=.其中与命题A B ⊆等价的命题个数有（）个
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】D 【解析】
【分析】利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．【详解】解：U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：（1）A B A A B ⋂=⇔⊆；（2）A B B A B ⋃=⇔⊆；
（3）,A B x A =∅∀∈ ，则,,x B x B A B A B ∉∴∈∴=∅⇔⊆ ；（4）,A B U x A =∀∈ ，则,,x A x B A B U A B ∉∴∈∴=⇔⊆ ．其中与命题A B ⊆等价的命题个数有4．
故选：D ．
16.已知函数()()222f x x a x a =-+++，若集合(){}
|0A x N f x =∈<中恰有一个元素，则实数a （）
A.有最大值，无最小值
B.有最小值，无最大值
C.既无最大值，也无最小值
D.既有最大值，也有最小值【答案】D
【解析】
【分析】由题得2a >或2a <-，再对a 分两种情况讨论，利用零点存在性定理得解.
【详解】由条件知，()2
22=0x a x a -+++有两个不同的实根，所以2=(a+2)4(2)0a ∆-+>，
所以2a >或2a <-.
（1）当2a <-时，(1)0,(0)20,f f a >=+>必有(1)0,
f -≥512(2)0,2
a a ∴++≥∴≥-所以522a -≤<-.(2)当2a >时，20,(1)10,(2)20,
a f f a ->=>=-<所以55(3)92(2)0,,222
f a a a =-+≥∴≤
∴<≤所以min 52a =-,max 52a =.故选:D
【点睛】本题主要考查方程的零点，考查一元二次不等式和零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.证明：若a 、b 、c ∈R ，且221x a b =-+，221y b c =-+，221z c a =-+，则x 、y 、z 中至少有一个不小于0.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用给定条件借助反证法证明x 、y 、z 都小于0不可能即可得解.
【详解】假设x 、y 、z 都小于0，即0,0,0x y z <<<，则有0x y z ++<，
因a 、b 、c ∈R ，且221x a b =-+，221y b c =-+，221z c a =-+，
于是得222222(21)(21)(21)(1)(1)(1)0x y z a a b b c c a b c ++=-++-++-+=-+-+-≥，与
0x y z ++<矛盾，
从而假设是错的，即x 、y 、z 都小于0是错的，则原结论成立，
所以x 、y 、z 中至少有一个不小于0.
18.设集合{}260P x x x =--<，{}23Q x a x a =≤≤+.
（1）若P Q P = ，求实数a 的取值范围；
（2）若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()()1,03,-⋃+∞；
（2）(]3,5,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】
【分析】（1）先求出P ，由P Q P = ，可得Q P ⊆，列出不等式即可求解；
（2）由P Q =∅ ，分类讨论Q =∅与Q ≠∅，列出不等式即可求解.
【详解】（1）{}{}2|6023P x x x x x =--<=-<< ，{}
23
Q x a x a =≤≤+由P Q P = ，可得Q P ⊆，
①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >.②当Q ≠∅时，得232233a a a a -≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩
，解得10a -<<.综上，得实数a 的取值范围是()()1,03,-⋃+∞.
（2） P Q =∅ ，
①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >.
②当Q ≠∅时，2323a a a ≤+⎧⎨≥⎩或2332
a a a ≤+⎧⎨+≤-⎩，解得5a ≤-或332a ≤≤.综上，得实数a 的取值范围是(]3
,5,2⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.
19.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.
（1）是否存在实数k ，使得()()12123222
x x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（2）求使1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.【答案】（1）不存在，理由见解析；
（2）235
k =---，，【解析】
【分析】（1）利用反证法先假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-
成立，根据一元二次方程有两个实数根可得95
k =，因此原假设不成立，故不存在；（2）根据题意()22212121221121244224411
x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，可得1k +能被4整除，即可求出k 的值.
【小问1详解】
假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-
成立， 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，
()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩
，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩
，()()()()2
221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-，9
5
k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-
成立.【小问2详解】
()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ，
∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，
故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，，
0k < ，
235k ∴=---，，.
20.已知关于x 的方程()()2
1240m x m x -++-=，m R ∈（1）若方程有两个正根，求：m 的取值范围；
（2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m 的取值范围.
【答案】（1）(]1,2[10,)⋃+∞；
（2）()1,2【解析】
【分析】（1）方法一，一元二次方程有两个正根，两根之积、之和均取正值，用韦达定理表示，再加判别式大于等于0即可；方法二，构造函数，转化为二次函数的根的分布问题，要结合二次函数图象来解。

