河南省2012届高三普通高中毕业班高考适应性测试 数学文

河南省
2012年普通高中毕业班高考适应性测试
数 学 试 题（文）
本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题）两部分.考生
作答时,将答案答在答题卡
上(答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{|3},{1,0,1}x
M y R y N =∈==-,则下列结论正确的是 ( ）
A ．{0,1}M
N = B ．(0,)M
N =+∞
C ．()(,0)R
C M N =-∞
D ．()
{1,0}R
C M N =-
2．i 是虚数单位，复数2
1z i
=
+的虚部是 ( ）
A ．0
B ．-1
C ．1
D ．—i
3．如图是2012年某市元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评 委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最 低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）
A ．84，0。

4
B ．84.8，0.64
C ．85，3。

2
D ．85.8，4 4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是
( )
A ．ln .y x =-
B ．2
y x
= C ．||
2
x y -=
D ．cos .y x =
5．阅读右面的程序框图,若输入8,2a b ==，则输出的结果是( ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．已知函数(),(0,)(0)m f x x x m x
=+∈+∞>,若不等式()4f x <的解集是空集，则
( ) A ．4m ≥
B ．2m ≥
C ．4m ≤
D ．2m ≤ 7．函数(01)||
x
xa y a x =<<的图象大致形状是
（ ）
8．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则cos 2θ= （ ）
A ．35
B ．12
C ．35
-
D ．12
-
9．设实数x ，y 满足2
21x
y +≤，则点(,)x y 不在区域11,
11
x y x y -≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩内的概率是 （ ） A ．1
B ．21-
C ．2
D ．1
10．已知平面向量,(0,)a b a a b ≠≠，满足||3a =,且b 与b-a 的夹角为30︒，则｜
b ｜的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．将函数sin()3
y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变）,再将所得的图象向左平移3
π个单位,得到的图象对应
的解析式是
（ )
A ．1sin 2
y x = B ．1sin()2
2
y x π=-
C ．1sin()26
y x π=-
D ．sin(2)6
y x π=-
12．已知
F 1，F 2分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点,P
为双曲
线上的一点，若1
2
90F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双
曲线的离心率是 ( ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，
每个试题考生都必须做答。

第
22～24题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。

13．命题“存在x R ∈，使得|1||1|3x x --+>”的否定是 。

14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：
cm ），可得这个几何体的表面积是 cm 2。

15．经过点P （0，-1）作圆2
2:670C x
y x +-+=的切线，切点为A ，则切
线PA 的长为 。

16．已知ABC ∆的,,A B C ∠∠∠对边分别为a,b ，c ，ab=4且2
2(2),a
c a b b ABC
-=-∆则的面积为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{}n
a 的首项11a
=，且满足*1().41
n
n n a a n N a +=
∈+
（1）设1
n
n
b
a =
，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式;
(2）设2n n
n c
b =⋅，求数列{}n
c 的前n 项和.n
S
18．（本小题满分12分）
某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔
试成绩，按成绩分组,得到的频率分布表如下左图所示．
(I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、
4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、
5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试,求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率?
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形,已知BD =2AD =8,AB =2DC =45。

（I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD; （Ⅱ)求三棱锥C-PAB的体积
20．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为13,椭圆上的点到右焦点
F 的
最近距离为2，若椭圆C 与x 轴交于A 、B 两点，M 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）试探求FG FH ⋅是否为定值？若是，求出此定值,若不是说明理
由。

21．（本小题满分12分） 设函数2
1()ln .2
f x x ax
bx =--
（1）已知()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程是21,y x =-求实数a ，b 的值。

(2）若方程2
()(0)f x x λλ=>有唯一实数解，求实数λ的值。

请考生在第（22)、（23)、（24）三题中任选一题做答,如果多做，
则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知ABC ∆中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，连结OE 。

若3,30CD ACB =∠=︒，分别求
AB ，OE 的长。

23．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为
()6
R π
θρ=
∈，曲线
C 1,C 2相交于点M,N 。

(1)将曲线C 1,C 2的极坐标方程化为直角坐标方程; （2）求线段MN 的长。

24．（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 设函数()|31| 3.f x x ax =-++
（1）若a=1，解不等式()5f x ≤；
（2）若函数()f x 有最小值,求实数a 的取值范围。

参考答案
一、选择题
（13） “对于任意的x ∈R ，都有113x x --+≤” （14）3232π+-
（15）
22
（16)
2
三、解答题 （17）解：
（Ⅰ）141n
n n a a
a +=
+,1114n n
a a +=+，
111
4n n
a a +-=,14n n
b b +∴-=. 数列{}n
b 是以1为首项，4为公差的等差数
列．……………………………………3分
1
14(1)n n
b n a ==+-，则数列{}n a 的通项公式为143n a n =
-．………………… 6分 (Ⅱ）12325292(43)2n n
S n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-……………①
2341225292(43)2n n S n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-……………… ② ②-
①并
化
简
得
1(47)214n n S n +=-+． (12)
分
（18）解:
（Ⅰ）由题意知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, 第3组的频率为30
0.300100
=,
频率分布直方图如下：
………………………4分
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组
分别为:
第3组：306360
⨯=人。

