导数应用(凸凹性)ppt课件

整理版课件
6
例1
分析立方y抛 x3物 的线 凹凸 . 性
分析
f ( x1 x2 ) x133x12x23x1x22x23
2
8
1 2(f(x1)f(x2))x1 3 2x2 3
在( , 0)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)),
yx3 是凸的.
在(0,)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)), yx3 是凹的.
••
•
•
O
x
O
x
整理版课件
17
定理 ( 判别拐点的必要条件 )
设f(x)在区I间 上二阶.可导
若 ( x 0 , y 0 ) 为 y f ( x ) 曲 的 ( x 0 I ) , 线 拐 则 f ( x 0 ) 0 .点
证 设 x 0 I (a ,b )为f函 (x )的 数 .拐点
由拐点的, 不 定妨 义:设 x (a ,x0)时 ,yf(x)为凸 ; 的 x (x0,b )时 ,yf(x)为.凹的
若 f( x ) 0 ,x ( a ,b ),则
f( x 1 ) f x 2 2 f( x 0 ) 0 ,
x0
x1
x2 2
即 f(x 1 2 x 2 ) 1 2 (f(x 1 ) f(x 2 ).)
故 f ( x ) 0 ,x ( a ,b ) 时 ,曲 y f( x 线 )
在区[a间 , b]上是凹 . 的
整理版课件
27
水平渐近线
曲
线
的
渐
垂直渐近线
近
线
斜渐近线
整理版课件
28
y y1
x
O
x
lim 1 0 , 水平渐近y线 0. x x
lim1 , 垂直渐近 x0线 . x0 x
整理版课件
29
水平渐近线
若 lim f(x)b,则曲 f(x)线 有一条水 yb平 . 渐 x
这里的极 lim f(限 x)b或 可 li以 m f(x) 是 b.
极:大 J,P ;点 极:小 K ,Q 整理;点 版课件拐 :B ,C 点 ,D ,E ,F ,H ,I.25
函数的凹凸性的判别 以及函数的极值的判别都 与函数的二阶导数有关.
你清楚它们之间的联系吗? 画画图就能搞清楚.
凸 极大
凹 极小
f (x)0
f(x)0
整理版课件
26
二、曲线的渐近线
定义
若动点 P 沿着曲线 y = f ( x ) 的某一方向无 限远离坐标原点时, 动点 P 到一直线 L 的距离 趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
x
3
在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.
y
凸 yf(x)
y
凹 yf(x)
O x1
x1 x2 2
x2
x O x1 x1 x2 x 2
x
2
整理版课件
4
定义
设 f(x) C (I).
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
在运用该定理时要注意： 如 f ( x ) 0 果 ( 0 ,x ) ( a , b ) ,
但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .
整理版课件
13
例2 解
判别曲 y线 1的凹凸 . 性 x
函数的定 ( 义 ,0) 域 (0,为 ).
因为 yx 12, yx 23, 所x 以 ( ,0 )时 ,y0,y1为凸 , 的
根据拐点的定义立即可证明该定理 .
整理版课件
20
例4
讨论y曲 ex2线 2的凹,并 凸求 性.拐点
解 定义:域 (为 ,)
x2
y xe 2 ,
y
(x2
x2
1)e 2
,
令y0得拐点可: 疑 x点 1, x1(横坐 ) 标
x (, 1) 1 (1, 1) 1 (1,)
y
0 0
y
拐点 拐点
由f(x)在I 上二阶, 可 故导 f ( x ) 0 ,x ( x 0 ,x 0 x ) ,( x 0 ); f ( x ) 0 ,x ( x 0 x , x 0 ) ,( x 0 ),
整理版课件
18
于f是 (x ) (x 0,x 0 x), f(x)(x0x, , x0) 故f(x)在xx0处取极 , 小值 从而 f(x 0 ) 必 (f(x ))有 x x 0 0 .
整理版课件
11
故 f ( x ) 0 ,x ( a ,b ) 时 ,曲 y f( x 线 ) 在区[a间 , b]上是凹 . 的
以上过程实际上证明了下面的判别曲线 凹凸性的一个方法.
整理版课件
12
定理
设f(x)C([a,b]),在 (a,b)内有二 . 阶导数 若 f( x ) 0 ,x ( a ,b ),则 y 曲 f( x )在 [ a 线 ,b ] 上.是 若 f( x ) 0 ,x ( a ,b ),则 y 曲 f( x )在 [ a , 线 b ] 上.是
x
x
整理版课件
30
垂直渐近线
若 lim f(x) ,则曲 yf线 (x)有一条垂 xa.直 x a
这里的极限可以是
lif( m x ) , lif( m x ) ;
x a
x a
lim f(x) ;
x a
lifm (x ) , lifm (x ) .
x a
x a
整理版课件
31
有 f ( x 1 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x 1 ( x 0 ) f 2 ( ! 1 ) ( x 1 x 0 ) 2
f( x 2 ) f( x 0 ) f( x 0 整) 理x 版2 课( 件x 0 ) f 2 ( ! 2 ) ( x 2 x 0 ) 2 10
3
3
整理版课件
24
设函f(数 x)在 [a,b]上二阶其 可一 导阶 ，导数的
例7 如下图所示 .
指出函 f(x数 )的极值点、拐 性点 、、 凹单 .凸调 性
y
E yf(x)
C
T
A
aJ凸
凹 K
B
D 凸凹 O
M 凸P
凹 凸
W凹 Q bx
HI
F
[a,J],[K,P],[Q,T]内单调;增 [J,加 K],[P,Q]内单调减 . 少
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 ;
x ( 1 ,1 )时 ,y 0 ,且仅 x 0 时 ,在 y 0 ,
故yx4在(1,1内 ) 是.凹的
y
y x4
O
x
整理版课件
x0只是使 y 0 的孤立点, 不是曲线凹凸性 的分界点.
