2015年秋八年级数学上册13.4+课题学习+最短路径问题自我小测(含答案)新人教版
初中数学八年级上册课题学习_最短路径问题练习题含答案
初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（）A.4.8B.6C.10D.无法确定2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在矩形内部，且满足S PCD=1 4S长方形ABCD，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( )A.8B.10C.14D.2√133. 如图，直线l表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河l 上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（）A. B. C. D.4. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )A. B.C. D.5. 如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ//BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm．A.5√2B.√2C.4√2D.3√26. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15∘，P为CD上的动点，则|PA−PB|的最大值是（）A.4B.5C.6D.87. 如图，一个实心圆柱高8cm，底面周长为30cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）)cm C.√161cm D.2√241cmA.17cmB.(8+30π8. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A.√3B.3C.2D.√229. 如图，在长方体中，AB=5，BC=4，CC1=3，动点从A1出发沿长方体的表面运动到达C点，则动点的最短距离是()A.√90B.√80C.√78D.√7410. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.1211. 一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是(π取3)________．AC，AB=8，E是AB上12. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30∘，∠C=90∘．AD=14任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为________．13. 小明在广场上散步，先向东走12m后，再向北又走了9m，现要以最短距离________m回到原地．14. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=45∘，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于2，则AB=________．15. 对于平面直角坐标系中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“对称点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美对称点”．（1）如图1，点A坐标为(4,0)，有点Q1(0,4),Q2(2,−4)，Q3(1,√3)，则线段OA的“对称点”是________．（填“Q1”"Q2"或 "Q3"）(2)如图2，已知Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，D为线段OQ的中点，B为线段OA 的一个“对称点”，则BO+BD的最小值为________．16. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________.17. 圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是________．18. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF 交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为________．19. 如图，已知蚂蚁沿着长为2的正方体表面从点A出发，经过3个侧面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此经过3个侧面的最短路径长为________．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(3,0)，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为________.21. 如图，若∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，且OP=2cm，分别在OA、OB上找一点E，F使△PEF的周长最小，并求△PEF的周长最小值．22. 如图，有一个圆柱高为6cm，底面半径为2cm，圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底边与点A相对B处的食物，需要爬行的最短路程是多少(π取3)？23. 在直线m上找一点C，使CA+CB的值最小．24. 如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．25. 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图所示，在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．（1）蜘蛛要从点Q处沿圆柱体表面去吃点P处的苍蝇，请在图中大致画出蜘蛛爬行的最短路径；（2）求蜘蛛爬行的最短路径长．(π取3)26. 如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0, 2)的距离27. 已知抛物线y=14x2+1上一个与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(√3,3)，P是抛物线y=14动点．(1)若PF=5，求点P的坐标；(2)求△PMF周长的最小值.28. 同学们在灯管上缠绕5cm彩带．已知灯管长100cm，灯管截面圆的周长是15cm，彩带至少应剪多长？29. 如图所示，P、Q是△ABC中AB、AC边上的点，你能在BC边上确定一点R，使△PQR的周长最小吗？30. 如图，Q为马厩甲，AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流，放牧人欲从马厩甲牵马先去草地M处让马吃草，然后到河边N处饮水，最后回到马厩乙P．请你帮他确定一条最佳行走路线QM→MN→NP，使其所走路程最短.31. 判断说理：元旦联欢会上，八年级(1)班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．32. 如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=12cm，P是AB上的动点，Q是AD上的动点．P以1cm/s的速度从B到A，Q以2cm/s的速度从A到D，P到A（或Q到D）时停止运动．求PQ+QC最小值．33. 如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．34. 如图，在四边形ABCD中，P为BC的中点，试在CD边上找一点Q，使△APQ的周长最小．35.作图题：现要在形如△ABC的地面范围内建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．（要求：保留作图痕迹，并用适当的文字说明作图方法）36. 如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？(π取3)37. 在一条笔直公路上分布A，B，C，D，E五个工厂（各相邻工厂之间的距离均不相等），为方便这些工厂的员工，现要在公路上设一个汽车站，使各工厂到汽车站的距离之和最小．【简化分析】(1)假若由三个工厂A，B，C时，汽车站的位置有五种情形：①A厂门口，②AB之间，③B厂门口，④BC之间，⑤C厂门口.【分类讨论】①当车站设在A工厂门口时，则A厂到汽车站的距离为0，B厂到汽车站的距离为AB，C厂到汽车站的距离为AB＋BC，所以各工厂到车站的距离之和为________②当车站设在A，B两工厂之间的P点时，则A厂到汽车站的距离为AP，B厂到汽车站的距离为BP，C厂到汽车站的距离为BP+BC，所以各工厂到车站的距离之和为_________③当车站设在B工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为_________④当车站设在B，C两工厂之间的Q点时，则各工厂到汽车站的距离之和为_________⑤当车站设在C工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为________【总结归纳】综上可知：汽车站设在________时，各工厂到汽车站的距离之和最小.【问题解决】 (2)当有A，B，C，D，E五个工厂时，汽车站设在哪里，才能使各工厂到汽车站的距离之和最小？请说明理由.38. 如图，A,B,C,D为四家超市，其中超市D距A,B,C三家超市的路程分别为25km，10km，5km.现计划在A,D之间的道路上建一个配货中心P，为避免交通拥堵，配货中心与超市之间的距离不少于2km.假设一辆货车每天从P出发为这四家超市送货各次，由于货车每次仅能给一家超市送货，因此每次送货后均要返回配货中心P，重新装货后再前往其他超市.设P到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)直接写出配货中心P建在什么位置，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少?39. 如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？40. 下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）参考答案与试题解析初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作F关于直线AB的对称点M，作F关于直线BC的对称点N，连接BM，BN，BF，EF，EN，DE，DM．∵∠MBA=∠FBA，∠CBN=∠CBF，∠ABF+∠CBF=90∘，∴∠MBF+∠FBN=180∘，∴M、B、N共线，∵DF+DE+EF=DM+DE+EN，∵DM+DE+EN≥MN，∴当D、E、M、N共线时，且BF⊥AC时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2BF，∵BF⊥AC，∴12⋅AC⋅BF=12⋅AB⋅AC，∴BF=AB⋅BCAC =125=2.4，∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选A．2.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S PCD=14S长方形ABCD，设△PCD的CD边上的高为ℎ∴12CD⋅ℎ=14CD⋅AD，又AD=8，∴ℎ=4,∴动点P在与CD平行且与CD的距离为4的直线l上，如图，作D关于直线l的对称点A，连接AC，则AC的长就是所求的最短距离.在Rt△ADC中，CD=AB=6，AD=8∴AC=√AD2+CD2解得AC=10.故选B.3.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M，根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．故选B.4.【答案】D【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，所需管道最短．故选D．5.【答案】A【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，根据三角形的内角和得到∠ACD=75∘，于是得到∠CAA′=15∘，根据轴对称的性质得到A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，推出△A′BC是腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∴∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，∵∠BCD=15∘，∴∠ACD=75∘，∴∠CAA′=15∘，∵AC=A′C，∴A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，∴∠ACA′=150∘，∵∠ACB=90∘，∴∠A′CB=60∘，∴△A′BC是等腰三角形，∴A′B=BC=4．故选A．7.【答案】A【考点】平面展开-最短路径问题【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【解答】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．×30＝15(cm)，∠C＝90∘，BC＝8cm，在Rt△ABC中，∵AC=12∴AB=√AC2+BC2=17(cm)．故选：A．8.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵BA=BC=2，∴平行四边形ABCD为菱形．∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的平分线．作E关BD的对称点E′，连接CE′，PE，则PE=PE′，此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，CE′即为PE+PC的最小值．∵∠ABC=60∘，又∵BE′=BE，∴△E′BE为正三角形，EE′=1，∠ABE=60∘，故EE′=EC，∠EE′C=∠ECE′=30∘，∴∠BE′C=60∘+30∘=90∘，在Rt△BCE′中，CE′=√22−12=√3．故选：A．9.【答案】D【考点】平面展开-最短路径问题【解析】连接AC1，求出AC1的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC1的长，再找出最短的即可．【解答】解：展开成平面后，连接AC1，则AC1的长就是绳子最短时的长度，分为三种情况：如图1，AB=5，BC=4，CC1=BB1=3，在Rt△ABC′中，由勾股定理得：AC1=√AB2+(BB1+B1C1)2=√25+49=√74；如图2，AC=5+4=9，CC1=3，在Rt△ACC1中，由勾股定理得：AC1=√AC2+CC12=√81+9=√90>√74，如图3，同法可求AC1=√(3+5)2+42=√80>√74，即绳子最短时的长度是√74，故选D．10.【答案】C【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF 的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD＝16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+1BC=8+1×4=8+2=10．故选C.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】30cm【考点】平面展开-最短路径问题【解析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC =3×16÷2=24，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB =√AC 2+BC 2=√242+182=30cm ．故答案为：30cm ．12.