九年级上册安阳数学期末试卷达标检测(Word版 含解析)

九年级上册安阳数学期末试卷达标检测（Word 版 含解析）
一、选择题
1．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3-
B ．3
C ．3-
D ．3 2．如图，CD 为
O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径
为（ ）
A ．5
B ．8
C ．3
D ．10
3．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）
A ．7 : 12
B ．7 : 24
C ．13 : 36
D ．13 : 72
4．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．80° 5．对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ）
A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线.
B ．其最小值为1.
C ．其图象与x 轴没有交点.
D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大.
6．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A ．8，10
B ．10，9
C ．8，9
D ．9，10 7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则
∠BOD 等于（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．80° 8．已知α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根，则αβ+的值为（ ） A ．-1 B ．0
C ．1
D ．2 9．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤ 10．已知反比例函数k y x =
的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限 11．方程2x x =的解是（ ） A ．x=0
B ．x=1
C ．x=0或x=1
D ．x=0或x=-1 12．一元二次方程x 2﹣3x ＝0的两个根是（ ）
A ．x 1＝0，x 2＝﹣3
B ．x 1＝0，x 2＝3
C ．x 1＝1，x 2＝3
D ．x 1＝1，x 2＝﹣3 二、填空题
13．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．
14．将抛物线y=﹣2x 2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________；
15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．
16．二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：
①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
17．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，
AD AB ＝AE AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．
18．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ．
19．已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________．
20．二次函数2
y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取值范围是_______.
21．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．
22．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．
23．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图，对称轴为直线x ＝1，则不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是_____．
24．若关于x 的一元二次方程22
(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________. 三、解答题
25．（1）解方程：27100x x -+=
（2）计算：cos60tan 452cos 45︒⨯︒-︒
26．如图，四边形OABC 为矩形，OA =4，OC=5，正比例函数y=2x 的图像交AB 于点D ，连接DC ，动点Q 从D 点出发沿DC 向终点C 运动，动点P 从C 点出发沿CO 向终点O 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s ．
（1）求点D 的坐标；
（2）若PQ ∥OD ，求此时t 的值？
（3）是否存在时刻某个t ，使S △DOP =
52
S △PCQ ？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由；
（4）当t 为何值时，△DPQ 是以DQ 为腰的等腰三角形?
27．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
28．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元时，日盈利为w元.据此规律，解决下列问题：
（1）降价后每件商品盈利元，超市日销售量增加件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？
29．解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
30．如图，某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为7m．
（1）若生物园的面积为9m2，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？
（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？
31．（1）如图①，AB为⊙O的直径，点P在⊙O上，过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q．说明△APQ∽△ABP；
（2）如图②，⊙O的半径为7，点P在⊙O上，点Q在⊙O内，且PQ＝4，过点Q作PQ 的垂线交⊙O于点A、B．设PA＝x，PB＝y，求y与x的函数表达式．
32．如图，E是正方形ABCD的CD边上的一点，BF⊥AE于F，
(1)求证：△ADE∽△BFA；
(2)若正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，求△BFA的面积，
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
x x-=的两根,再利用韦达定理即可求解.
根据题干可以明确得到p,q是方程2330
【详解】
x x-=的两根,
解：由题可知p,q是方程2330
∴3,
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键. 2．A
解析：A
【解析】
【分析】
作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图，连接OA，
设圆的半径为r ，则OE=r-2，
∵弦AB CD ⊥,
∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：()2
2242r r =+-，
解得：r=5，
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答. 3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，
∵DF=CF ，BE=CE ， ∴
12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13
DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，
∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，
∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，
∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，
∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴
12
EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =,
∴18EFC ABCD S
S =四边形, ∴1176824
AGH EFC ABCD S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC ，∠ACB=2∠ICB ，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB ，求出∠ACB+∠ABC 的度数即可；
【详解】
解：∵点I 是△ABC 的内心，
∴∠ABC ＝2∠IBC ，∠ACB ＝2∠ICB ，
∵∠BIC ＝130°，
∴∠IBC +∠ICB ＝180°﹣∠CIB ＝50°，
∴∠ABC +∠ACB ＝2×50°＝100°，
∴∠BAC ＝180°﹣（∠ACB +∠ABC ）＝80°．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案.
