【中学数学试题】高二下学期开学考试数学试题.doc

一.选择题
2.己知直线Z 1:(a + 2)x+3y = 5与直线/2 :(a-l)x+2y = 6平行，则直线厶在兀轴上的截距为 ( ) A. —1
B. —
C. 1
D. 2
9
3.
按流程图的程序计算，若开始输入的值为x = 3,则输出的兀的值是(
)
4. 要完成下列3项抽样调查：
① 从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查.
② 某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听 取意见，需要抽取25名学生进行座谈.
③ 某屮学共有240名教职工，其屮一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名.为了了解教职 工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是()
A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽
B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样0.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 5. 已知直线y = 2x 是A ABC 中,C 的平分线所在的直线,若点A,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),
则点C 的坐标为()
A. (-2,4) B(-2,-4) C. (2,4)
D. (2,-4) 6.己知直线x + 2y = 2与x 轴，
y 轴分别交于两点，若动点P(a,b)在线段AB 上，则"的最
大值为(B 、2
C 、3 吩
7.直线〉=尬+ 3与圆(x-2)2+(y-3)2= 4相交于M 、7V 两点，若阿皿》2石，则k 的取值范
围是()
71
兀
兀
A.
— B ■—
C.—
4
4
2
D.
3兀
T
1.直线兀+y + l 二0的倾斜角是()
A. 4°
B. 3 ‘3
C.
D. ■|°
r2v2
8.已知双曲线C: —-^=1(6/ >0 , Z?>0)的左焦点为F(-c , 0),点M、N在双曲线C上，O是
CT b
坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形,MP4边形OFMN的面积为血cb,则双曲线C的离心率
为( )A.血 B. 2 C. 2^2 D. 2>/3
2 2
9.抛物线y2 = 4% ,直线/过的焦点—+ ^- = 1且与抛物线交于两点,
1615
x,+x2 =3,则AB屮点到)，轴的距离为()A. 3 B.扌
10・直线y-m ( m > 0 )与y =| log a x \ (d>0且dHl)的图象交于A, B两点,分别过点A,
B作垂直于兀轴的直线交y = — (£>0)的图象于C,
x
A.与加有关
B.与。

有关
C.与k有关
D.D两点，则直线CD的斜率等于-1
11.已知函数/(x) = sinx+>/3cosx,当兀w[0,龙]时,/(x) > 1的概率为()
c4
12.过椭圆C：二+ £ = l(a>b>0)的左顶点A且斜率为Z:的直线交椭圆C于另一点B,且点3 a b~在兀轴上的射影恰好为右焦点坊，若¥«+，则椭圆C的离心率的取值范围是()
A. (0,|)
C." 2 3
二、填空题B・(討
] 2
D. (0,—)U(—,1)
13.甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子小随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为
14.若两圆x2 + y2 = 1和(x + 4)2 + (y —G)2=25有三条公切线，则常数。

