湖北省黄冈市蕲春县2019-2020学年九年级期末数学试题(解析版)

湖湖湖湖湖湖湖湖湖2019-2020湖湖湖湖湖湖湖湖湖湖湖
一．选择题（共8小题）
1.观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：将一个图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合，则这个图形就是中心对称图形. 考点：中心对称图形
2.已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( )
A. ﹣1
B. 2
C. ﹣1或3
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可．
【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2，
解得：a=-1，
故选A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3.下列事件是必然事件的是（）
A. 有两边及一角对应相等的两三角形全等
B. 若a2＝b2则有a＝b
C. 方程x2﹣x+1＝0有两个不等实根
D. 圆的切线垂直于过切点的半径
【答案】D
【解析】
【分析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义进行解答即可.
【详解】解：A、有两边及一角对应相等的两三角形全等是随机事件，故A错误；
B、若a2＝b2则有a＝b是随机事件，故B错误；
C、方程x2﹣x+1＝0有两个不等实根是不可能事件，故C错误；
D、圆的切线垂直于过切点的半径是必然事件，故D正确；
故选答案为D．
【点睛】本题考查了随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念及其区别与联系是解答本题的关键.
4.函数y＝kx2＝4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（）
A. k＝2
B. k＝2 且k≠0
C. k≤2
D. k≤2 且k≠0
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△=＝-4＝2-4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【详解】解：∵y=kx2-4x+2为二次函数，
∴k≠0＝
∵二次函数y=kx2-4x+2的图象与x轴有公共点，
∴△=＝-4＝2-4k×2≥0，解得k≤2＝
综上所述，k的取值范围是k≤2且k≠0＝
故答案是：D＝
【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x轴的交点问题，解题关键是熟记对于二次函数y=ax2+bx+c＝a＝b＝c 是常数，a≠0＝＝△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△=b2-4ac＝0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2-4ac＝0时，抛物线与x轴没有交点．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）
A. （﹣1）
B. （﹣2
C. （1）
D. （2）
【答案】A
【解析】
【分析】
作CH ⊥x 轴于H ，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A （2，，再利用旋转的性质得，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt △CBH 中，利用含30度的直角三角形三边的关
系可计算出CH=12，所以OH=BH-OB=3-2=1，于是可写出C 点坐标． 【详解】作CH ⊥x 轴于H ，如图，
∵点B 的坐标为（2，0），AB ⊥x 轴于点B ，
∴A 点横坐标为2，
当x=2时，，
∴A （2，，
∵△ABO 绕点B 逆时针旋转60°得到△CBD ，
∴ABC=60°，
∴∠CBH=30°，
在Rt △CBH 中，CH=
12 ，
OH=BH-OB=3-2=1，
∴C （-1．
故选A ．
6.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =．下列结论：①0abc <；②30a c +>；
③()2
20a c b +-<；④()a b m am b +≤+(m 为实数)．其中结论正确的个数为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】 ①由抛物线开口方向得到0a >，对称轴在y 轴右侧，得到a 与b 异号，又抛物线与y 轴正半轴相交，得到0c >，可得出0abc <，选项①正确；
②把2b a =-代入0a b c -+>中得30a c +>，所以②正确；
③由1x =时对应的函数值0<，可得出0a b c ++<，得到a c b +<-，由0a >，0c >，0b ->，得到()220a c b +-<，选项③正确；
④由对称轴为直线1x =，即1x =时，y 有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴0a >，
∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴0b <，
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴0c >，
∴0abc <，①正确；
②当1x =-时，0y >，∴0a b c -+>， ∵b 12a
-=，∴2b a =-， 把2b a =-代入0a b c -+>中得30a c +>，所以②正确；
③当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，
∴a c b +<-，
∵0a >，0c >，0b ->，
∴()()22a c b +<-，即()220a c b +-<，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线1x =，
∴1x =时，函数的最小值为a b c ++，
∴2a b c am mb c ++≤++，
即()a b m am b +≤+，所以④正确．
故选D ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点． 7.如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数k y x
=
在第一象限的图象经过点B ，则OAC ∆和BAD ∆的面积之差OAC BAD S S ∆∆-为( )
A. 2k
B. 6k
C. 12k
D. k
【答案】C
【解析】
【分析】
设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B 的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k 的几何意义以及点B 的坐标即可得出结论．
【详解】设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，
则点B 的坐标为(a +b ,a −b ).