【详解】
解：()2
261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）；
A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；
B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；
C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；
D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
6．D
解析：D
【解析】
试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，
最中间的数是9，则中位数是9；
10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；
故选D ．
考点：众数；中位数．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D ．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出αβ+的值．
【详解】
解：∵α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根 ∴212αβ-+=-
= 故选C ．
【点睛】
此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=b a
-是解决此题的关键．
解析：D
【解析】
【分析】
首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.
【详解】
将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+=
∴x = ∵15x <<
∴54t -<≤
故答案为D .
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：将点（m ，3m ）代入反比例函数k y x
=
得， k=m•3m=3m 2＞0；
故函数在第一、三象限，
故选B ． 11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据因式分解法，可得答案．
【详解】
解：2x x =，
方程整理，得，x 2-x=0
因式分解得，x （x-1）=0，
于是，得，x=0或x-1=0，
解得x 1=0，x 2=1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
x 2﹣3x ＝0，
x （x ﹣3）＝0，
x ＝0或x ﹣3＝0，
x 1＝0，x 2＝3．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
二、填空题
13．【解析】
【详解】
∵，
由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，
∴它的内切圆半径，
解析：【解析】
【详解】
∵22251213+=，
由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形， ∴它的内切圆半径5121322
r +-==， 14．【解析】
【分析】
根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.
【详解】
根据题意：平移后的抛物线为.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关
解析：()2
231y x =-+-
【解析】
【分析】
根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.
【详解】
根据题意：平移后的抛物线为()2231y x =-+-.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键. 15．4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD ⊥BC ，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt △OBD 中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD ⊥BC ，
∴BD=CD=
12BC=3， ∵OB=12
AB=5， ∴
在Rt △OBD 中，=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
16．①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-=1，
∴ab＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+b
解析：①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-
2b a
=1， ∴ab ＜0，①正确； ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；
∵当x=1时，y ＜0，
∴a+b+c ＜0，③错误；
由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；
当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
17．3
【解析】
【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】
解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，
∴＝，
解得：AD ＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题
解析：3
【解析】
【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】 解：∵
AD AB ＝AE AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226
， 解得：AD ＝3，
故答案为：3．
【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
18．5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
19．6
【解析】
【分析】
将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．
解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；
故原方程为：，
解方程得：．
故答案为：6
解析：6
【解析】
【分析】
将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．
【详解】
解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；
故原方程为：24120x x --=，
解方程得：122,6x x =-=．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．
20．【解析】
【分析】
根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.
【详解】
根据二次函数的图象可知：
对称轴为，已知一个点为，
根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称
解析：20x -<<
【解析】
【分析】
根据3y >，则函数图象在直线3y =的上方，所以找出函数图象在直线3y =的上方x 的取值范围即可.
【详解】
根据二次函数的图象可知：
对称轴为1x =-，已知一个点为()03，
， 根据抛物线的对称性，则点()03，
关于对称性对称的另一个点为()23-，， 所以3y >时，x 的取值范围是20x -<<．
故答案为：20x -<<．
本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对
称轴求出点()03，
的对称点是解题的关键． 21．【解析】
【分析】
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】
圆锥的底面周长cm ，
设圆锥的母线长为，则： ，
解得，
故答案为．
【点睛】
本
解析：【解析】
【分析】
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】
圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，
设圆锥的母线长为R ，则：
1204180
R ππ⨯=， 解得6R =，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 22．=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
=31.5
故答案为：=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的
解析：()2
561x -=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
()2
561x -=31.5
故答案为：()2561x -=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 23．﹣1＜x ＜3
【解析】
【分析】
先求出函数与x 轴的另一个交点，再根据图像即可求解.
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，
而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x 轴的另一个
解析：﹣1＜x ＜3
【解析】
【分析】
先求出函数与x 轴的另一个交点，再根据图像即可求解.
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，
而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∵当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，
∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为﹣1＜x ＜3．
故答案为﹣1＜x ＜3．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是求出函数与x 轴的另一个交点.