V2
15.已知椭圆—+2? = 1(0</?<2),左右焦点分别为斥，耳，过片的直线/交椭圆于A, B两点,
^\BF2\ + \AF2\的最大值为6,则b的值是
W 、22
16.把离心率e =的双曲线|?-2_ = i（tz>0,/2>0）称为黄金双曲线.给出以下儿个说法：
①双曲线x1-^— = 1是黄金双曲线；
V5-1
②若双曲线上一点P（x, y）到两条渐近线的距离积等于纟-,则该双曲线是黄金双曲线；
C
③若片，d为左右焦点，A，%为左右顶点，d（0"）,B2（0,-b）且Z£B*2=90°,则该双曲线是
黄金双曲线；
④.若直线/经过右焦点⑪交双曲线于M,N两点，且MN丄F® ZMON = 90°,则该双曲线
是黄金双曲线；其中正确命题的序号为_______ ・
三、解答题
17.已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y = 0上，且被直线y二兀截得的弦长为2“，求圆
C的方程
18.已知方程（加$ —2加一3）兀+（2莎 + 加一1）y+ 6-2加=0（znw R）.
（1）求该方程表示一条直线的条件；
（2）当加为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程;
（3）已知方程表示的直线/在x轴上的截距为-3,求实数加的值；
（4）若方程表示的直线/的倾斜角是45°,求实数加的值.
19.某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计.请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布
直方图，求出d和h + c的值；
(2)若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人?
20. 为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市屮学生 的体质健康
水平，普及足球知识和技能，市教体局决定矩形春季校园足球联赛，为迎接此次联赛， 甲同学选拔了 20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录如下表： 身高(cm ) 168 174 175 176 178 182 185 188 人数
1
2
4
3
5
1
3
1
(1)请计算这20名学生的身高屮位数、众数，并补充完成下面的茎叶图;
16 17 18
(2)身高为185c 加和188c 加的四名学生分别为A, B, C, D,先从这四名学生中选2名担任 正副门将，请利用列
举法列出所有可能情况，并求学生A 入选正门将的概率.
2
2
R
21.已知点A(0,—2),椭圆二+刍= 1(Q ＞方＞0)的离心率为仝，F 是椭圆E 的右焦点， cr tr 2
直线AF 的斜率为空，O 为坐标原点.
3
(1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线/与E 相交于P, Q 两点，当AOPO 的面积最大时，求/的直线方程. 22.已知椭圆C 中心在原点，离心率二，其右焦点是圆E ： (^-1)2 + /= 1的圆心. 2
分组
频数
频率
[60,70) 10 0.1 [70,80) ■ ■ 0.22 [80,90) a 0.38
[90,100]
30 C
合计
100
d
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M、N .试
推断是否存在点P,使|MN|二半?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
参考答案
1. D
【解析】分析：直线的倾斜角的正切值等于直线的斜率，得到倾斜角的正切值，由直线倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数.
解：・・•直线x+y+1二0的
・・・直线的斜率是1，
・・•直线的倾斜角是[0, Ji )
・••当tan a =-1 时，
3龙
倾斜角a二——,
4
故答案为：D
点评：木题考查了直线的倾斜角，本题解题的关键是熟练学握直线倾斜角与斜率Z间的关系和Z间的换算，本题是一个基础题.
2. B
【解析】
试题分析：由已知得2(a + 2) = 3(a —1),得a =则直线厶在兀轴上的截距为彳，故选B.
考点：直线与直线平行的判定.
3. D
【解析】
r ■ -------- 兀(x + ])
试题分析：根据程序可知，输入X,计算出 2 的值.・・•当X=3时，・・・兀二一=6； V6
2
<100, 当x二6 时，兀=人(x + 1) = 2]<]00,・°・当x二21 时，x = + =231,则最后输出的
2 2
结果是231.
故选D.
考点：程序框图.
4. A
【解析】
试题分析：由抽样方法的特点可知①应用简单随机抽样；②应用系统抽样；③应用分层抽样较为合适.故应选A.
考点：抽样方法.
5. C
【解析】
试题分析：由题意可得：点A （-4,2）关于直线y = 2x 的対称点为（4,-2）,所以直线BC 的方程为
3x+y-10 = 0 ；点B （3,l ）关于直线y = 2x 的对称点为（—1,3）,所以直线AC 的方程为 x — 3y + 10 = 0,所以点C 的坐标为(2,4).
考点：直线的方程.
6. A
【解析】由题意 a + 2b = 2(a > 0,/? > 0), a + 2b> 2\ja.2b ,所以 ab< — f 故选 A 。