【答案】 √67【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称求最短路径的方法，重新构造直角三角形，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：作D 点关于AB 的对称点D′，B 点关于AC 的对称点B′，连接D′B′分别交AB 于点E ，AC 于点F ，作B′R ⊥AB ，过点D′作D′W ⊥B′R 于点W ，∵ ∠CAB =30∘，∠C =90∘．AD =14AC ，AB =8， ∴ BC =4，AC =4√3，则AD =√3，BB′=8，B′R =4√3，∴ DT =12AD =√32，AT =√AD 2−DT 2=32，BR =4， ∴ RW =√32，D′W =8−32−4=52， ∴ B′W =9√32，B′D′=√D′W 2+B′W 2=(52)(9√32)=√67．故答案为：√67．13.【答案】15【考点】勾股定理路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设小明散步原地为O，则先向东走12m到达A点后，再向北又走了9m到达B点，则要回到原地，最短行走距离为OB的距离，根据勾股定理可得OB=√122+92=15m.故答案为：15.14.【答案】2√2【考点】轴对称——最短路线问题【解析】先找出点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E′F为PE+PF的最小值的最小值，过点B作BG⊥AD 于G，解直角三角形求出AB即可．【解答】解：如图，点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，即E′F为PE+PF的最小值.过点B作BG⊥AD于G，易知BG=FE′=2，在Rt△ABG中，∠BAG=45∘，∴AB=BG÷sin45∘=2√2.故答案为：2√2.15.【答案】Q22．【考点】图形间的距离定义新图形路径最短问题坐标与图形性质【解析】（1）找到OA的垂直平分线即可找到对应的点．（2）利用“完美对称点”的特征，作出图象，从而确定最小值．【解答】解：(1)当点Q满足QO=QA时，Q为OA的“对称点”，∴ Q在线段OA的垂直平分线上，∵ A(4,0)，∴ 线段OA的垂直平分线是直线x=2，∵Q2(2,−4)，∴ 线段OA的“对称点”是Q2.故答案为：Q2．∵ Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，∴ QO=OA=QA，∴ △QOA是等边三角形，过点Q作QH⊥OA于H，则直线QH为线段AO的垂直平分线，如图：∵ B为线段OA的一个“对称点”，∴ BO=BA，∴ B是直线QH上的一点，显然，当Q、B重合时，BQ+BD有最小值，此时BQ+BD=BD，∵ Q(2,2√3)，∴ OQ=√22+(2√3)2=4，∵ D为线段OQ的中点，∴ DQ=12OQ=12×4=2，∴ BD=2，∴ BQ+BD的最小值为2. 故答案为：2.16.【答案】7【考点】轴对称——最短路线问题根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴B，C关于EF对称.设AC交EF于点D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴△ABP周长的最小值是4+3=7.故答案为：7.17.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】6cm【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴BM+DM最小值为6cm.故答案为：6cm．19.2√17【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√82+22=2√17，故答案为：2√17．20.【答案】2【考点】勾股定理路径最短问题【解析】【解答】解：当PQ//x轴时QB长度最小，设Q(m，n)，P(0，n)，△APQ为等边三角形，∴1+n2=(m−1)2+n2，解得m=2或m=0（舍），∴PQ=PA=m=2，∴1+n2=4，解得n=√3，故BQ=√3+1=2.故答案为：2.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小，然后根据∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，点E、F分别在边OA、OB上移动，如果OP=2cm，可求出值．【解答】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．22.【答案】需要爬行的最短路程是6√2cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】要想求得最短路程，首先利用BC长等于底面圆的一半，即可求出BC的长．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解答】解：利用展开图，根据题意可得：BC=2π≈6cm，AC=6cm，AB=√BC2+AC2=6√2(cm)，23.【答案】解：如图，点C即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B交直线m于点C，则CA+CB的值最小．【解答】解：如图，点C即为所求．24.【答案】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．【解答】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．25.【答案】蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）划出符合条件的QP即可；（2）展开后构造直角三角形，根据勾股定理求出线段QP的长即可．【解答】解：（1）如图：（2）如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP，则PM=8−3−2=3(cm)，QM=A1B1=1×2×π×2=6(cm)，2在Rt△QMP中，由勾股定理得：PQ=√QM2+PM2=√32+62=3√5(cm)，答：蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．26.【答案】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．（2）把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．27.【答案】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．【考点】路径最短问题二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征点到直线的距离垂线段最短【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F＝P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，【解答】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．28.【答案】彩带至少应剪125cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将灯管上缠的彩带展开，得到直角三角形，用勾股定理解答即可．【解答】解：如图，展开后可得AB=15×5=75cm，BC=100cm，AC=√AB2+BC2=√752+1002=125cm．29.【答案】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，由两点之间线段最短可知△PQR 周长最小即为所求点．【解答】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．30.【答案】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：31.【答案】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称得出找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【解答】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．32.【答案】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，表示AP′、AQ、QD，然后根据△AP′Q和△DCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出t，再表示出BP′，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．33.【答案】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．路径最短问题作图—应用与设计作图线段垂直平分线的性质【解析】根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解．【解答】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．34.【答案】解：如图所示，点Q即为所求点．【考点】轴对称——最短路线问题作PH⊥CD于点H，延长PH到点P′，使P′H=PH，连接AP′交CD于点Q，连接PQ，则D点Q就是△APQ的周长最小的点．【解答】解：如图所示，点Q即为所求点．35.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】解：如图所示，∵圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，∴AC=2π×1.5≈9cm，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15(cm)．答：蚂蚁所走过的最短路径是15cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，。
八年级上册数学人教版课时练《4 课题学习 最短路径问题》 试题试卷 含答案解析
《13．4课题学习最短路径问题》课时练一、选择题（共15小题）1．如图，在直角坐标系中有线段AB ，AB ＝50cm ，A 、B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm ，B 点到y 轴的距离为30cm ，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P 、Q ，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（）A ．50B ．505C ．505－50D ．505＋502．如图，在平面直角坐标系中，点A （－2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（）A ．（－2，0）B ．（4，0）C ．（2，0）D ．（0，0）3．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（）．A ．15°B ．22．5°C ．30°D ．45°4．如图，∠AOB ＝30°，内有一点P 且OP ＝6，若M 、N 为边OA 、OB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为（）．A ．62B ．6C ．621D ．65．已知两点M （3，5），N （1，－1），点P 是x 轴上一动点，若使PM ＋PN 最短，则点P 的坐标应为（）．A ．（21，－4）B ．（32，0）C ．（34，0）D ．（23，0）6．已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP ＝2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α＝（）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．直线L 是一条河，P ，Q 是两个村庄．欲在L 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A ．B ．C ．D ．8．已知两点A （3，2）和B （1，－2），点P 在y 轴上且使AP ＋BP 最短，则点P 的坐标是（）．A ．（0，21-）B ．（0，611）C ．（0，－1）D ．（0，41-）9．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（2，0），（4，0），点C 的坐标为（m ，3m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（）．A ．6B ．73C ．72D ．510．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（）．A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（）．A ．29B ．21C ．74D ．4512．加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧（如图），A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，AB ＝7米，一个行人P 在马路MN 上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于（）米．A ．8B ．9C ．6D ．713．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF ＋EF 的最小值为（）．A ．13120B ．10C ．12D ．1314．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，在CD 上找一点P ，使PA ＋PE 最小，则这个最小值是（）．A ．32B ．4C ．52D ．515．已知，如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A ，B 两处距河岸的距离AC ，BD 的长分别为700米，500米，且CD 的距离为500米，天黑前牧童从A 点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）米．A ．1100B ．1200C ．1300D ．1400二、填空题（共5小题）1．如图，已知AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，垂足分别为A 、D ，AD ＝6，AB ＝5，CD ＝3，P 是线段AD 上的一个动点，设AP ＝x ，DP ＝y ，92522+++=y x a ，则a 的最小值是______．2．已知如图所示，∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为_____．3．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是_____．4．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．三、解答题（共6小题）1．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．2．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）3．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN 的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）4．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）5．已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使PA＋PC最小．6．作图题：（写出作法，保留作图痕迹）M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？参考答案一、选择题（共15小题）1．D2．C3．C4．D5．C6．A7．D8．C9．C10．B11．C12．D13．A14．C15．C二、填空题（共5小题）1．102．100°3．54．（0，－41）5．2；2＋213三、解答题（共6小题）1．（1）如图所示．画法：①作点M 关于射线OP 的对称点M'，②连接M'N 交OP 于点A ．③作点N 关于射线OQ 的对称点N'，④连接N'M 交OQ 于点B ．（2）答：AM ＋AN 与BM ＋BN 的大小关系是：AM ＋AN ＝BM ＋BN ．2．如图3．①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，②由对称的性质可知PN＝PN′，故PN＋PM＝MN′，③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′＋MN．4．沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC＝EC，同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，∵ET＋TR＋FR＞EF，∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．5．（1）分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：A′（－1，2），B′（－3，1），C′（－4，3）（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，－3），连接C″A交x轴于点P，（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，－2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．6．作法：（1）作M关于BC的对称点M’（2）连接M’N交BC于P点（3）连线MP，则△PMN周长最小P为所求作的点．。