∵点B 在反比例函数k y x
=的第一象限图象上， ∴22()().a b a b a b k +⨯-=-= ∴22221111.222()2
S OAC S BAD a b a b k -=-=-=V
V 故选C. 【点睛】考查反比例函数系数k 的几何意义, 等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键. 8.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，∠BAD ＝120°，点E 从点B 出发，沿BC 和CD 边移动，作EF ⊥直线AB 于点F ，设点E 移动的路程为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
就点E 在BC 和CD 上，分两种情况求出y 与x 的关系即可解答.
【详解】解：＝当E 在BC 边上时，
y ＝S 菱形ABCD ﹣S ＝BEF ﹣S ＝ADF ﹣S ＝DEC ＝2×4×32﹣12 •2x •2x ﹣12•（3﹣12x ）•2﹣12•（3﹣x ）•2
＝﹣8
x 2x ． ＝当点E 在CD 上时，
y ＝12•（6﹣x ）•4＝﹣4
x ， 故答案为C ．
【点睛】本题考查动点问题函数图像、分段函数、菱形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建分段函数解决实际问题.
二．填空题（共8小题）
9.点P （2a +1，4）与P '（1，3b ﹣1）关于原点对称，则2a +b ＝_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点对应坐标为0，求出a 、b ，然后代入求值即可.
【详解】解：＝点P （2a +1，4）与P '（1，3b ﹣1）关于原点对称，
＝2a +1＝﹣1，3b ﹣1＝﹣4，
解得：2a ＝﹣2，b ＝﹣1，
＝2a +b ＝﹣2﹣1＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标特点以及代数式求值，根据关于原点对称点的坐标特点求出a 、b 的值是解答本题的关键.
10.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为
______________.
【答案】16
【解析】
分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为16．
点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
11.把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析式为y=x2-2x+3,则b的值为__.
【答案】4
【解析】
【分析】
首先根据点的坐标平移规律是上加下减，左加右减，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．
【详解】∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
∴新抛物线的顶点为（1，2），
∵向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴原抛物线顶点坐标为（﹣2，0），
∴原抛物线解析式为y=（x+2）2=x2+4x+4，
∴b=4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了平移规律，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原抛物线的解析式．
12.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，
若点F是DE的中点，连接AF，则AF=___．
【答案】5
【解析】
试题分析：作FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F是DE的中点，
∴FG∥CD
∴GF=1
2
CD=
1
2
AC=3
EG=1
2
EC=
1
2
BC=2
∵AC=6，EC=BC=4
∴AE=2
∴AG=4
根据勾股定理，AF=5．
考点：旋转的性质
13. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是________．
【答案】
【解析】
列举出所有情况，看指针所指区域内的数字之和为4的情况数占总情况数的多少即可．解：
共有6种情况，和为4的情况数有2种，所以概率为1
3
；
故答案为1
3
．
14.如图，已知点A1、A2、A3、…、A n在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1，分别过点A1、A2、
A3、……、A n作x轴的垂线，交反比例函数y＝2
x
（x＞0）的图象于点B1、B2、B3、…、B n，过点B2作B2P1⊥A1B1
于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2，…，若记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2，…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+…+S2019＝_____．
【答案】2019 2020
．
【解析】
【分析】
由反比例函数图像上点的坐标特征可得：B1、B2、B3、…、B n的坐标，从而可得出B1P1、B2P2、B3P3、…、
B n P n的长度，根据三角形的面积公式即可得出S n＝1
2
A n A n+1•
B n P n＝
1
n(n1)
+
，将其代入S1+S＝+…+S2019中
即可解答.
【详解】解：根据题意可知：点B1（1，2）、B2（2，1）、B3（3，2
3
）、…、B n（n，
2
n
），
＝B1P1＝2﹣1＝1，B2P2＝1﹣21
33
=，B3P3＝
211
326
-=，…，B n P n＝
222
1(1)
n n n n
-=
++
，
＝S n＝1
2
A n A n+1•
B n P n＝
1
n(n1)
+
，
＝S1+S2+…+S2019＝
1111 122334(1)
n n
++++
⨯⨯⨯+
K
＝1﹣1111111 2233420192020 +-+-++-
L
＝1﹣
1 2020
＝2019 2020
．
故答案为：2019 2020
．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形的面积，根据反比例函数图象上点的坐标
特征结合三角形的面积得到S n＝1
2
A n A n+1•
B n P n＝
1
n(n1)
+
，是解题的关键.