9
7. B
【解析】
试题分析：作出图象如下图所示，由图可知，圆与y 轴相切与点M,直线y = kx^恰好也过M,
7 T A /3 V3~
KE ------------ ,——•
3 3
考点：直线与圆的位置关系.
所以 k = tan ZOMQ
1 _V3
vr =T
根据对称性有
【思路点睛】本题主要考査直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法•首先画出圆的图像,
由图可知，圆与y轴相切与点M(3,0),直线y =也+ 3恰好也过M(3,0).利用勾股定理，将
\MN\ > 2^3转化为圆心到直线的距离OQ W 1 ,继续转化为tan ZOQM < 可求得斜率k的取值
，根据对称性, 范围.
8. D
【解析】
试题分析：设M(Xo，y°),・・•四边形OFMW为平行四边形，・・.勺=-£，I •四边形0FM2的面积为
2
Jicb ,
|y0c = 41cd ,即y Q = yflb，•: M —* , 5/2，代入双曲线方程得^--2 = 1 , e > 1»•• e = 2>/3 .
故选D.
考点：椭圆的简单性质.
9. B
【解析】
试题分析：因为AB中点坐标为X J+X2=3,所以AB中点到y轴的距离为匕故选氏
2 2
考点：1、直线与圆锥曲线；2、屮点坐标公式.
10.C
【解析】
试题分析：由题意，|log a %| = m ,所以= a m ,勺二G"，又过点A, B作垂直于兀轴的直线
交v = - (R>0)的图象于C, D两点,所以% = ，)6二畑-"，那么直线CD的斜率x
V - V kn~m - kn m
k=，D ―——=k,所以直线CD的斜率与加无关，与a有关，故选C.
x D - x c a m -a m
考点：直线的斜率
【难点解析】本题考查了直线斜率的问题，属于小档题型，本题的一个难点是A,B两点的横坐标，
|log(/ x| = m ,即log “ x-m ,或是log “ x = -m ,这样得到A, B两点的横坐标，而C, D两点的横
坐标和A, B 两点的横坐标相等，这样可求得C,D 两点的坐标，根据斜率公式求得直线CD 的斜率.
11. D
【解析】
试题分析：/(^) = 2sin % + - , -<% + -<— , /(x)e [-5/3,2!,要使 /(x)> 1 ,则 < 3 J 3 3 3 L - 71 , 兀’5/r ,兀 “
、i 1
—5兀■—<——,0<x< —,故概率为一.
3 3 6 2 2
考点：几何概型. 【答案】C 【解析】
,2
试题分析：由题意可知 AF,二d + c, BF 2\ =—,所以直线AB 的斜率为 ・ a
考点：椭圆的离心率.
【方法点睛】本题主要考查了椭圆的离心率，椭圆的方程，属于中档题.求解椭圆的离心率基本思路 是根据题意构造基本量a 、b 、c 的关系式.本题解答的关键是用基本量a,b,c 表示出［AF^BF^其屮
0九|可令兀二c 代入椭圆方程求解，从而表示出直线AB 的斜率，同除以/得到离心率幺的不等式,
求得其范围.
13. §
9
【解析】
\ — P = \ 二一.
9 9
考点：组合；对立事件；古典概型.
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件吋，（X,y ）可以看成是有序的，如（1,2） 与
(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同.(2)含有“至多”、“至少”等类型 的概率问题，
从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A) = 1-P(A) 求解较好.
b
2
Q(d + C)
a 2-c 2 1-e 2 a 2+ac~ 1 + ^ G 1 1、
1-e 2
1
---- 〉一
即l + [ 3
,解得-<e<~,故选C.
1-e 2
1
2 3
---- < — 〔1 + £ 2
试题分析: 两个箱子各取一个球全是口球的概率P 至少有一个红球的概率为
14.曲
【解析】
试题分析：由己知得到两圆相外切，所以圆心距J16 + / =6,解得a = ±275
考点：圆与圆的位置关系
15.V2
【解析】
试题分析：由0<bV2可知，焦点在x轴上，
・・•过Fi 的直线1 交椭圆于A, B 两点,A |BF2| + | AF2| + |BFi| + |AF.|=2a+2a=4a=8
/. | BF2I + I AF2I二8—|AB|.
当AB垂直x轴时|AB|最小,|BF2| + |AF2|值最大,
此时|AB|=b2, /.6=8-b2,
解得b=V2.
考点：椭圆的简单性质
16.②③④
【解析】
试题分析：①由双曲线x2--^- = l,可得离心率e = Jl + ^^ = J2+严故该双曲线不是黄金双曲线；
②rtl题意得一J处+ ">=£-.•・-h2y2—a'c .'.crb1 = a c :. b2 = ac = c2 - a2
c c c
/.c2—ac — a2 = 0e2—e — l =0.\e= +因此该双曲线是黄金双曲线；
2
③如图，・・・上尸&4=90°…••同F『+|3/2〔2 =|片巧『，
A b2 +c2+b2 + a2 = (a + c)2,化为c2 -ac-a2 = O f由②可知该双曲线是黄金双曲线;
④如图，V ZM0N=90° ,
>2
・・・MN丄x轴，|MF2〔=厶，且△M0F2是等腰直角三角形.
a
Ac = —,即h2=ac,由②可知：该双曲线是黄金双曲线.
a
综上可知：②③④所给出的双曲线都是黄金双曲线
考点：新定义、双曲线的标准方程及其性质
17.(x-3)2 + (y-l)2=9,或(x + 3)2+(y + l)2=9
【解析】
试题分析：由圆心在直线x-3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r,然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y二x的距离d,由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d 利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可.
试题解析：设圆心为(3门),半径为r = \3t\,令J=ti = |V2/|
而(")2 =斥一 ,卄2 一2/2 = 7, / = ± 1
/.(X-3)2+(^-1)2 =9,或(x + 3)2+(y + l)2 =9
考点：圆的方程
1 4 5 4
18.(1) m—1 ； (2) m = —, x = —； (3) m = —； (4) m —— .
2 3 3 3
【解析】
试题分析：(1)当兀y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，分别令m2-2m-3 = 0 ,
2m2 + -1 = 0,解得m ——\时同时为零，故加工-1； (2)斜率不存在，即2nv + m-1 = 0,解
得m = (3)依题意，有2〃7_6解得加= (4)依题意有一1 ,
2 -2m-
3 3 2m~ +m-\
4
解得m =—・
3 试题解析:
(1)当兀y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令m2— 2m— 3 = 0,解得m ——1, m = 3 ；
令2m2 +m —1 = 0 解得m = -l,m =—.
2
所以方程表示一条直线的条件是meR且加H-1.
(2)由(1)易知，当加=丄时，方程表示的直线的斜率不存在，
2
4
此时的方程为% = 它表示一条垂直于无轴的直线.
3
(3)依题意，有一=—=-3,所以3〃『—4加—15 = 0,
m-一2m- 3
所以加=3或加=一丄，由(1)知所求m =——.
3 3
(4)因为直线/的倾斜角是45°,所以斜率为1,
加2 _ 9/77 _ 3 4
故由一°=］,解得m =-或加=—1 (舍去).
2m~ 4-//2-I 3
4
所以直线/的倾斜角为45°时，m = ~.
3
考点：直线倾斜角与斜率.
19.(1) a + d = 39 , b + c = 0.33 (2) 150
【解析】
试题分析：(1)由频率二频数/样本容量可求得a,b,c,d的值，从而得到a + d和b + c的值:(2)由成绩在［90,100］之间的频率为0.3可求得参赛学生中获奖的学生人数
试题解析：(1) a + 〃 = 39 , b + c = 0.33
(2)由(1)知学生成绩在［90,100］之间的频率为0.3,故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约
为500x0.3 = 15() A.
考点：频率分布表及频率分布直方图
20. （1） 177, 178,茎叶图见解析；（2）-.
4
【解析】
试题分析：（1）根据所给数据画出茎叶图；（2）列出正副门将的所有可能情况，可得学生A 入选正门 将的概率.
试题解析：（1）中位数为177cm,众数为178cm,茎叶图如下：
（2）正副门将的所有可能情况为:
(A, B), (B, A), (A, C), (C, A), (A, D), (D, A), (B, C), (C, B), (B, D), (D, B), (C, D), (D,C),共 12 种,
3
1
其屮学生A 入选正门将有(A,B),(A,C),(A,D)共3种，故学生A 入选正门将的概率为一 =一 • 12 4
考点：古典概型.
r 2
c 21
-⑴耳打"⑵尸宁-2或）一—一2.
【解析】 试题分析：（1）通过直线AF 的斜率求得c,通过离心率即可求得砧,故得到E 的方程；（2）设 出直线/的方程和点P ，Q 的坐标，联立直线/与椭圆方程，当判别式大于0时，根据韦达定理得根与 系数的关系得到I PQ 丨的长.根据点到直线距离公式代入三角形面积中.，得到其关于比的表达 式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时R 的值，即求得/的方程. 试题解析：（1）设右焦点F （c,0）,由条件知，2 = 痘，得c = V3.
c 3
b ——,故椭圆丘的方程为于八】.
（2）当/丄x 轴时不合题意，故设直线/： y = kx-2,
Q （x 2,y 2）.
y
将 y 二尬 一2 代入一+b =1,得（1 + 4疋）兀2_16总+ 12 = 0,
4
5 5 5 5
6 6 6 5 5 8
3
SA = 16(4/—3)>0,即 k 2> 时,
4
2 又点。