人教版八年级数学上册同步练习13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题一、选择题（共16小题；共80分）1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是A. B.C. D.2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足A. B.C. D.3. 四边形中，，，在，上分别找一点，，使三角形周长最小时，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时A. B. C. D.7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是A. B. C. D.9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，此时，A. B. C. D.10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点，上有一动点．若周长最小，则最小周长是A. B. C. D.11. 如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为A. B. C. D.12. 如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，为上一点，且，平分交于．若是上的动点，则的最小值等于A. B. C. D.14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A. C. D.15. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）17. 与的最小公倍数是．18. 如图，在中，是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长的最小值为．19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使，，三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．20. 已知，点在的内部，点是边上任意一点，点是边上任意一点，连接，，当的周长最小时，的度数为．21. 如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值为．三、解答题（共3小题；共45分）22. 如图，已知直线及其同侧两点，，在直线上找一点，使得的长度最小．23. 如图，点，在的内部，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，求作点，，使得的长最短．作法：24. 如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?答案第一部分1. D2. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接．根据轴对称的性质，得，根据对顶角相等知，所以．3. C4. D5. B6. B7. A 【解析】如图所示.过点作的对称点，连接，与的延长线交于点 .此时，为最小值 .点在线段上，点在点处.的最小值为．8. B 【解析】如图连接，，，，，，，，，共线时，的值最小，最小值为的长度．9. D10. B【解析】设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即，作与相交于，并将延长一倍到，即，连接与相交于，与相交于，再连接，，连接，，则即为周长最短的三角形，是的垂直平分线，；同理，是的垂直平分线，，的周长，，且，是等边三角形，，即在保持的条件下的最小周长为．11. D 【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线 .，...，，..12. C 【解析】连接．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，13. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，作于．，，，，，，，，，故选：D．14. D 【解析】如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．15. B【解析】分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，，如图所示：此时的周长取最小值．，，，，，，，．16. B第二部分17.18.19.【解析】如图，连接．，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．20.【解析】如图，过点作关于，的对称点，，连接，与，相交与点，，则此时的周长最小，为线段的长度；，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：．21.第三部分22. 过点作直线的垂线，垂足为点，截取，连接，则与的交点就是点．23. 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点交于，交于，则最短．24. 作关于的对称点，连接交于，点即为所求作的点，则可得：（千米），所以（千米），所以（千米），总费用为万元．。
人教版八年级上《13.4课题学习最短路径问题》同步练习含答案
人教版八年级上《13基础题知识点最短路径咨询题1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分不是AF和C D的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP 与HG的夹角(锐角)度数为________．21·cn·jy·com2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小．21·世纪*教育网中档题6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请讲明理由；2·1·c·n·j·y(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分不是OA、OB上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝_______ _．8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分不找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．【来源：21·世纪·教育·网】9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要讲明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；21世纪教育网版权所有(2)直截了当写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．1．60° 2.(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略．3.作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交格线CD于Q，现在QA＋Q B＝QA＋QB′＝AB′，按照两点之间线段最短，得现在QA＋QB最小．4.①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略． 5.连接NC与AD的交点为M点．点M即为所求．图略． 6.(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．(2)设PD交AC于E，P G交BC于F，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°.∴∠C＋∠EPF＝180°.∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN ＋∠DPM＝52°.∴∠MPN＝128°－52°＝76°.7.(1)图略，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.现在，△PEF的周长最小．(2)30°8.作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HA A′＝60°.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠MA′A＝∠MA A′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.9.(1)图略，点A，B即为所求．画法：①作点M关于射线OP的对称点M′；②连接M′N交OP于点A；③作点N关于射线OQ的对称点N′；④连接N′M交OQ于点B.(2)AM＋AN＝BM＋BN.21教育网。
八年级数学上册13.4《课题学习最短路径问题》同步训练(含解析)
最短路径问题·一．选择题（共6小题）;1．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为;（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是;（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边;C．两点之间，线段最短;D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角;3．（2015•同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）;A．3 B．4 C．5 D．64．（2015•芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为;（）A．4 B．6 C．8 D．95．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF 上的任一点，则AP+BP的最小值是（）;A．4 B．5 C．6 D．76．（2014秋•监利县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为;（）A．15° B．22.5°C．30° D．45°二．填空题（共6小题）;7．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．;8．（2015•惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为; ．9．（2015春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是．;10．（2015•枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是．;11．（2015•许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是．;12．（2015春•新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4），欲在x 轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为．;三．解答题（共4小题）13．（2014•清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（﹣1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB 之和最小，求点P的坐标．;;14．（2014秋•嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B 村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）（2014秋•沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，15．且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为．16．（2015春•下城区期末）在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC 上的动点，连结AP，DP．（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．人教版八年级数学上册13.3.4《课题学习最短路径问题》同步训练习题（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°考点：轴对称-最短路线问题．分析：据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF 的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角考点：轴对称-最短路线问题．分析：利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．解答：解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2015•同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．解答：解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．∵AE=DG，且AE∥DG，∴四边形ADGE是平行四边形，∴EG=AD=4．故选B．点评：本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．4．（2015•芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．