第4组:206260
⨯=人。

第5组：106160
⨯=人,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

…………………………………………8分
（Ⅲ)设第3组的3位同学为1
2
3
,,A A A ,第4组的2位同学为1
2
,B B ，第
5组的1位同学为1
C ,
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如
下:1
2
(,),A A 1
3
(,),A A 1
1
(,),A B 1
2
(,),A B 1
1
(,),A C 2
3
(,),A A 2
1
(,),A B 2
2
(,),A B 2
1
(,),A C
31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C 其中第4组的2位同学至少有一
位同学
入选的有:1
1
(,),A B 1
2
(,),A B 2
1
(,),A B 2
2
(,),A B 3
1
(,),A B 1
2
(,),B B 3
2
(,),A B 1
1
(,),B C 2
1
(,),B C
共9种．
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为
93
.155
=………………12分
（19)证明：
(Ⅰ)在ABD △中,由于
4AD =，8BD =,AB = 所
以
222
AD BD AB +=．故
AD BD ⊥． (2)
分
又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,BD ⊂平面ABCD , 所
以
BD ⊥
平面
PAD .
(4)
分 又
BD ⊂
平
面
MBD
，
故
平面
MBD ⊥
平
面
PAD ． (6)
分
(Ⅱ）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．
因此PO 为棱锥P －ABC 的高。

………………8分
又PAD △是边长为4的等边三角形．
因此4PO == 又1
162
ABC
ABD S
S AD BD ∆∆==
⋅=，………10分
V V ∴==
棱锥棱锥C-PAB
P-ABC 11633
⨯⨯=……………………………………12分 （20)解：
（Ⅰ）由题意得
1
,
32
c a a c ⎧=⎪⎨
⎪-=⎩1,3.c a =⎧⇒⎨=⎩……………………………………………………………………2分
B
22
1.98
x y +=…………………………………………………………4分
（Ⅱ)设,,M A B 的坐标分别为0
(,)M x y 、)0,3(-A 、(3,0),B
则
直线
MA
的方程为：
0(3)3
y y x x =
++………………………………………………6分 令
9
x =得
012(9,
)3
y G x +,同理
得
06(9,
).3
y H x -………………………………………8分 M
在椭圆上，
所以
222
2
000018(1).989
x y x y +=⇒=-………………………………10分
所以2
000220000
2
7261272(8,)(8,)64640.338(1)
999y y y FG FH x x x x x ⋅⋅=⋅=+=--+=-+-
所以
FG FH
⋅为定值
0. ………………………………………………………………12分 （21）解：（Ⅰ）当1x =时,1y =，∴()1112
f a b =--=.
∵b ax x
x f --=1)('，即()112'
f a b =--=，∴01a ,b .==-…………………4分(Ⅱ)因为方程2
f (x )x =λ有唯一实数解，
所以
20
x ln x x λ--=有唯一实数
解.…………………………………………………6分 设2
g(x )x ln x x =λ--，
则221
()x x g'x x
λ--=．令0)('=x g ，2210x x λ--=．
因为0λ>，所以△=18+λ>0，方程有两异号根设为1200x ,x <>，因为x 〉
0，所以1x 应舍去。

当),0(2
x x ∈时，0)('<x g ，)(x g 在(0，2
x )上单调递减;
当),(2
+∞∈x x 时，()0g x '>，)(x g 在(2
x ,+∞)单调递增.
当
2
x x =时,
2()
g x '=0
，
)
(x g 取最小值
)(2x g ．……………………………………8分
因为0)(=x g 有唯一解,所以0)(2
=x g .
则
⎩⎨
⎧==,
0)(',0)(22x g x g 即
22222
220210x ln x x ,
x x .
⎧λ--=⎪⎨λ--=⎪⎩………………………………………………10分
因为0λ>，所以2
22ln 10.x x +-=(*）
设函数1ln 2)(-+=x x x h 。

因为当0>x 时，)(x h 是增函数,所以0)(=x h 至多有一解．
因为0)1(=h ，所以方程（＊)的解为2
1.x =
代入方程组解得
1λ=． (12)
分
（22)解：
BC AB ACB ==∠,30 ， 30=∠∴CAB .
又因AB 是⊙O 的直径， 所以
90=∠ADB ，
60=∠ABD .
又因OD OB =,
BD OD OB AB 222===∴，3==DC AD 。

所以2=AB 。

A
O
B
E
D
C
1===∴BD OD OB .
……………………………………………………
…………6分
30=∠ACB ,2
3,60=
=∠∴DE CDE 。

OD OA = ， 30=∠∴ADO ， 90=∠∴ODE ，OE ∴==……10分
（23）解：
（Ⅰ）由
θ
ρsin 4=得，θ
ρρsin 42
=即曲线1
C 的直角坐标方程为
422=-+y y x ，
由
()
6
π
θρ=
∈R 得
，
.y x =
………………………………………………………5分
（Ⅱ）把x y 33=
代入0422=-+y y x 得03
343122=-+x x x ，
240.33
x x -=即解得01=x ，32=x 。

所以
01
=y ，12=y ， 2.MN ==…………………………………………
10分
（24)解：
（Ⅰ)1a =时,()|31|3f x x x =-++.
当1
3
x ≥时,()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤；
当13
x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得11
23x -<≤。

综上可得,原不等式的解集为
13
{|}.24
x x -≤≤ (5)
分
（Ⅱ）1(3)2,()3
()|31|31(3) 4.()
3a x x f x x ax a x x ⎧
++⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩≥
函数
()
f x 有最小值的充要条件为
30,
30,
a a +⎧⎨
-⎩≥≤即
3 3.a -≤≤ (10)
分。