到直线PQ 的距离"
弘±2加2一3
4疋+1
从而 IPQK TFR M -兀 21=
4丁宀i ・晶亡-3
4宀1
所以NOPQ的面积S RPQ = ^d\PQ\=4如2一3
4疋+ 1
设如2_3=『
4
因为t + ->4,当且仅当t = 2时,
/7
£ = ±一时取等号，
2
且满足A>0.
所以当AOPO的面积最大时,
V7 77
/的M^y = — x-2^y = -—x-2
考点：直线与圆锥曲线的范围与最值问题.
22. (1)—+/=1； (2)存在点P(-l,±—)满足题设条件.
2 2
【解析】
试题分析：⑴由已知条件分别求llUz,c的值，而h2=a2-c\代入求出椭圆的方程；⑵假设存在点
P满足题意，设点P(x0,y0) (x0<0), M(0,m), N(0‘)，利用条件求出直线PM方程,根据圆心E(l,0)到直线PM的距离为1,求岀加与点P坐标之间的关系，同理求出粒与点P坐标之间的关
系，利用韦达定理求出m + njnn的表达式，算出MN ,求出P点坐标.
试题解析：(1)设椭圆方程二+「= l(d>b>0),半焦距为c, a lr
因为椭圆的右焦点是圆E的圆心，则c = l,
因为椭圆的离心率为---- ，则一= ---- ,即Cl = yflc = \/2 ,
2 a 2
从而—,故椭圆C 的方程为q+b=i.
(2)设点 P(x 0,y 0) ( x 0 <0 ), M(0,"2), N(0,n),
y —肌
则直线 PM 的方程为 y = — -- x + m,即（y {） -m ）x-x Q y + mx {} -0,
因为圆心E （l,0）到直线PM 的距离为1, 即1户-加+皿\
_m )2+
v
即(y° -77?)2 + X Q =(y 0-加尸 + 2x o m();o 一m) 4-x 02/??2,即(兀。