24．0
【解析】
把x ＝1代入方程得，，
即，
解得.
此方程为一元二次方程，
，
即，
故答案为0.
解析：0
【解析】
把x ＝1代入方程得，2110k k -+-=，
即20k k -=，
解得120,1k k ==.
此方程为一元二次方程，
10k ∴-≠，
即1k ≠，
0.k ∴=
故答案为0.
三、解答题
25．（1）∴x 1＝2，x 2＝5；（2）12
-
【解析】
【分析】
（1）用因式分解法解一元二次方程；
（2）先将特殊角三角形函数值代入，然后进行实数的混合运算．
【详解】
解：（1）27100x x -+= (2)(5)0x x --=
∴x 1＝2，x 2＝5
（2）cos60tan 4545︒⨯︒-︒
1
12=⨯ 12
=-．
【点睛】 本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键． 26．（1）D （2，4）；（2）52
t =；（3）存在，t 的值为2 ；（4）当15t =或22511t =或3256t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形 【解析】
【分析】
（1）由题意得出点D 的纵坐标为4，求出y=2x 中y=4时x 的值即可得；
（2）由PQ ∥OD 证△CPQ ∽△COD ，得CQ CP CD CO
=，即555t t -=，解之可得； （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ，DF ⊥OC 交OC 与点E 、F ，对于直线y=2x ，令y=4求出x 的值，确定出D 坐标，进而求出BD ，BC 的长，利用勾股定理求出CD 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE 与三角形CDF 相似，由相似得比例表示出QE ，由底PC ，高QE 表示出三角形PQC 面积，再表示出三角形ODP 面积，依据S △DOP =
52
S △PCQ 列出关于t 的方程，解之可得；
（4）由三角形CQE 与三角形CDF 相似，利用相似得比例表示出CE ，PE ，进而利用勾股定理表示出PQ 2，DP 2，以及DQ ，分两种情况考虑：①当DQ=DP ；②当DQ=PQ ，求出t 的值即可．
【详解】
解：（1）∵OA =4
∴把4y =代入2y x =得2x =
∴D （2，4）．
（2）在矩形OABC 中，OA =4，OC=5
∴AB =OC =5，BC =OA =4
∴BD =3，DC =5
由题意知：DQ =PC =t
∴OP =CQ =5-t
∵PQ ∥OD
∴CQ CP CD CO
=
∴555
t t -= ∴52
t = ． （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ， DF ⊥OC 交OC 与点E 、F
则DF =OA =4
∴DF ∥QE
∴△CQE ∽△CDF
∴QE CQ DF CD = ∴545
QE t -= ∴455t QE -=
（） ∵ S △DOP =52
S △PCQ ∴151********
t t =t （）（）--⨯⨯⨯ ∴12t =，25t =
当t =5时，点P 与点O 重合，不构成三角形，应舍去 ∴t 的值为2．
（4）∵△CQE ∽△CDF
∴QE CQ DF CD
= ∴4(5)5
QE t =- 38(5)355
PE t t t =--=- ∴222216(5)816(3)16252555
t PQ t t t -=+-=-+ 2224(3)DP t =+-
2DQ t =
①当DQ PQ =时，221616255
t t t =-+，
解之得：1225511
t ,t == ②当DQ DP =时，2224(3)t t +-=
解之得：256
t = 答：当15t =或22511t =
或3256t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形． 【点睛】
此题属于一次函数的综合问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解本题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）
2933()22cm . 【解析】
【分析】
（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可． （2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案． 【详解】 解：（1）证明：连接OD ，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD ⊥DP ．
∵OD 为半径，
∴DP 是⊙O 切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ，
∴OP=6cm ，由勾股定理得：3cm ．
∴图中阴影部分的面积
221603933333()236022
ODP DOB S S S cm 扇形
28．（1）(30-x );10x ；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元.