由(0)40f =-<结合二次函数图象且方程有两个正根，可知函数图象开口向下，故只需满足210202(1)(2)4(1)(4)0m m m m m ⎧-<⎪+⎪->⎨-⎪⎪∆=+--⨯-≥⎩
，解不等式组即可；（2）构造函数()()2()124f x m x m x =-++-，由(0)40f =-<结合二次函数图象且方程有两个正根，可知函数图象开口向下，由方程有两个正根，且一
个比2大，一个比2小，可得10(2)4(1)2(2)40m f m m -<⎧⎨=-++->⎩
，解不等式组即可。

【详解】方法一，因为方程有两个正根，所以2=(2)4(1)(4)0201401m m m m m ⎧⎪∆+--⨯-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩
，解得12m <≤或10m ≥。

所以，m 的取值范围为(]1,2[10,)⋃+∞。

方法二，令()()2
()124f x m x m x =-++-，因为(0)40f =-<，方程有两个正根，所以函数()()2()124f x m x m x =-++-的图象一定开口向下，所以
210202(1)(2)4(1)(4)0
m m m m m ⎧-<⎪+⎪->⎨-⎪⎪∆=+--⨯-≥⎩，解得12m <≤或10m ≥。

所以，m 的取值范围为(]1,2[10,)⋃+∞。

（2）令()()2
()124f x m x m x =-++-，因为(0)40f =-<，方程有两个正根，所以函数()()2()124f x m x m x =-++-的图象一定开口向下，所以
10(2)4(1)2(2)40m f m m -<⎧⎨=-++->⎩
，解得12m <<，所以，m 的取值范围为()1,2。

【点睛】本题考查二次函数的根的分布问题，解决此类问题，应从四个方面考虑：二次函数图象开口方向、判别式、对称轴与区间的端点的比较、区间端点函数值的正负。

要注意结合二次函数图象来考虑。

21.对正整数n ，记{}1,2,3,,n I n =⋅⋅⋅
，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭.（1）用列举法表示集合3P ；
（2）求集合7P 中元素的个数；
（3）若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”.证明：存在n 使得n P 能分成两个不相交的稀疏集的并集，且n 的最大值为14.
【答案】
(1)232323{1,2,3,
,2233
；(2)46；(3)证明见解析.【解析】
【分析】(1)根据给定集合n P 的意义计算列举写出即可；
(2)由每一个k 值可得7P 中的7个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解；
(3)根据给定定义，证明15n ≥时n P 不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明14P 能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解.【详解】(1)依题意，{}31,2,3I =
，则333232323,1,2,3,,,2233P I k I ⎧⎫⎪=∈∈=⎬⎨⎭⎪⎩；(2)显然每一个k 值，m 值可取1，2，3，4，5，6，7七个不同数，即可得7
当1k =时，7{}|m m I ∈中m =1，m =2，m =3所对应的3个元素为1，2，3，另四个元素为4，5，6，7，当4k =时，7}|m I
∈中m =2，m =4，m =6所对应的3个元素1，2，3为重复元素，另四个元素为分数
1357,,,2222
，当{2,3,5,6,7}k ∈时，
77,)m I k I
∈∈计算可得7749⨯=个数，其中计算得到的数1，2，3各重复1次，则7P 中元素的个数为49346-=，
所以集合7P 中元素的个数是46；
(3)假设当15n ≥时，n P 能分成两个不相交的稀疏集的并，
设A ，B 为不相交的稀疏集，使n n A B P I ⋃=⊇，不妨设1A ∈，显然2132+=，则3A ∉，即3B ∈，同理6A ∈，10B ∈，又推得15A ∈，但21154+=，与A 为稀疏集矛盾，
于是得当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的稀疏集的并，即14n ≤，
若14n =，则当1k =时，1414}|m I I
∈=可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取
{}11,2,4,6,9,11,13A =，{}13,5,7,8,10,12,14B =，则1A ，1B 为稀疏集，且1114A B I ⋃=.
当4k =时，集14}m I
∈中除正整数外剩下的数组成集13513,,,,222
2⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，可分成下面个两稀疏集的并：215911,,,2222A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，23713,,222B =⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，当9k =时，集14|}m I
∈中除正整数外剩下的数组成集12451314,,,,,,3333
33⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，可分成下面两个稀疏集的并：31451013,,,,33333A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，32781114,,,,33333B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
.最后，集合1414,,m I k I
∈∈且{1,4,9}}k ∉中的数均为无理数，它与14P 中的任何其他数之和都不是整数，
则把1414,,m I k I
∈∈且{1,4,9}}k ∉中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令这两个稀疏集为4A 与4B ，
因此，令1234A A A A A =⋃⋃⋃，1234B B B B B =⋃⋃⋃，则A 和B 是不相交的稀疏集，且14A B P ⋃=，综上，所求n 的最大值为14.
【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.。