9考点：轴对称-最短路线问题；矩形的性质．专题：探究型．分析：先作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．解答：解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，∴BE=CE=CE′=6，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴CD∥AB，∴=，即=，解得CF=3，∴DF=CD﹣CF=9﹣3=6．故选B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．5．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF 上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．解答：解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，连接AC交EF于D，∴当P和C重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，由勾股定理得：AC===4，故选A．点评：本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．6．（2014秋•监利县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B．22.5°C．30° D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．二．填空题（共6小题）7．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．解答：解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值为．故答案为：．点评：本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．8．（2015•惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 4 ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；根据勾股定理求得A′D=5，即可求得A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4，从而得出PA+PG的最小值．解答：解：∵EF=2，点G为EF的中点，∴DG=1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB=2，AD=3，∴AA′=4，∴A′D=5，∴A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4；∴PA+PG的最小值为4；故答案为4．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，判断出G点的位置是解题的关键．9．（2015春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是2+．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，∵点E、F的速度相等，∴AE=BF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SAS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE+∠BOE=90°，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠EOF=90°，在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2﹣x，EF===．∴当x=1时，EF有最小值为．∴OE=OF=1．∴△OEF周长的最小值=2+．故答案为：2．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．10．（2015•枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是10 ．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：要求HE+HF的最小值，HE、HF不能直接求，可考虑通过作辅助线转化HE、HF的值，从而找出其最小值求解．解答：解：如图：作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，连接AC交BD于O．则E′F就是HE+HF的最小值，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴E′F AB，而由已知△AOB中可得AB====10，故HE+HF的最小值为10．故答案为：10．点评：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．11．（2015•许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△A BC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，则B′E=4，即B′E=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故答案为（0，3）．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．12．（2015春•新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4），欲在x 轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为（﹣，0）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B，交x轴于P，则P即为所求的点，然后用待定系数法求出直线A′B的解析式，求出直线与x轴的交点即可．解答：解：∵点A（﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，﹣2），∵A′（﹣1，﹣2），B（1，4），设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线A′B的解析式为y=3x+1，当y=0时，x=﹣．∴P（﹣，0）．故答案为（﹣，0）．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．三．解答题（共4小题）13．（2014•清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（﹣1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB 之和最小，求点P的坐标．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后求出直线与x轴的交点即可．解答：解：∵A（﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，﹣2），∵A′（﹣1，﹣2），B（5，4），设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线A′B的解析式为y=x﹣1，当y=0时，x=1．∴P（1，0）．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．14．（2014秋•嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B 村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）考点：轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．分析：利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．解答：解：如图所示：点E即为所求．点评：此题主要考查了应用设计与作图以及轴对称求最短路径，得出A点对称点是解题关键．（2014秋•沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，15．且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为100万元．考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再利用构造直角三角形得出即可．解答：解：依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形A′BE 中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）．故答案为100万元．点评：此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．16．（2015春•下城区期末）在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC 上的动点，连结AP，DP．（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；（2）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，再由对称的性质及勾股定理即可求解．解答：解：（1）由题意结合图形知：AB=4，BP=x，CP=4﹣x，CD=2，∴AP==，DP===；当x=2时，AP+DP=+=2+2；（2）存在．如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，∴A′E=4，DE=6，则A′D====，∴最小值为2．点评：本题主要考查的是最短线路问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此类题目的关键．。
八年级上册数学13.4课题学习 最短路径问题专项练习附答案 教师版
八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题专项练习附答案一、单选题（共23题；共46分）1.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB 上的动点，则BM＋MN的最小值是（）C. 5D. 6A. 4B. 245【答案】C【解析】【解答】如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴1×10•BE=25，2解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故答案为：C．【分析】本题关键是确定点M、N分别在什么位置时，BM+MN最小。
首先根据AD是∠BAC平分线可知点B的对称点B'必在AC上，再根据垂线段最短的原理从B'向AB边引垂线段，与AD、AB的交点即为M、N，因为此时B'N=MN+B'M=MN+MB。
最后利用AB=AB'，结合等腰三角形两腰上的高相等把求B'N的长转化为求△ABC边AC上的高BE，据此解答即可。
2.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（）A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°【答案】B【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.故答案为：B.【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.3.如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A. 2B. 2 √3C. 4D. 8√33【答案】B【解析】【解答】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵AD=4，∠DAC=30°，∴CD= 4√3，3∵DD′⊥AC，∴∠CDD′=30°，∴∠ADD′=60°，∴DD′=4，∴D′E=2 √3，故答案为：B．【分析】找出定直线AC，D是定点，可作出D的对称点D'，连结D'E，当P点在交点时，由两点之间线段转化为D'E,且D'E与AD垂直时PE+PD的最小.4.如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【解答】解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，∵1×AC×BN″=15，AC=6，2∴BN″=5，∴BM+MN的最小值为5，故选B．【分析】如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．因为BM+MN=BM+MN′≤BN″，所以当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，求出BN″即可解决问题．5.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2√3B. 2√6C. 3D. √6【答案】A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE 是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】设BE与AC交于点F（P′)，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2√3．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√3故所求最小值为2√3故选：A．【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题6.如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（）A. √5B. √7C. 3D. √3+1【答案】B【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD= √3，BD=CD=1，BB′=2AD=2 √3，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD= √3，在Rt△B′BG中，BG= √BB′2−B′G2=√(2√3)2−(√3)2=3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD= √DG2+9B′G2=√22+(√3)2=√7．故BE+ED的最小值为√7．故选B．【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．7.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2√3B. 2√6C. 3D. √6【答案】A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE 是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】设BE与AC交于点F（P′)，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2√3．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√3故所求最小值为2√3故选：A．【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题8.如图，在锐角三角形ABC中AB= 4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 2【答案】A【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE，当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，∵AB=4 √2，∠BAC=45°，此时△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故选A．【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．9.如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。