一 2)〃『+ 2)务"2-兀。

=0, 同理
(X 0-2)/?2+2^0/7-X 0 =0.
由此可知，m , n 为方程(x 0-2)x 24-2y 0x-x 0 = 0的两个实根，
所以加 + n = 一一, mn = ------- - -
兀。

一 2
X Q -2
2 2
因为点Pg,%）在椭圆C±,则汕+北2=1,即％2=]_丄 2*
则(X 0-2)2=9,
2 ]
因为X o <0 ,则X o =-1, y 02 =1-^- = ~^ 即 = ±—» 故存在点p （一 1,士爭满足题设条件. 考点：圆与椭圆的-位置关系.
【方法点睛】本题主要考查圆与椭圆的位置关系，属于中档题.在（1）中，先求出C,再由离心率 m
‘求聪〃的值'代入求出椭圆的方程；在⑵中’假设存在点p 满足题意' 设点
戶（兀0，儿）（兀°vO ）, M （0,加）,N （0,町,利用条件求出直线PM 方程，根据圆心£（1,0）到直 线PM 的距离为1,求出加与点P 坐标之间的关系，同理求出〃与点P 坐标之间的关系，得出加，n 为方程（兀° - 2）F + 2y （“ —x （）= 0的两个实根，由韦达定理，求出m + njnn 的表达式，代入|MV|,求 出兀°,%的值，即点P 坐标・
4x （）2 +4北2
_北
（兀。

一 2）~
| MN |=|m-n\= y](m + n)2
-4mn =
4)叮 | 4兀0
(x 0 — 2)2 x 0 — 2。