15.将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为_____．
【答案】﹣12或﹣73
4
．
【解析】
【分析】
如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图像有3个交点，即可求解.
【详解】解：如图所示：
过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
＝＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣73
4
，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣73
4
；
故答案是：﹣12或﹣73
4
．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，画出图像确定临界点在图像上的位置是解答本题的关键.
16.如图，在⊙O中，点C在优弧¼
ACB上，将弧沿»BC折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O
AB＝4，则BC的长是_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE＝AB于E，OF＝CE于F，利用重径定理可得OD⊥AB，则AD=BD=
1
2
AB,再根据勾股定理可得OD=1，又由折叠的性质可得»AC＝»CD所在的圆为等园，则根据圆周角定理得到AC=CD，所以AC=DC，利再根据等腰三角形的性质可得AE=DE=1，通过证明四边形ODEF为正方形得
到OF=EF=1，最后通过计算CF，得到CE=BE=3，于是得到．.
【详解】解：
连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE＝AB于E，OF＝CE于F，如图，
＝D为AB的中点，
＝OD＝AB，
＝AD＝BD＝1
2
AB＝2，
在Rt＝OBD中，OD1，
＝将弧沿»BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
＝弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
＝»AC＝»CD，
＝AC＝DC，
＝AE＝DE＝1，
易得四边形ODEF为正方形，
＝OF＝EF＝1，
在Rt＝OCF中，CF2，
＝CE＝CF+EF＝2+1＝3，
而BE＝BD+DE＝2+1＝3，
＝BC＝．
故答案．
【点睛】本题考查了折叠的性质，理解折叠前后图形的形状和大小不变、仅仅位置发生变化是解答本题的
关键.
三．解答题（共9小题）
17.解方程：
（1）（x +3）2＝2x +5
（2）3x 2﹣1＝6x （用配方法）
【答案】（1）x 1＝x 2＝﹣2；（2）x 1＝1+
3，x 2＝1﹣3
． 【解析】
【分析】
（1）先将原方程化成一般式，在采用配方法解答即可；
（2）采用配方法将方程左边化成完全平方式，再运用直接开平方法解答即可.
【详解】解：（1）（x +3）2＝2x +5，
x 2+6x +9＝2x +5，
x 2+4x +4＝0，
（x +2）2＝0，
x 1＝x 2＝﹣2；
（2）3x 2﹣1＝6x ，
3x 2﹣6x ﹣1＝0， x 2﹣2x ＝
13
， x 2﹣2x +1＝13
+1， （x ﹣1）2＝43，
x ﹣1＝，
x 1＝1+3，x 2＝1﹣3
． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解答的关键在于掌握将方程左边化成完全平方式，然后再采用直接开平方法进行解答.
18.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x+a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）若a 为正整数，求a 的值；
（2）若x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，求a 的值．
【答案】（1）a ＝1，2；（2）a ＝﹣1．
【解析】
【分析】
（1）根据关于x 的一元二次方程x 2-2（a -1）x+a 2-a -2=0有两个不相等的实数根，得到△=[-2（a -1）]2-4（a 2-a -2）
＞0，于是得到结论；
（2）根据x 1+x 2=2（a -1），x 1x 2=a 2-a -2，代入x 12+x 22-x 1x 2=16，解方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x+a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等实数根， ∴△＝[﹣2（a ﹣1）]2﹣4（a 2﹣a ﹣2）＞0，
解得：a ＜3，
∵a 为正整数，∴a ＝1，2；
（2）∵x 1+x 2＝2（a ﹣1），x 1x 2＝a 2﹣a ﹣2，
∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，
∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2＝16，
∴[2（a ﹣1）]2﹣3（a 2﹣a ﹣2）＝16，
解得：a 1＝﹣1，a 2＝6，
∵a ＜3，∴a ＝﹣1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a 的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
19.在同一副扑克牌中取出6张扑克牌，分别是黑桃2、4、6，红心6、7、8.将扑克牌背面朝上分别放在甲、乙两张桌面上，先从甲桌面上任意摸出一张黑桃，再从乙桌面上任意摸出一张红心.
（1）表示出所有可能出现的结果；
（2）小黄和小石做游戏，制定了两个游戏规则：
规则1：若两次摸出的扑克牌中，至少有一张是“6”，小黄赢；否则，小石赢.
规则2：若摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时，小黄赢；否则，小石赢.
小黄想要游戏中获胜，会选择哪一条规则，并说明理由.