【河北专版】八年级数学上册测试题：13.4课题学习《最短路径问题》(含答案)
13.4 课题学习最短路径问题01基础题知识点1运用“垂线段最短”解决最短路径问题1.如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a 上，下列线段中最短是(B)A.PAB.PBC.PCD.PD2.如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里水从A处引到田地里去，则应从河边l何处开口才能使水沟最短，找出开口处位置并说明理由.解：图略.理由：垂线段最短.知识点2运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题3.已知，如图，在直线l同侧有两点A，B.(1)在图1直线上找一点P，使PA＋PB最短；(2)在图2直线上找一点P，使PA－PB最长.解：(1)作点B关于直线l对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求.图略.(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略.4.如图，村庄A，B位于一条小河两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村路程最近？解：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′长等于河宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥位置.图略.02中档题5.茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C 处学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走总路程最短.解：如图.作法：①作点C关于OA对称点C1，点D关于OB对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D 路线行走，所走总路程最短.03综合题6.(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D ＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM度数.解：作A关于BC和CD对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN周长最小值.作DA延长线AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.。
人教版八年级上册数学课题学习最短路径问题测试题
人教版八年级数学考试题测试题人教版初中数学第十三章轴对称13. 4课题学习最短路径问题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A2．直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是lA．B．C．D．【答案】D【解析】本题的依据就是两点之间线段最短．首先作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q就是最短的路程．故选D．学&科网3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是A．4 B．5C．6 D．7【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10 cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为__________cm．【答案】10学&科网【解析】如图，连接PC，∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴CD=AH=10 cm．∵AH⊥BC，∴PB=PC，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10 cm．故答案为：10．学&科网5．如图，△ABC中，AC=10，AB=12，△ABC的面积为48，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为__________．【答案】8三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P 点位置，不写作法，保留痕迹．【解析】如图，作点A 关于燃气管道L 的对称点A ′，连接A ′B 交L 于点P ，即点P 即为所求．7．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点(41)A -，，(33)B -，，(12)C -，． （1）作ABC △关于y 轴对称的A'B'C'△；（2）在x 轴上找出点P ，使PA PC +最小，并直接写出点P 的坐标．附赠材料：以学生为第一要务 目标我们教育工作的最终目标只有一个:学生。
八年级上册数学13.4课题学习 最短路径问题专项练习附答案学生版
（）
A. .
B.
C.
D.
16.如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是（ ）
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
17.如图，四边形 ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，
24.如图，已知∠MON＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点 A，ON 上有一点 B，当△PAB 的周长取 最小值时，∠APB 的度数是________°.
25.如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点．若点 D 为 BC 边的中点，点 G 为线段 EF 上一动点，则△CDG 周长的最小值为________。
D. 45°
21.如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF 垂直平分 BC，点 P 为直线 EF 上的任一点，
则 AP＋BP 的最小值是（ ）
A. 3
B. 6
C. 5
D. 4
22.如图，周长为 16 的菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，AE=1，AF=3．P 为 BD 上一动点，则线
一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A.
B.
8.如图，在锐角三角形 ABC 中 AB=
C. 3
D.
，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和
人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优(含答案)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径同步培优一、选择题1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使P A＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是()2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为()A．10 B．11 C．11.5 D．133. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足()A．PB＝PC B．P A＝PDC．∠BPC＝90°D．∠APB＝∠DPC4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为()A．130°B．120°C．110°D．100°5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案()6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是()7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△O n PQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长()A.不断变大B.不断变小C.先变小再变大D.先变大再变小8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为()A.8B.10C.12D.149. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为 ()A.80°B.90°C.100°D.130°10. 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6 cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6 cm，则∠ABC的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°二、作图题11. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4，5)，(－1，3)．(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；(3)P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短的点P，直接写出点P的坐标．12. 如图，在河岸l的同侧有两个居民小区A，B，现欲在河岸边建一个长为a的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程.13. 河岸l同侧的两个居民小区A，B到河岸的距离分别为a米，b米(即图①中所示，AA′＝a米，BB′＝b米)，A′B′＝c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．在图②中画出绿化带的位置，并写出画图过程．14. 如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．15. 如图，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水.(1)求到河边饮水的最短路线;(2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线.三、解答题16. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．(1)如图①，若E是AC边上的一个定．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小；(2)如图②，若E是AC边上的一个动．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小，并求出这个最小值．17. 如图①所示，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)[思考1]如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？[思考2]如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流呢？[拓展]如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该如何建桥呢？请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用实线画出来．链接听P30例2归纳总结人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径同步培优-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵直线m垂直平分AB，∴B，C关于直线m对称．设直线m交AB于点D，∴当点P和点D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB 的长，∴△APC的周长的最小值是6＋4＝10.3. 【答案】D4. 【答案】B[解析] 如图，分别作点A关于BC，DC的对称点A1，A2，连接A1A2交BC于点M，交DC于点N，则此时△AMN的周长最小．∵∠A1AA2＝120°，∴∠A1＋∠A2＝60°.∵MA＝MA1，NA＝NA2，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠A1＋∠A2)＝2×60°＝120°.5. 【答案】C[解析] 如图，作PP′垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于点N，将P′N沿竖直方向向上平移河宽个单位长度，得到PM，PM －MN－NQ即所求．根据“两点之间，线段最短”，QP′最短，即PM＋NQ最短．观察选项，选项C符合题意．6. 【答案】D7. 【答案】C[解析] 如图，作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交直线AB于点O.∵两点之间线段最短，且PQ的长为定值，∴当点O运动到此点时三角形的周长最短.∴这些三角形的周长先变小再变大.8. 【答案】D[解析] 如图，连接AD，MA.∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，∴AD⊥BC.∴S=BC·AD=×4AD=24，△ABC解得AD=12.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC.∴MC+DM=MA+DM≥AD.∴AD的长为MC+MD的最小值.∴△CDM的周长的最小值为(MC+MD)+CD=AD+BC=12+×4=14.故选D.9. 【答案】C[解析] 如图，延长AB到点A'，使得BA'=BA，延长AD到点A″，使得DA″=AD，连接A'A″与BC，CD分别交于点M，N.∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，A'关于BC对称，点A，A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小.∵BA=BA'，MB⊥AB，∴MA=MA'.同理NA=NA″.∴∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD.∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A'，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″).∵∠BAD=130°，∴∠A'+∠A″=180°-∠BAD=50°.∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°.10. 【答案】C[解析] 如图，将△ABD和△DBC分别沿着AB和BC向外翻折，得△ABG和△HBC，连接GH，分别交AB，BC于点E，F，此时△DEF的周长最小，即为GH的长，∴GH=6 cm.∵BD=6 cm，∴BG=BH=BD=6 cm=GH.∴△BGH是等边三角形.∴∠GBH=60°.∴2∠ABD+2∠DBC=60°.∴∠ABD+∠DBC=30°.∴∠ABC=30°.故选C.二、作图题11. 【答案】解：(1)如图所示．(2)△A′B′C′如图所示，点B′的坐标为(2，1)．(3)如图所示，点P的坐标为(－1，0)．12. 【答案】解:如图，作线段AP∥l，使AP=a，且点P在点A的右侧;作点P关于直线l的对称点P'，连接BP'交l于点D;在l上点D的左侧截取DC=a，则CD就是所求绿化带的位置.13. 【答案】解：如图，作线段AP∥l，使AP＝s，且点P在点A右侧，取点P关于l的对称点P′，连接BP′交l于点D，在l上点D左侧截取DC＝s，则CD即为所求绿化带的位置．14. 【答案】解：如图，作点A关于l1的对称点E，作点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，D，则折线ACDB是所求的最短路线．15. 【答案】解:把河流抽象成直线a，把草地抽象成直线b.(1)如图①，过点M作MP⊥直线a于点P，则MP即为最短路线.(2)如图②，分别作点M关于直线a，b的对称点A，B，连接AB与直线a，b分别交于点C，D，则最短的牧马路线为M→C→D→M.三、解答题16. 【答案】解：(1)如图①，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF交CD于点P，点P即为所求．(2)如图②，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE⊥AC交CD于点P，则此时PA＋PE的值最小，PA＋PE的最小值为线段EF的长．∵CD是角平分线，∠BAC＝∠DFC＝90°，∴DA＝DF.又∵DC＝DC，∴Rt△ADC≌Rt△FDC.∴CF＝AC＝10.∵∠ACB＝30°，∴EF＝12CF＝5，即PA＋PE的最小值为5.17. 【答案】如图①所示，MN即为所求．[思考1] 如图②所示，折线AMNEFB即为所求．[思考2] 如图③所示，折线AMNGHFEB即为所求．[拓展] 如图④所示，折线AMNEFB即为所求．。