【解析】
【分析】
（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x 元，超市平均每天可多售出10x 件；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w ，化为一般式后，再配方可得出结论．
【详解】
解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x 件；
（2）设每件商品降价x 元时，利润为w 元
根据题意得：w =(30-x )(100+10x )= -10x 2+200x +3000=-10(x -10)2+4000
∵-10<0，∴w 有最大值，
当x =10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；
答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w 关于x 的二次函数解析式是解题的关键．
29．（1）y 1＝3，y 2＝﹣1；（2）x 1＝
16+，x 2＝16． 【解析】
【分析】
（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）（y ﹣1）2﹣4＝0，
（y ﹣1）2＝4，
y ﹣1＝±2，
y ＝±2+1，
y 1＝3，y 2＝﹣1；
（2）3x 2﹣x ﹣1＝0，
a ＝3，
b ＝﹣1，
c ＝﹣1，
△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
x ，
x 1x 2 【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
30．（1）3m ；（2）生物园垂直于墙的一边长为2m ．平行于墙的一边长为6m 时，围成生物园的面积最大，且为12m 2
【解析】
【分析】
（1）设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为（12－3x ）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为9平方米，列出方程，解方程即可；
（2）设围成生物园的面积为y ，由题意可得：y ＝x （12﹣3x ）且
53
≤x ＜4，从而求出y 的最大值即可．
【详解】
设这个生物园垂直于墙的一边长为xm ，
（1）由题意，得x （12﹣3x ）＝9，
解得，x 1＝1（不符合题意，舍去），x 2＝3，
答：这个生物园垂直于墙的一边长为3m ；
（2）设围成生物园的面积为ym 2．
由题意，得()()21233212y x x x -+==--， ∵12371230x x -≤⎧⎨-⎩
＞ ∴53
≤x ＜4 ∴当x ＝2时，y 最大值＝12，12﹣3x ＝6，
答：生物园垂直于墙的一边长为2m ．平行于墙的一边长为6m 时，围成生物园的面积最大，且为12m 2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是正确解读题意，根据题目给出的条件，准确列出方程和二次函数解析式．
31．（1）见解析；（2）56y x
=
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可证∠APB ＝90°,再根据相似三角形的判定方法：两角对应相等，两个三角形相似即可求证结论；
（2）连接PO ，并延长PO 交⊙O 于点C ，连接AC ，根据圆周角定理可得∠PAC ＝90°，∠C ＝∠B ，求得∠PAC ＝∠PQB ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图①所示：
∵AB 为⊙O 的直径
∴∠APB ＝90°
又∵PQ ⊥AB
∴∠AQP ＝90°
∴∠AQP ＝∠APB
又∵∠PAQ ＝∠BAP
∴△APQ ∽△ABP ．
（2）如图②，连接PO ，并延长PO 交⊙O 于点C ，连接AC ．
∵PC 为⊙O 的直径
∴∠PAC ＝90°
又∵PQ ⊥AB
∴∠PQB ＝90°
∴∠PAC ＝∠PQB
又∵∠C ＝∠B （同弧所对的圆周角相等）
∴△PAC ∽△PQB ∴=PA PC PQ PB
又∵⊙O 的半径为7，即PC ＝14，且PQ ＝4，PA ＝x ，PB ＝y ∴144x y
= ∴56y x
=
． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定及其性质，圆周角定理及其推论，解题的关键是综合运用所学知识．
32．（1）见详解；（2）45
【解析】
【分析】
（1）根据两角相等的两个三角形相似，即可证明△ADE ∽△BFA ；
（2）利用三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答．
【详解】
（1）证明：∵BF ⊥AE 于点F ，四边形ABCD 为正方形，
∴△ADE 和△BFA 均为直角三角形，
∵DC ∥AB ，
∴∠DEA=∠FAB ，
∴△ADE ∽△BFA ；
（2）解：∵AD=2，E 为CD 的中点，
∴DE=1，
∴
，
∴2
AE AB =， ∵△ADE ∽△BFA ，
∴245BFA ADE S S ∆∆==， ∵S △ADE =
12×1×2=1， ∴S △BFA =45S △ADE =45
． 【点睛】
本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟记相似三角形的判定是解决第（1）小题的关键；第（2）小题中，利用相似三角形的面积比是相似比的平方是解决此题的关键．。