16
2. 曲线拐点的定义及判别法
连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 , 称为曲线的拐点.
y yf(x)
y
yg(x)
整理版课件
21
曲线yex22 : 在 (,1)及 (1,)内为,凹的
在(1, 1)内为凸.的 点(1, e12)及(1, e12)为其拐 . 点
y
x2
ye 2
1 O
整理版课件
1
x
22
例5 解
证 :x明 y时 ,1(exey)ex 2y. 2
令 f( t) e t, t ( , ),
f ( t ) f ( t ) e t 0 ,t ( , ) ,
整理版课件
7
y y x3
O
在( , 0)上 , yx3 是凸的 ,
此时 y0.
在(0,)上 ,
x
yx3 是凹的 ,
此时 y0.
y3x2, y6x, 有何体会？
x0时, y0,
点(0, 0) 是曲线凹凸性的分界. 点
整理版课件
8
能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢？
20并求拐点的凹凸性讨论曲线拐点拐点曲线22由曲线凹性的定义23的拐点为曲线已知点其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上成方程组联立其一阶导数的图形上二阶可导性凹凸性的极值点拐点单调指出函数极小点极大点25函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关
高等院校非数学类本科数学课程
高 等 数 学 A（1）
以上的极限实际是 li(fm (x ) (a x b ) )0 . x
整理版课件
33
例8 解
求曲y线 sinx的渐近 . 线 x
limsinx0, x x
y0是曲y线 sinx的水平.渐近线 x
曲线可以穿过其 渐近线 .
y
y sin x
x
y0
O
x
整理版课件
34
例9 求曲y线 lnx的渐近 . 线 解 y lnx的定义域：x(0,)
y2xx2yba,
y6x2y(x24abx)22by,
由拐点的必要: 条 y1件 0. 得 以 x2,y2.5代入 : 得
6 8 a 0 5 b 0 (1)
又拐点在,曲 其线 坐上 标满足曲 , 得线 : 方程
1 2 a 0 2 . 5 b 0 (2)
联(1 立 ),(2)成方 ,解 程之 组 a 得 20 , b 4 .
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 .
整理版课件
5
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f( x ) C ( I ) , ( 0 ,1 ) .
y
yf(x)
yaxb
O
x
li(fm (x ) (a x b ) )0 ,
x
想想： 怎么求 a ,b ?
斜渐y近 ax线 b.
整理版课件
32
斜渐近线
若 lif( m x ) a ,li(fm (x ) a x ) b ,则y 曲 f(x ) 线
x x
x
有一条斜渐 y近 ax线 b.
这里的极限过程可以是 x ,x .
—— 一元微积分学
第五章 一元微分学的应用
脚本编写：王利平
教案制作：王利平
整理版课件
1
第二讲 曲线的凹凸性、 函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线
三、函数图形的描绘
整理版课件
2
一、曲线的凹凸性、拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗?
y
.Bห้องสมุดไป่ตู้
?!
.A
O
整理版课件
整理版课件
9
设f(x) C([a,b]), 在 (a,b)内有二 . 阶导
x 1,x 2 (a ,b ),令x0
x1x2 2
,
则
x 1 x 0x 1 x 1 2x 2x 1 2x 2
x2x0x2x1 2x2x22 x1
x 2 x 0 (x 1 x 0 )
由泰 f( x ) f( x 0 ) 勒 f ( x 0 ) x ( x 公 0 ) f 2 ( ! ) ( x 式 x 0 ) 2
故xa2时 , y0, 曲线(在 a2 , )中是凹 ; 的
3 a1
3a1
xa2 时, y0, 曲线(在 , a2)中是凸 ; 的
3a1
3 a1
xa2 时,y0, x a2 是曲线凹凸性的分. 界点
3a1
3a1
整理版课件
15
例3 解
研究 yx4在(1,1内 ) 的凹 . 凸性 y 4x3, y12x2,
使f(x)0及f(x)不存在 , 的点 称为曲线的拐点可疑点 .
整理版课件
19
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
设 f(x ) C (I), f(x )在 U ˆ(x 0 )(x 0 I)内二 . 阶 若f(x)在x点 0两侧符, 则 号相反
点 (x 0 ,f(x 0 )为 ) y 曲 f(x )的 线 .拐点
故 f(t)et所对应( 的 , 曲 )内线 是 .在 凹的
x ,y ( , ),由曲线凹性的定义, 有
1(ex
xy
ey)e 2 ,
2
(xy).
整理版课件
23
例6 解
已(2 知 ,2)为 .5 点 x 曲 2 y a x 线 b y 0 的,拐点 求a, b的值 .
由题 :x2b 意 0. 由隐函数求导法,则得
x x (0, )时 , y0, y1为凹 . 的
x
该函数的图形 请自己绘出.
整理版课件
14
例3 研 y 究 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a 4(a 1 0 )的凹 . 凸
解
函数的定义 ( 域 , 为 ).
y 3 a 1 x 2 2 a 2 x a 3, y 6 a 1 x 2 a 2,
其 ,1 在 x 中 0 与 x 1 之 , 2 在 间 x 0 与 x 2 之 . 间
于 f ( x 1 ) f x 2 是 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2( 即 f ( x 1 ) f x 2 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2(