人教版八年级上册数学《课题学习 最短路径问题》训练
《13.4课题学习—最短路径问题》达标测评（附答案）一．选择题（共15小题，满分45分）1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（）A．EF B．AB C．AC D．BC2．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．55°B．56°C．57°D．58°3．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（）A．120°B．60°C．30°D．90°4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（）A．110°B．112°C．114°D．116°5．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使P A+PB最小，则下列图形正确的是（）A．B．C．D．6．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC 上，点Q为边OA上一动点，则P A+PQ的最小值是（）A．1B．2C．3D．47．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．89．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B ＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（）A．124°B．68°C．60°D．56°10．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ 与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC 边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°12．如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．1413．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△P AB周长最小的是（）A．B．C．D．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．1215．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．A点处B．D点处C．AD的中点处D．△ABC三条高的交点处二．填空题（共6小题，满分30分）16．等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为．17．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．18．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20．DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则△FGC的周长的最小值为．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD、CE分别是△ABC的两条中线，CE＝6，P是AD 上一动点，则BP+EP的最小值是．21．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值是．三．解答题（共5小题，满分45分）22．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．23．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△P AB的周长最小时，求∠APB的度数．24．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；（3）四边形BCC1B1的面积为．25．作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．26．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD＝12，试求PC+PE的最小值．参考答案一．选择题（共15小题，满分45分）1．解：连接AK，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AK＝BK，∴BK+CK＝AK+CK，∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，∵AK+CK≥AC，∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，故选：C．2．解：如图，延长AB至A′，使A′B＝AB，延长AE至A″，使A″E＝AE，则BC垂直平分AA′，DE垂直平分AA″，∴AM＝A′M，AN＝A″N，根据两点之间，线段最短，当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+NA″最小，则AM+MN+AN的值最小，即△AMN的周长最小，∵AM＝A′M，AN＝A″N，∴可设∠MAA′＝∠MA′A＝x，∠NAA″＝∠NA″A＝y，在△AA′A″中，x+y＝180°﹣∠BAE＝180°﹣152°＝28°，∵∠AMN＝∠MAA′+∠MA′A＝2x，∠ANM＝2y，∴∠AMN+∠ANM＝2x+2y＝56°，故选：B．3．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠P1OP2，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠P1OP2＝60°，故选：B．4．解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，∴∠ADC＝180°﹣α，由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（180°﹣32°）＝32°，∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）＝180°﹣64°＝116°．故选：D．5．解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，由对称性可知AP＝A'P，∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B为最小，故选：B．6．解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，∵∠OAB＝∠AOB＝15°，∴PH＝PQ，∴P A+PQ＝P A+PH＝AH，∴P A+PQ的最小值为AH，在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝3，∴P A+PQ的最小值为3，故选：C．7．解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB 交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．8．解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∵AB＝3，AC＝4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．故选：C．9．解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC 于M，此时，△DMN的周长最小，∵AB⊥AD，BC⊥DC，∴∠DAB＝∠DCB＝90°，DM＝FM，DN＝EN，∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，∵∠B＝56°，∴∠ADC＝124°，设∠MDN＝α，∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），∴α+2（124°﹣α）＝180°，解得：α＝68°，故选：B．10．解：先作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ＝M′Q+NQ＝M′N，由“两点之间，线段最短”可知，点Q即为所求的点，故选：D．11．解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小．∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∴∠EPF＝130°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．12．解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D．13．解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接P A，PB，此时△P AB的周长最小．故选：D．14．解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．15．解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，当B、E、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，故选：D．二．填空题（共6小题，满分30分）16．解：如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝21，∴AD＝7，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝10，故答案为：10．17．解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故答案为30°．18．解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP＝CP，∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，∴△ACP的周长6+4＝10，∴△ACP的周长最小值为10，故答案为10．19．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴A与C关于DE对称，连接AG，CF，∴GF+FC＝AF+FG＝AG，此时FC+FG最短，∵AB＝AC，点G为BC的中点，∴AG⊥BC，∵BC＝5，△ABC的面积为20，∴AG＝8，∴△FGC的周长＝FC+FG+GC＝AG+CG＝8+＝，∴△FGC的周长的最小值为，故答案为．20．解：作E关于AD的对称点E'，连接BE'，∵AB＝AC＝8，AD是BC边中线，CE是AB边中线，∴E'在AC边上，且是AC边的中点，∴BP+PE＝BP+PE＝BE'，此时BP+EP的值最小，∵△BAC是等腰三角形，∴BE'＝CE，∵CE＝6，∴BP+EP的最小值为6，故答案为6．21．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×2×AD＝4，解得AD＝4，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝4+×2＝4+1＝5．故答案为：5．三．解答题（共5小题，满分45分）22．解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵MD∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．23．解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案为：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，∴点G，O，H在同一直线上，∴GH＝GO+HO＝10；（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△P AB周长的最小值等于P′P″的长．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．24．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：；（3）∵每小格均为边长是1的正方形，∴CC1＝4+4＝8，BB1＝2+2＝4，BB1和CC1之间的距离为2，∴四边形BCC1B1的面积为×（8+4）×2＝12，故答案为：12．25．解：作图如右图：牛奶站应建在C点，才能使A、B到它的距离之和最短．26．解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵AD＝12，点E是边AC的中点，∴AD＝BE＝12，∴PE+PC的最小值是12．。
人教版八年级数学上册同步检测13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题
一、选择题（共16小题；共80分）
1. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，
向P，Q两地供水，现有如下四种修建方案，图中实线表示修建的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，直线l是一条河，A，B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一
个水泵站，直接向A，B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，四边形ABCD中，∠C=50∘，∠B=∠D=90∘，E，F分别是BC，DC
上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 80∘
4. 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，
向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )
A. B.
C. D.。
八年级初二上册数学 人教版《课题学习 最短路径问题》 练习试题 测试卷(含答案)(1)
《13．4课题学习最短路径问题》课时练一、选择题1．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=（）A．60°B．70°C．80°D．90°2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如下图是一个的正方形，现要在中轴线上找一点，使最小，则的位置应选在（）点处．A．P B．Q C．R D．S4．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，BC边上的高AD=8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(）A．2∠A=∠1﹣∠2 B．3∠A=2(∠1﹣∠2）C．3∠A=2∠1﹣∠2 D．∠A=∠1﹣∠28．附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP 与PC的长度比为何？（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：89．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD10．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为( )A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 二、填空题11．如图,把△ABC沿直线DE翻折后得到△A′DE,如果∠A′EC=32°,那么∠A′ED=．12．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= ．14．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是．15．如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为__________．16．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC最小值为．三、作图题17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）．修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．18．如图，已知点A，B(3，﹣2)在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题．(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；(2)在(1)的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M的位置．19．作图题：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN=MA；（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据．20．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．四、解答题21．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．参考答案1．D 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 11．74°．12．30°．13．2α．14．7．15．6．16．；17．解：先作点B关于河岸的对称点，然后连接此对称点与点A，交河岸于点P，点P即为所求．18．解：(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标(﹣2，1)，点C位置如图所示．(2)①作点B关于直线a的对称点B′，②连接CB′与直线a的交点为M．点M就是所求的点．(理由是两点之间线段最短)19．解：（1）作图如图1所示：（2）作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短．20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．21．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．。
八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题自我小测 (新版)新人教版
13.4 最短路径问题基础巩固1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?能力提升5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；(2)最短路程是多少？参考答案1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2；(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N.因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q ＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．(2)由(1)可得A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，因为AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m.即最短路程为1 000 m.。
【初中数学】人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题(练习题)
人教版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题
(378)
1.如图,A,B表示两个村子，要在河边选取一个取水口C，使得取水口C到A,B两村的距离之和最小，则取水口C应选在什么地方？
2.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=BC=10，其中E，F分别是边AB，AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是．
3.如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，E,F,G分别为AB,AC,BC的中点，P为线段EF上的一个动点，连接BP,GP，则△BPG周长的最小值是．
参考答案
1.【答案】:解：如图所示，
作A关于河边的对称点D，连接DB交河边于点C，即为取水口C的位置.
2.【答案】:10
3.【答案】:3。
人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）
人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P 在轴上，则PA+PB的最小值是______________。
人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优(含答案)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径同步培优一、选择题1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使P A＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是()2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为()A．10 B．11 C．11.5 D．133. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足()A．PB＝PC B．P A＝PDC．∠BPC＝90°D．∠APB＝∠DPC4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为()A．130°B．120°C．110°D．100°5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案()6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是()7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△O n PQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长()A.不断变大B.不断变小C.先变小再变大D.先变大再变小8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为()A.8B.10C.12D.149. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为 ()A.80°B.90°C.100°D.130°10. 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6 cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6 cm，则∠ABC的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°二、作图题11. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4，5)，(－1，3)．(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；(3)P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短的点P，直接写出点P的坐标．12. 如图，在河岸l的同侧有两个居民小区A，B，现欲在河岸边建一个长为a的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程.13. 河岸l同侧的两个居民小区A，B到河岸的距离分别为a米，b米(即图①中所示，AA′＝a米，BB′＝b米)，A′B′＝c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．在图②中画出绿化带的位置，并写出画图过程．14. 如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．15. 如图，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水.(1)求到河边饮水的最短路线;(2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线.三、解答题16. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．(1)如图①，若E是AC边上的一个定．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小；(2)如图②，若E是AC边上的一个动．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小，并求出这个最小值．17. 如图①所示，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)[思考1]如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？[思考2]如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流呢？[拓展]如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该如何建桥呢？请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用实线画出来．链接听P30例2归纳总结人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径同步培优-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵直线m垂直平分AB，∴B，C关于直线m对称．设直线m交AB于点D，∴当点P和点D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB 的长，∴△APC的周长的最小值是6＋4＝10.3. 【答案】D4. 【答案】B[解析] 如图，分别作点A关于BC，DC的对称点A1，A2，连接A1A2交BC于点M，交DC于点N，则此时△AMN的周长最小．∵∠A1AA2＝120°，∴∠A1＋∠A2＝60°.∵MA＝MA1，NA＝NA2，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠A1＋∠A2)＝2×60°＝120°.5. 【答案】C[解析] 如图，作PP′垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于点N，将P′N沿竖直方向向上平移河宽个单位长度，得到PM，PM －MN－NQ即所求．根据“两点之间，线段最短”，QP′最短，即PM＋NQ最短．观察选项，选项C符合题意．6. 【答案】D7. 【答案】C[解析] 如图，作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交直线AB于点O.