【答案】（1）：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（2）小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用列举法，列举所有的可能情况即可；
（2）分别求出至少有一张是“6”和摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时的概率，进行选择即可.
【详解】（1）所有可能出现的结果如下：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；
（1）摸牌的所有可能结果总数为9，至少有一张是6的有5种可能，
∴在规划1中，P （小黄赢）59
=； 红心牌点数是黑桃牌点数的整倍数有4种可能， ∴在规划2中，P （小黄赢）49=
. ∵5499
>，∴小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1. 【点睛】考查列举法以及概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
20.如图，在边长为1的正方形网格中，A （1，7）
、B （5，5）、C （7，5）、D （5，1）． （1）将线段AB 绕点B 逆时针旋转，得到对应线段BE ．当BE 与CD 第一次平行时，画出点A 运动的路径，并直接写出点A 运动的路径长；
（2）线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．
【答案】（1；（2）旋转中心P 的坐标为（3，3）或（6，6）．
【解析】
【分析】
（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A 运动的路径为弧线，再运用弧长计算公式即可解答； （2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求.
【详解】解：（1）点A 运动的路径如图所示，出点A ；
（2）如图所示，旋转中心P 的坐标为（3，3）或（6，6）．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的关键.
21.当今，
越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．
【答案】（1）10500(3038)y x x =-+剟；（2）2a =．
【解析】
分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x -20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x -500a -10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2．
【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+剟
； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．
()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--剟
对称轴为x ＝35+
12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+
时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴122,
58a a ==（不合题意舍去）， ∴2a =．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
22.如图，一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与反比例函数(0)k y k x
=≠的图象交于第二、四象限内的点(,4)A a 和点(8,)B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC ∆的面积为4．
（1）分别求出a 和b 的值；
（2）结合图象直接写出k mx n x
+<的解集； （3）在x 轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标． 【答案】（1）2a =-，1b =-；（2）20x -<<或8x >； （3）34(
,0)3P 【解析】
【分析】
（1）根据题意利用三角形面积公式求得2OC =，得到()2,4A -，将A 代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B 代入解析式，即可解答
（2）根据函数图象结合解析式即可判断
（3）作点B 关于x 轴的对称点'B ，直线'AB 与x 轴交于P ，得到()'8,1B ，设直线AP 的关系式为y kx b =+，把将 ()2,4A -，()'8,1B 代入得到解析式，即可解答
【详解】（1）∵点(),4A a ，
∴4AC =，
∵4AOC S ∆=，即
142
OC AC ⋅=， ∴2OC =，
∵点(),4A a 在第二象限，
∴2a =- ()2,4A -， 将()2,4A -代入k y x
=
得：8k =-， ∴反比例函数的关系式为：8y x =-， 把()8,B b 代入得：1b =-，
∴()8,1B -
因此2a =-，1b =-；
（2）由图象可以看出k mx n x
+<
的解集为：20x -<<或8x >； （3）如图，作点B 关于x 轴的对称点'B ，直线'AB 与x 轴交于P ， 此时PA PB -最大，
∵()8,1B -
∴()'8,1B
设直线AP 的关系式为y kx b =+，将 ()2,4A -，()'8,1B 代入得：2481k b k b -+=⎧⎨+=⎩
解得：310k =-，175
b =， ∴直线AP 的关系式为317105y x =-
+， 当0y =时，即3170105x -+=，解得343
x =，
∴
34
,0
3
P
⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式
23.如图1，已知点E为正方形ABCD对角线CA延长线上一点，过E点作EF⊥CB交其延长线于点F，且
EF＝4，AC
（1）如图1，连接BE，求线段BE的长；
（2）将等腰Rt△CEF绕C点旋转至如图2的位置，连接AE，M点为AE的中点，连接MD、MF，求MD 与MF的关系；
（3）将△CEF绕C点旋转一周，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为．
【答案】（1）5；（2）DM＝MF，DM⊥MF．（3）π．
【解析】
分析】
（1）连接BE，再求出BF的长，然后利用勾股定理进行解答即可；
（2）延长FM到P，使得MP=MF，连接PD、PF、PA，延长PA交CF于K.证明△PDF是等腰直角三角形即可完成解答；
（3）接AC，取AC的中点O，连接OM，由中位线定理可得，推出点M的运动轨迹是以O为
圆心，为半径的圆即可完成解答.
【详解】解：（1）如图1中，连接BE．
＝S四边形ABCD是正方形，
＝＝ACB＝45°，AB＝BC，＝ABC＝90°，
＝AC，
＝AB＝BC＝1，
＝EF＝CF，
＝＝F＝90°，
＝＝FCA＝＝F AC＝45°，
＝EF＝FC＝4，
＝FB＝3，
＝BE＝5．
（2）结论：MD＝MF，MD＝MF．
理由：延长FM到P，使得MP＝MF，连接PD，PF，P A，延长P A交CF于K．
＝EM＝MA，MF＝MP，＝EMF＝＝AMP，
＝＝EMF＝＝AMP（SAS），
＝P A＝EF＝CF，＝EFM＝＝APM，
＝PK＝EF，
＝EF＝CF，
＝PK＝CF，
＝＝AKC＝＝ADC＝90°，
＝＝DAK+＝DCK＝180°，
＝＝DAK+＝P AD＝180°，
＝＝P AD＝＝DCF，
＝CD＝DC，
＝＝P AD＝＝FCD（SAS），
＝DP＝DF，＝PDA＝＝FDC，
＝＝PDF＝＝ADC＝90°，
＝PM＝MF，
＝DM＝MF＝PM，DM＝FM．
＝DM＝MF，DM＝MF．
（3）连接AC，取AC的中点O，连接OM．
＝AM＝ME，AO＝OC，
＝OM＝1
2 EC，
＝EC＝，
＝OM＝＝定长，
＝点M的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆，当＝CEF绕C点旋转一周，M的轨迹为整个圆，
因此路径长为π，
故答案为π．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转变换、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性等知识，掌握添加常用辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键.
24.如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
(1)求证：AB＝CB；
(2)如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)S阴＝14
9π
.
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证明△ADE≌△BDC，可得∠ADE＝∠BDC，继而可得»»
AB BC
=，由此即可得证；（2）根据S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF，利用扇形公式进行计算即可.
【详解】(1)∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC(SAS)，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴»»
AB BC
=，
∴AB＝BC．
(2) S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝
2
35π4
360
⋅⋅
＝
14π
9
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质，扇形面积等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
25.已知二次函数图象的顶点坐标为M(1，0)，直线y x m
=+与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A 点的坐标为(3，4)，B点在y轴上．
（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；
（2）若P(a ，0) 是x 轴上的一个动点，过P 作x 轴的垂线分别与直线AB 和二次函数的图象交于D 、E 两点．
①当0<a < 3时，求线段DE 的最大值；
②若直线AB 与抛物线的对称轴交点为N ，问是否存在一点P ，使以M 、N 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 1m =；()21y x =- (2)①DE 有最大值
94②存在.（2，0），0），0）. 【解析】
【分析】
（1）将A 点坐标分别代入抛物线的直线，便可求出抛物线的解析式和m 的值；
（2）过A 作AH ⊥PM 于H ，利用△MAB 的面积=S 梯形BOHA -S △BOM -S △AMH 计算即可；
（3）①线段DE 的长为h ，根据P 点坐标分别求出DE 两点坐标，便可求出h 与a 之间的函数关系式，进而可求出线段DE 的最大值；
②存在一点P ，使以M 、N 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，要使四边形NMED 是平行四边形，必须DE=MN=2，由①知DE=|-a 2+3a|，进而求出a 的值，所以P 的坐标可求出．
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a （x -1）2，
∵点A （3，4）在抛物线上，则4=a （3-1）2，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x -1）2
∵点A （3，4）也在直线y=x+m ，即4=3+m ，
解得m=1；
（2）过A 作AH ⊥PM 于H ，
∵B（0，1），M（1，0），A（3，4），∴OB=1，OH=3，AH=4，
∴△MAB的面积=S梯形BOHA-S△BOM-S△AMH=7.5-1
2
×1×1-
1
2
×2×4=3；
（3）①已知P点坐标为P（a，0），则E点坐标为E（a，a2-2a+1），D点坐标为D（a，a+1），h=DE=y D-y E=a+1-（a2-2a+1）=-a2+3a，
∴h与a之间的函数关系式为h=-a2+3a=-（a-3
2
）2+
9
4
（0＜a＜3），
∴线段DE的最大值是9
4
；
②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
理由是∵M（1，0），
∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
即N（1，2），
∴MN=2，
要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，
由①知DE=|-a2+3a|，
∴2=|-a2+3a|，
解得：a1=2，a2=1，a3，a4，
∴（2，0），（1，0）（因为和M重合，舍去），0），，0）
∴P的坐标是（2，0），，0），，0）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练．。