∵两点之间线段最短，且PQ的长为定值，∴当点O运动到此点时三角形的周长最短.∴这些三角形的周长先变小再变大.8. 【答案】D[解析] 如图，连接AD，MA.∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，∴AD⊥BC.∴S=BC·AD=×4AD=24，△ABC解得AD=12.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC.∴MC+DM=MA+DM≥AD.∴AD的长为MC+MD的最小值.∴△CDM的周长的最小值为(MC+MD)+CD=AD+BC=12+×4=14.故选D.9. 【答案】C[解析] 如图，延长AB到点A'，使得BA'=BA，延长AD到点A″，使得DA″=AD，连接A'A″与BC，CD分别交于点M，N.∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，A'关于BC对称，点A，A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小.∵BA=BA'，MB⊥AB，∴MA=MA'.同理NA=NA″.∴∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD.∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A'，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″).∵∠BAD=130°，∴∠A'+∠A″=180°-∠BAD=50°.∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°.10. 【答案】C[解析] 如图，将△ABD和△DBC分别沿着AB和BC向外翻折，得△ABG和△HBC，连接GH，分别交AB，BC于点E，F，此时△DEF的周长最小，即为GH的长，∴GH=6 cm.∵BD=6 cm，∴BG=BH=BD=6 cm=GH.∴△BGH是等边三角形.∴∠GBH=60°.∴2∠ABD+2∠DBC=60°.∴∠ABD+∠DBC=30°.∴∠ABC=30°.故选C.二、作图题11. 【答案】解：(1)如图所示．(2)△A′B′C′如图所示，点B′的坐标为(2，1)．(3)如图所示，点P的坐标为(－1，0)．12. 【答案】解:如图，作线段AP∥l，使AP=a，且点P在点A的右侧;作点P关于直线l的对称点P'，连接BP'交l于点D;在l上点D的左侧截取DC=a，则CD就是所求绿化带的位置.13. 【答案】解：如图，作线段AP∥l，使AP＝s，且点P在点A右侧，取点P关于l的对称点P′，连接BP′交l于点D，在l上点D左侧截取DC＝s，则CD即为所求绿化带的位置．14. 【答案】解：如图，作点A关于l1的对称点E，作点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，D，则折线ACDB是所求的最短路线．15. 【答案】解:把河流抽象成直线a，把草地抽象成直线b.(1)如图①，过点M作MP⊥直线a于点P，则MP即为最短路线.(2)如图②，分别作点M关于直线a，b的对称点A，B，连接AB与直线a，b分别交于点C，D，则最短的牧马路线为M→C→D→M.三、解答题16. 【答案】解：(1)如图①，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF交CD于点P，点P即为所求．(2)如图②，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE⊥AC交CD于点P，则此时PA＋PE的值最小，PA＋PE的最小值为线段EF的长．∵CD是角平分线，∠BAC＝∠DFC＝90°，∴DA＝DF.又∵DC＝DC，∴Rt△ADC≌Rt△FDC.∴CF＝AC＝10.∵∠ACB＝30°，∴EF＝12CF＝5，即PA＋PE的最小值为5.17. 【答案】如图①所示，MN即为所求．[思考1] 如图②所示，折线AMNEFB即为所求．[思考2] 如图③所示，折线AMNGHFEB即为所求．[拓展] 如图④所示，折线AMNEFB即为所求．。
第13章13.4课题学习最短路径问题(课前预习)人教版数学八年级上册试题试卷含答案
1．已知一个等腰三角形一内角的度数为80︒，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒或80︒D ．20︒或80︒2．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，若65C ∠=︒，则DBC ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．20︒C ．30︒D ．15︒3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒4．已知ABC ∆是等腰三角形，它的周长为20，一条边长6，那么腰长是__________．5．等腰三角形的一个角是80︒，则它的底角是__________．课前预习：基础版题量: 10题 时间: 20min13.4最短路径问题6．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虚线）l 表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA PB 最小，则下列图形正确的是（ ）A ．B ．C ．D．9．如图，直线l 是一条河，A 、B 是两个新农村定居点．欲在l 上的某点处修建一个水泵站，直接向A 、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）A ．B ．C ．D ．10．传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天都从军营A 出发（如图），先到河边C 处饮马，然后再去河岸的同侧B 开会，他应该怎样走才能使路程最短？据说当时海轮略加思索就解决了它．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清 思路不清 计算错误粗心大意【正确解答】1．D2．D3．D4．6或75．50︒或80︒6．C7．C8．B9．D10．如图所示，作B 点关于直线的对称点B '，连接AB '，直线与河的交点即是所求的点．此时将军从军营A 出发先到C 点，再去同侧的B地开会路途最短．1．已知一个等腰三角形一内角的度数为80︒，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒或80︒D ．20︒或80︒2．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，若65C ∠=︒，则DBC ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．20︒C ．30︒D ．15︒3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒4．已知ABC ∆是等腰三角形，它的周长为20，一条边长6，那么腰长是__________．5．等腰三角形的一个角是80︒，则它的底角是__________．课前预习：提升版题量: 10题 时间: 20min13.4最短路径问题6．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虚线）l 表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（★）如图，点P 为AOB ∠内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点1P ，2P ，连接1P ，2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若126PP =，则PMN ∆周长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．（★）如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上一动点，则DN MN +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．109．（★）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，4AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为__________．10．（★）如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AM MN NB ++最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．D2．D 3．D 4．6或75．50︒或80︒6．C 7．（★）C 8．（★）D 9．（★）410．（★）如图，平移A 到1A ，使1AA 等于河宽，连接1A B 交河岸b 于点N ，作桥MN ，连接AM ．此时路径AM MN BN ++最短．理由：另任作桥11M N ，连接1AM ，1BN ，11A N ．由平移性质可知，1AM A N =，111AA MN M N ==，111AM A N =，AM MN BN ++转化为11AA A B +，而1111AM M N BN ++转化为1111AA A N BN ++．在△11A N B 中，1111A N BN A B +>，因此1111AM M N BN AM MN BN ++>++．1．已知一个等腰三角形一内角的度数为80︒，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒或80︒D ．20︒或80︒2．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，若65C ∠=︒，则DBC ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．20︒C ．30︒D ．15︒3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒4．已知ABC ∆是等腰三角形，它的周长为20，一条边长6，那么腰长是__________．5．等腰三角形的一个角是80︒，则它的底角是__________．课前预习：培优版题量: 10题 时间: 20min13.4最短路径问题6．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虚线）l 表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（★★）如图，在ABC ∆中，AB AC =，60BAC ∠=︒，BC 边上的高8AD =，E 是AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，则EB EF +的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．（★★）如图，在锐角ABC ∆中，50ACB ∠=︒；边AB 上有一定点P ，M 、N 分别是AC和BC 边上的动点，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒9．（★★）如图，ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥，E 、F 分别为AC 、AD上两动点，连接CF 、EF ，则CF EF 的最小值为__________．10．（★★）如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ，B 两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．D2．D 3．D 4．6或75．50︒或80︒6．C7．（★★）D 8．（★★）D9．（★★）24510．（★★）作A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交直线l 于P ，连接AP ，则泵站修在管道的P 点处，可使所用的输气管线AP BP +最短．理由如下：在直线l 上任取一点E ，连接AE 、BE 、A E '，A 、A '关于直线l 对称，AP A P ∴='，同理AE A E ='，AP BP A P BP A B +='+=' ，AE BE A E BE A B +='+>'，AP BP A E BE ∴+<'+，E 是任意取的一点，AP BP ∴+最短．。
人教版八年级数学上册课题学习《最短路径问题》练习题
13.4课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B 关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．【例3】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C 即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－C B.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.4 最短路径问题
基础巩固
1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？
3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?
能力提升
5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，
若A到河岸CD的中点的距离为500 m.
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出
该处，并说明理由；
(2)最短路程是多少？。